Стабильное распределение

Обзор

Стабильные распределения - это класс вероятностных распределений, подходящих для моделирования тяжелых хвостов и перекосов. Линейная комбинация двух независимых, одинаково распределенных стабильно распределенных случайных величин имеет то же распределение, что и отдельные переменные. Другими словами, если X1, X2,..., Xn являются независимыми и одинаково распределенными стабильными случайными величинами, то для каждого n

$_{X1} +_{} X2 +_{.} \dot{.}_{+} {Xn}_{}$ = dcnX + dn

где константа cn > 0 и $_{} dn∈ℝ$ .

Стабильное распределение является приложением Обобщённой центральной предельной теоремы, которая утверждает, что предел нормированных сумм независимых тождественно распределённых переменных стабилен.

Для стабильного распределения существует несколько различных параметров. Реализация в Toolbox™ статистики и машинного обучения использует параметризацию, описанную в [2]. При этом случайная величина X имеет стабильное распределение $S (α, β, γ,$ δ; 0), если её характеристическая функция задаётся:

$E (^{} eitX) \begin{matrix} = {\exp^{} {(-}^{} γ α 't | α [1 + \frac{}{} iβsign {(t)}^{} tanāα2 ((γ' t |) 1 - α \\ − 1)] + iδt) для \frac{}{} α≠1,exp (- γ 't | [1 + iβsign \end{matrix}$ (t) 2xeonln (γ' t |)] + iδt) для α = 1

Параметры

В стабильном распределении используются следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`alpha`	Первый параметр формы	0 < α ≤ 2
`beta`	Параметр второй формы	-1 ≤ β ≤ 1
`gam`	Параметр масштаба	0 < γ < ∞
`delta`	Параметр местоположения	-∞ < δ < ∞

Первый параметр формы, α, описывает хвосты распределения. Программное обеспечение вычисляет плотности стабильного распределения с использованием метода прямого интегрирования. Как объясняется в [1], существуют числовые трудности с точным вычислением pdf и cdf, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близок к 1 (конкретно, $0 < | α − 1$ | < 0,02), то программное обеспечение округляет α до 1. Если α близок к 0, то плотности могут быть неточными.

Второй параметр формы, β, описывает перекос распределения. Если β = 0, то распределение симметрично. Если β > 0, то распределение имеет правый перекос. Если β < 0, то распределение смещено влево. Когда α мал, асимметрия β значительна. По мере увеличения α эффект β уменьшается.

Функция плотности вероятности

Определение

Большинство членов семейства стабильного распределения не имеют явной функции плотности вероятности (pdf). Вместо этого pdf описывается в терминах характеристической функции [2].

Некоторые особые случаи стабильного распределения, такие как нормальное распределение, распределение Коши и распределение Леви, имеют функции плотности замкнутой формы. Дополнительные сведения см. в разделе Связь с другими дистрибутивами.

Использовать pdf для вычисления функции плотности вероятности для стабильного распределения. Программа вычисляет pdf с помощью метода прямой интеграции. Как объясняется в [1], существуют числовые трудности с точным вычислением pdf, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близок к 1 (конкретно, $0 < | α − 1$ | < 0,02), то программное обеспечение округляет α до 1. Если α близок к 0, то плотности могут быть неточными.

Сравнение PDF-файлов стабильных дистрибутивов

Открыть сценарий в реальном времени

Следующий график сравнивает функции плотности вероятности для стабильных распределений с различными alpha значения. В каждом случае beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Рассчитайте pdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций pdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \alpha = 2, \alpha = 1, \alpha = 0.5.$

График иллюстрирует эффект alpha параметр на хвостах распределения.

Следующий график сравнивает функции плотности вероятности для стабильных распределений с различными beta значения. В каждом случае alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Рассчитайте pdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций pdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \beta = 0, \beta = 0.5, \beta = 1.$

Генерация случайных чисел

Использовать random для генерации случайных чисел из стабильного распределения. Программа генерирует случайные числа для стабильного распределения методом, предложенным в [3]

Функция совокупного распределения

Определение

Большинство членов семейства стабильного распределения не имеют явной кумулятивной функции распределения (cdf). Вместо этого cdf описывается в терминах характеристической функции [2].

Использовать cdf для расчета кумулятивной функции распределения для стабильного распределения. Программное обеспечение вычисляет cdf с помощью метода прямого интегрирования. Как объясняется в [1], существуют числовые трудности с точным вычислением cdf, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близок к 1 (конкретно, $0 < | α − 1$ | < 0,02), то программное обеспечение округляет α до 1. Если α близок к 0, то плотности могут быть неточными.

Сравнение CDF стабильных распределений

Открыть сценарий в реальном времени

На следующем графике сравниваются кумулятивные функции распределения для стабильных распределений с различными alpha значения. В каждом случае beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Рассчитайте cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций cdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \alpha = 2, \alpha = 1, \alpha = 0.5.$

График иллюстрирует эффект alpha параметр на форме cdf.

На следующем графике сравниваются кумулятивные функции распределения для стабильных распределений с различными beta значения. Во всех случаях: alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Рассчитайте cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций pdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \beta = 0, \beta = 0.5, \beta = 1.$

Описательная статистика

Среднее из стабильного распределения не определено для значений α ≤ 1. Для α > 1 среднее значение стабильного распределения равно

$среднее = δ - \frac{}{βαтан} ($ ¼ α2).

Использовать mean для расчета среднего значения стабильного распределения.

Дисперсия стабильного распределения не определена для значений α < 2. Для α = 2 дисперсия стабильного распределения равна

$var =^{}$ 2γ 2.

Использовать var для вычисления дисперсии стабильного распределения.

Связь с другими дистрибутивами

Стабильное распределение имеет три особых случая: нормальное распределение, распределение Коши и распределение Леви. Эти распределения примечательны тем, что они имеют функции плотности вероятности замкнутой формы.

Нормальное распределение

Нормальное, или гауссово, распределение является частным случаем стабильного распределения. Стабильное распределение с α = 2 соответствует нормальному распределению. Другими словами,

$N (λ,^{} start2) = S \frac{(}{\sqrt{}} 2,0,$ start2, λ).

λ - среднее значение, а λ - стандартное отклонение нормального распределения.

Хотя значение β не имеет эффекта, когда α = 2, нормальное распределение обычно связано с β = 0.

Функция плотности вероятности для нормального распределения

$f (x) \frac{}{\sqrt{=}} \frac{{12xeonstartexp (-}^{(}}{x^{−}} λ) 22start2),$ −∞<x<∞.

График плотности для нормального распределения симметричен и имеет колоколообразную кривую.

Распределение Коши

Распределение Коши является частным случаем стабильного распределения с α = 1 и β = 0. Другими словами,

$Коши (δ, γ) = S (1,0,$ γ, δ),

где γ - параметр масштаба, а δ - параметр местоположения распределения Коши.

Функция плотности вероятности для распределения Коши

$f (x) \frac{}{=} \frac{}{^{} {1xeonγ γ 2 +}^{(}} x − δ) 2,$ −∞<x<∞.

График плотности для распределения Коши симметричен и имеет колоколообразную кривую, но имеет более тяжёлые хвосты, чем плотность нормального распределения.

Lévy Distribution

Распределение Леви является частным случаем стабильного распределения, где α = 0,5 и β = 1. Другими словами,

$Леви (δ, γ) = S (0,5,1, γ,$ γ + δ).

где γ - параметр шкалы, а δ - параметр местоположения распределения Леви.

Функция плотности вероятности для распределения Леви

$f (x) \sqrt{\frac{}{=}} \frac{}{{γ 2ā1 (}^{x −}} δ) \frac{}{3/2exp (} - γ 2 (x - δ$ )), δ<x<∞.

График плотности для распределения Леви сильно скошен и имеет тяжелые хвосты.

График сравнения для стабильных распределений

Открыть сценарий в реальном времени

На следующем графике сравниваются функции плотности вероятности для стандартного распределения нормали, Коши и Леви.

Создайте объект распределения вероятностей для стандартного нормального распределения, распределения Коши и распределения Леви.

pd_norm = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1/sqrt(2),'delta',0);
pd_cauchy = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd_levy = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Рассчитайте pdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf_norm = pdf(pd_norm,x);
pdf_cauchy = pdf(pd_cauchy,x);
pdf_levy = pdf(pd_levy,x);

Постройте график всех трех функций pdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf_norm,'b-');
hold on
plot(x,pdf_cauchy,'r.');
plot(x,pdf_levy,'k--');
title('Compare Stable Distributions pdf Plots')
legend('Normal','Cauchy','Levy','Location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Compare Stable Distributions pdf Plots contains 3 objects of type line. These objects represent Normal, Cauchy, Levy.

Ссылки

[1] Нолан, Джон П. «Численный расчет стабильных плотностей и функций распределения». Коммуникации в статистике: Стохастические модели. Том 13, № 4, 1997, стр. 759-774.

[2] Нолан, Джон П. Унивариат Стабильные дистрибутивы: модели для тяжелых хвостатых данных. Springer International Publishing, 2020. https://doi.org/10.1007/978-3-030-52915-4.

[3] Верон, А. и Р. Верон. «Компьютерное моделирование α-стабильных переменных и процессов Леви». Лекционные записки по физике. Том 457, 1995, стр. 379-392.

См. также

StableDistribution

Документация