Специальные темы проектирования фильтров IIR

Классическая конструкция фильтра IIR

Классическая методика проектирования БИХ-фильтров включает в себя следующие шаги.

Найдите аналоговый фильтр нижних частот с частотой отсечки 1 и переведите этот фильтр прототипа в указанную конфигурацию диапазона
Преобразование фильтра в цифровую область.
Дискретизируйте фильтр.

Панель инструментов содержит функции для каждого из этих шагов.

Задача проектирования	Доступные функции
Аналоговый прототип нижних частот	`buttap`, `cheb1ap`, `besselap`, `ellipap`, `cheb2ap`
Преобразование частоты	`lp2lp`, `lp2hp`, `lp2bp`, `lp2bs`
Дискретизация	`bilinear`, `impinvar`

В качестве альтернативы, butter, cheby1, cheb2ord, ellip, и besself функции выполняют все этапы проектирования фильтра и buttord, cheb1ord, cheb2ord, и ellipord функции обеспечивают вычисление минимального порядка для фильтров БИХ. Этих функций достаточно для решения многих задач проектирования, и функции более низкого уровня, как правило, не требуются. Но если у вас есть приложение, где вам нужно преобразовать границы полосы аналогового фильтра или дискретизировать рациональную передаточную функцию, в этом разделе описаны инструменты, с помощью которых это сделать.

Проект аналогового прототипа

Эта панель инструментов предоставляет ряд функций для создания низкочастотных аналоговых фильтров-прототипов с частотой отсечения 1, что является первым шагом в классическом подходе к проектированию БИХ-фильтров.

В таблице ниже представлены функции проектирования аналоговых прототипов для каждого поддерживаемого типа фильтров. графики для каждого типа показаны в IIR Filter Design.

Тип фильтра	Функция аналогового прототипа
Бесселевый	`[z,p,k] = besselap(n)`
Баттерворт	`[z,p,k] = buttap(n)`
Чебышёв I типа	`[z,p,k] = cheb1ap(n,Rp)`
Чебышёв II типа	`[z,p,k] = cheb2ap(n,Rs)`
Овальный	`[z,p,k] = ellipap(n,Rp,Rs)`

Преобразование частоты

Второй шаг в технологии проектирования аналоговых прототипов - преобразование частоты прототипа нижних частот. Инструментарий предоставляет набор функций для преобразования аналоговых прототипов нижних частот (с частотой отсечения 1 рад/с) в полосовые, высокоскоростные, полосовые и низкочастотные фильтры с заданной частотой отсечения.

Преобразование частоты	Функция преобразования
От нижних до нижних частот $^{}_{s′=s/ω0}$	`[numt,dent] = lp2lp (num,den,Wo)` `[At,Bt,Ct,Dt] = lp2lp (A,B,C,D,Wo)`
От нижних до верхних частот $^{} \frac{_{}}{s′=ω0s}$	`[numt,dent] = lp2hp (num,den,Wo)` `[At,Bt,Ct,Dt] = lp2hp (A,B,C,D,Wo)`
От нижних частот к полосам пропускания $^{} \frac{_{}}{_{s′=ω0Bω}} \frac{{(_{} s/ü 0}^{)} 2}{+_{}}$ 1s/start0	`[numt,dent] = lp2bp (num,den,Wo,Bw)` `[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp (A,B,C,D,Wo,Bw)`
От нижних частот к полосам пропускания $^{} \frac{_{}}{_{}} \frac{_{s′=Bωω0s/ω0}}{{(_{} s/λ 0}^{)} 2}$ + 1	`[numt,dent] = lp2bs (num,den,Wo,Bw)` `[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bs( A,B,C,D,Wo,Bw)`

Преобразование частоты

Функция преобразования

От нижних до нижних частот

$^{}_{s′=s/ω0}$

[numt,dent] = lp2lp (num,den,Wo)

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2lp (A,B,C,D,Wo)

От нижних до верхних частот

$^{} \frac{_{}}{s′=ω0s}$

[numt,dent] = lp2hp (num,den,Wo)

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2hp (A,B,C,D,Wo)

От нижних частот к полосам пропускания

$^{} \frac{_{}}{_{s′=ω0Bω}} \frac{{(_{} s/ü 0}^{)} 2}{+_{}}$ 1s/start0

[numt,dent] = lp2bp (num,den,Wo,Bw)

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp (A,B,C,D,Wo,Bw)

От нижних частот к полосам пропускания

$^{} \frac{_{}}{_{}} \frac{_{s′=Bωω0s/ω0}}{{(_{} s/λ 0}^{)} 2}$ + 1

[numt,dent] = lp2bs (num,den,Wo,Bw)

[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bs( A,B,C,D,Wo,Bw)

Как показано, все функции преобразования частоты могут принимать две линейные модели системы: передаточную функцию и форму state-space. Для бандпаса и бандпоста

$_{} \sqrt{_{}_{ω0=ω1ω2}}$

$_{Бом} =_{}_{}$

где _{λ 1} - нижняя кромка полосы, _{а start2} - верхняя кромка полосы.

Функции преобразования частоты выполняют подстановку частотных переменных. В случае lp2bp и lp2bs, это подстановка второго порядка, поэтому выходной фильтр в два раза больше входного. Для lp2lp и lp2hp, выходной фильтр имеет тот же порядок, что и входной.

Для начала проектирования полосового фильтра Чебышева типа I порядка 10 со значением 3 дБ для пульсации полосы пропускания введите

[z,p,k] = cheb1ap(10,3);

Продукция z, p, и k содержат нули, полюса и коэффициент усиления низкочастотного аналогового фильтра с частотой отсечки, _равной 1 рад/с. Используйте функцию для преобразования этого прототипа нижних частот в полосовой аналоговый фильтр с полосовыми краями _Ω1 = λ/5 и _Ω2 = λ. Сначала преобразуйте фильтр в форму state-space, чтобы lp2bp функция может принять его:

[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k);   % Convert to state-space form.

Теперь найдите полосу пропускания и центральную частоту и позвоните lp2bp:

u1 = 0.1*2*pi;
u2 = 0.5*2*pi;   % In radians per second
Bw = u2-u1;
Wo = sqrt(u1*u2);
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);

Наконец, вычислите частотную характеристику и постройте график ее величины:

[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);        % Convert to TF form
w = linspace(0.01,1,500)*2*pi;     % Generate frequency vector
h = freqs(b,a,w);                  % Compute frequency response
semilogy(w/2/pi,abs(h))            % Plot log magnitude vs. freq
xlabel('Frequency (Hz)')
grid

Дискретизация фильтра

Третий шаг в методе аналогового прототипирования - преобразование фильтра в дискретно-временную область. Инструментарий предоставляет для этого два метода: импульсное инвариантное и билинейное преобразования. Функции проектирования фильтра butter, cheby1, cheby2, и ellip использовать билинейное преобразование для дискретизации на этом этапе.

Аналого-цифровое преобразование	Функция преобразования
Импульсная инвариантность	`[numd,dend] = impinvar (num,den,fs)`
Билинейное преобразование	`[zd,pd,kd] = bilinear (z,p,k,fs,Fp)` `[numd,dend] = bilinear (num,den,fs,Fp)` `[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear (At,Bt,Ct,Dt,fs,Fp)`

Аналого-цифровое преобразование

Функция преобразования

Импульсная инвариантность

[numd,dend] = impinvar (num,den,fs)

Билинейное преобразование

[zd,pd,kd] = bilinear (z,p,k,fs,Fp)

[numd,dend] = bilinear (num,den,fs,Fp)

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear (At,Bt,Ct,Dt,fs,Fp)

Импульсная инвариантность

Функция панели инструментов impinvar создает цифровой фильтр, импульсная характеристика которого является выборкой непрерывной импульсной характеристики аналогового фильтра. Эта функция работает только с фильтрами в форме передаточной функции. Для достижения наилучших результатов аналоговый фильтр должен иметь пренебрежимо малое частотное содержание, превышающее половину частоты дискретизации, поскольку такое высокочастотное содержимое при дискретизации преобразуется в более низкие полосы. Импульсная инвариантность работает для некоторых фильтров нижних частот и полосовых фильтров, но не подходит для фильтров верхних частот и полосовых фильтров.

Спроектируйте фильтр типа I Чебышева и постройте график его частотной и фазовой характеристики с использованием FVTool:

[bz,az] = impinvar(b,a,2);
fvtool(bz,az)

Нажмите кнопку панели инструментов «Величина и фазовый отклик».

Инвариантность импульса сохраняет частоты отсечки 0,1 Гц и 0,5 Гц.

Билинейное преобразование

Билинейное преобразование представляет собой нелинейное отображение непрерывной области в дискретную область; он отображает s-плоскость в z-плоскость

$H (z) = H_{(s) \frac{|}{s =}}$ kz − 1z + 1

Билинейное преобразование отображает ось jΛ непрерывной области в единичную окружность дискретной области в соответствии с

$λ =^{2тан} \frac{-}{} 1$ (Λ k)

Функция панели инструментов bilinear реализует эту операцию, где константа искажения частоты k равна удвоенной частоте дискретизации (2*fs) по умолчанию и равно $_{} 2ífp/tan (_{}_{} øfp/fs$ ), если вы даетеbilinear конечный аргумент, который представляет частоту «совпадения» Fp. При совпадении частоты Fp (в герцах) присутствует, bilinear отображает частоту Λ = _2xeonfp (в рад/с) на ту же частоту в дискретной области, нормированную к частоте дискретизации: λ = _2xeonfp/fs (в рад/выборке).

bilinear функция может выполнять это преобразование в трех различных представлениях линейной системы: с нулевым коэффициентом усиления полюса, передаточной функцией и формой состояния-пространства. Попробуйте позвонить bilinear с матрицами состояния-пространства, которые описывают фильтр Чебышева типа I из предыдущего раздела, используя частоту дискретизации 2 Гц, и сохраняя нижний край полосы 0,1 Гц:

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(At,Bt,Ct,Dt,2,0.1);

Частотная характеристика результирующего цифрового фильтра равна

[bz,az] = ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd);       % Convert to TF
fvtool(bz,az)

Нажмите кнопку панели инструментов «Величина и фазовый отклик».

Нижний край полосы находится на частоте 0,1 Гц, как и ожидалось. Заметим, однако, что верхний край полосы немного меньше 0,5 Гц, хотя в аналоговой области он был ровно 0,5 Гц. Это иллюстрирует нелинейный характер билинейного преобразования. Чтобы противодействовать этой нелинейности, необходимо создать аналоговые доменные фильтры с «предварительно предупрежденными» краями полосы, которые отображаются в правильные местоположения при билинейном преобразовании. Здесь предварительно предупрежденные частоты u1 и u2 произвести Bw и Wo для lp2bp функция:

fs = 2;                           % Sampling frequency (hertz)
u1 = 2*fs*tan(0.1*(2*pi/fs)/2);   % Lower band edge (rad/s)
u2 = 2*fs*tan(0.5*(2*pi/fs)/2);   % Upper band edge (rad/s)
Bw = u2 - u1;                     % Bandwidth
Wo = sqrt(u1*u2);                 % Center frequency
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);

Цифровой полосовой фильтр с правильными краями диапазона в 0,1 и 0,5 раз больше частоты Найквиста.

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(At,Bt,Ct,Dt,fs);

Примеры полосовых фильтров из двух последних разделов также могут быть созданы в одной инструкции с использованием полной функции проектирования БИХ cheby1. Например, аналоговой версией примера фильтра Чебышёва является

[b,a] = cheby1(5,3,[0.1 0.5]*2*pi,'s');

Следует отметить, что границы полосы находятся в рад/с для аналоговых фильтров, тогда как для цифрового случая частота нормируется:

[bz,az] = cheby1(5,3,[0.1 0.5]);

Все функции проектирования вызывают bilinear внутренне. Они подготавливают края полосы по мере необходимости для получения правильного цифрового фильтра.

Документация