Декомпозиция частичных дробей символьных выражений

Найти частичную дробную декомпозицию одномерных и многомерных выражений.

Сначала найдите частичную дробную декомпозицию одномерных выражений. Для выражений с одной переменной можно опустить указание переменной.

syms x
partfrac(x^2/(x^3 - 3*x + 2))

ans =
5/(9*(x - 1)) + 1/(3*(x - 1)^2) + 4/(9*(x + 2))

Найдите частичную дробную декомпозицию многомерного выражения относительно определенной переменной.

syms a b
partfrac(a^2/(a^2 - b^2),a)

ans =
b/(2*(a - b)) - b/(2*(a + b)) + 1

partfrac(a^2/(a^2 - b^2),b)

ans =
a/(2*(a + b)) + a/(2*(a - b))

Если переменная не указана, то partfrac вычисляет разложение частичной фракции относительно переменной, определяемой symvar.

symvar(a^2/(a^2 - b^2),1)
partfrac(a^2/(a^2 - b^2))

ans =
b
 
ans =
a/(2*(a + b)) + a/(2*(a - b))

Режимы факторизации

Выберите определенный режим факторизации с помощью FactorMode вход.

Найдите разложение частичной дроби без указания режима факторизации. По умолчанию partfrac использует факторизацию над рациональными числами. В этом режиме partfrac сохраняет цифры в их точной символической форме.

syms x
f = 1/(x^3 + 2);
partfrac(f,x)

ans =
1/(x^3 + 2)

Повторите разложение с числовой факторизацией по вещественным числам. В этом режиме partfrac преобразует знаменатель в линейные и квадратичные неприводимые многочлены с вещественными коэффициентами. Этот режим преобразует все числовые значения в числа с плавающей запятой.

partfrac(f,x,'FactorMode','real')

ans =
0.2099868416491455274612017678797/(x + 1.2599210498948731647672106072782) -...
(0.2099868416491455274612017678797*x - 0.52913368398939982491723521309077)/(x^2 -...
1.2599210498948731647672106072782*x + 1.5874010519681994747517056392723)

Повторите разложение с факторизацией по комплексным числам. В этом режиме partfrac уменьшает квадратичные многочлены в знаменателе до линейных выражений с комплексными коэффициентами. Этот режим преобразует все числа в плавающую точку.

partfrac(f,x,'FactorMode','complex')

ans =
0.2099868416491455274612017678797/(x + 1.2599210498948731647672106072782) +...
(- 0.10499342082457276373060088393985 - 0.18185393932862023392667876903163i)/...
(x - 0.62996052494743658238360530363911 - 1.0911236359717214035600726141898i) +...
(- 0.10499342082457276373060088393985 + 0.18185393932862023392667876903163i)/...
(x - 0.62996052494743658238360530363911 + 1.0911236359717214035600726141898i)

Найдите разложение частичной дроби этого выражения с помощью режима полной факторизации. В этом режиме partfrac преобразует знаменатель в линейные выражения, сводя квадратичные многочлены к линейным выражениям с комплексными коэффициентами. Этот режим сохраняет цифры в их точной символической форме.

pfFull = partfrac(f,x,'FactorMode','full')

pfFull =
2^(1/3)/(6*(x + 2^(1/3))) +...
(2^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 - 1/2))/(6*(x + 2^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 - 1/2))) -...
(2^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 + 1/2))/(6*(x - 2^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 + 1/2)))

Аппроксимация результата числами с плавающей запятой с помощью vpa. Поскольку выражение не содержит каких-либо символьных параметров, кроме переменной x, результат такой же, как в сложном режиме факторизации.

vpa(pfFull)

ans =
0.2099868416491455274612017678797/(x + 1.2599210498948731647672106072782) +...
(- 0.10499342082457276373060088393985 - 0.18185393932862023392667876903163i)/...
(x - 0.62996052494743658238360530363911 - 1.0911236359717214035600726141898i) +...
(- 0.10499342082457276373060088393985 + 0.18185393932862023392667876903163i)/...
(x - 0.62996052494743658238360530363911 + 1.0911236359717214035600726141898i)

В сложном режиме, partfrac множит только те выражения в знаменателе, коэффициенты которых могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой. Показать это путем замены 2 в f с символьной переменной и найти разложение частичной дроби в комплексном режиме. partfrac возвращает выражение без изменений.

syms a
f = subs(f,2,a);
partfrac(f,x,'FactorMode','complex')

ans =
1/(x^3 + a)

При использовании полного режима факторизации partfrac факторы выражения в знаменателе символически. Таким образом, partfrac в режиме полной факторизации влияет на выражение.

partfrac(1/(x^3 + a), x, 'FactorMode', 'full')

ans =
1/(3*(-a)^(2/3)*(x - (-a)^(1/3))) -...
((3^(1/2)*1i)/2 + 1/2)/(3*(-a)^(2/3)*(x + (-a)^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 + 1/2))) +...
((3^(1/2)*1i)/2 - 1/2)/(3*(-a)^(2/3)*(x - (-a)^(1/3)*((3^(1/2)*1i)/2 - 1/2)))

Возврат полного режима факторизации root

В режиме полной факторизации, partfrac представляет коэффициенты с использованием root когда математически невозможно найти коэффициенты как точные символические числа. Показать это поведение.

syms x
s = partfrac(1/(x^3 + x - 3), x, 'FactorMode','full')

s =
symsum(-((6*root(z^3 + z - 3, z, k)^2)/247 +...
         (27*root(z^3 + z - 3, z, k))/247 +...
          4/247)/(root(z^3 + z - 3, z, k) - x), k, 1, 3)

Аппроксимация результата числами с плавающей запятой с помощью vpa.

vpa(s)

ans =
0.1846004942289254798185772017286/(x - 1.2134116627622296341321313773815) +...
(- 0.092300247114462739909288600864302 + 0.11581130283490645120989658654914i)/...
(x + 0.60670583138111481706606568869074 - 1.450612249188441526515442203395i) +...
(- 0.092300247114462739909288600864302 - 0.11581130283490645120989658654914i)/...
(x + 0.60670583138111481706606568869074 + 1.450612249188441526515442203395i)

Числители и знаменатели частичного разложения дробей

Возвращает вектор числителей и вектор знаменателей разложения частичной дроби.

Сначала найдите частичную дробную декомпозицию выражения.

syms x
P = partfrac(x^2/(x^3 - 3*x + 2), x)

P =
5/(9*(x - 1)) + 1/(3*(x - 1)^2) + 4/(9*(x + 2))

Частичное разложение дробей - это сумма дробей. Используйте children функция для возврата вектора, содержащего члены этой суммы. Затем используйте numden для извлечения числителей и знаменателей терминов.

[N,D] = numden(children(P))

N =
[ 5, 1, 4]
 
D =
[ 9*x - 9, 3*(x - 1)^2, 9*x + 18]

Реконструируйте разложение частичной дроби из векторов числителей и знаменателей.

P1 = sum(N./D)

P1 =
1/(3*(x - 1)^2) + 5/(9*x - 9) + 4/(9*x + 18)

Убедитесь, что восстановленное выражение, P1, эквивалентно исходному разложению частичной фракции, P.

isAlways(P1 == P)

ans =
  logical
     1