Мы узнали, как можно использовать дискретное вейвлет-преобразование для анализа или разложения сигналов и изображений. Этот процесс называется разложением или анализом. Другая половина истории заключается в том, как эти компоненты могут быть собраны обратно в исходный сигнал без потери информации. Этот процесс называется реконструкцией или синтезом. Математическая манипуляция, которая воздействует на синтез, называется обратным дискретным вейвлет-преобразованием (IDWT).
Чтобы синтезировать сигнал с помощью вейвлет Toolbox™ программного обеспечения, мы реконструируем его из вейвлет коэффициентов.
Когда вейвлет-анализ включает в себя фильтрацию и понижающую дискретизацию, процесс реконструкции вейвлет состоит из повышающей дискретизации и фильтрации. Повышающая дискретизация - это процесс удлинения сигнальной составляющей путем вставки нулей между выборками.
Панель инструментов содержит команды, например idwt и waverec, которые выполняют одноуровневую или многоуровневую реконструкцию, соответственно, компонентов 1-D сигналов. Эти команды имеют аналоги 2-D и 3-D, idwt2, waverec2, idwt3, и waverec3.
Фильтрующая часть процесса реконструкции также заслуживает некоторого обсуждения, поскольку выбор фильтров имеет решающее значение для достижения идеальной реконструкции исходного сигнала.
Понижающая дискретизация составляющих сигнала, выполняемая во время фазы разложения, вносит искажение, называемое наложением. Получается, что, тщательно выбирая фильтры для фаз разложения и реконструкции, которые тесно связаны (но не идентичны), мы можем «отменить» эффекты наложения.
Техническое обсуждение того, как проектировать эти фильтры, доступно на странице 347 книги «Вейвлетс и банки фильтров» (Strang and Nguyen). Фильтры разложения нижних и верхних частот (L и H) вместе с соответствующими фильтрами реконструкции (L' и H'), сформировать систему так называемых квадратурных зеркальных фильтров:
Мы видели, что можно восстановить наш исходный сигнал из коэффициентов приближений и деталей.
Также можно реконструировать сами аппроксимации и детали по их векторам коэффициентов. В качестве примера рассмотрим, как бы мы реконструировали приближение первого уровня A1 из вектора коэффициентов cA1.
Передаем вектор коэффициентов cA1 с помощью того же процесса, который мы использовали для восстановления исходного сигнала. Однако вместо того, чтобы объединять его с детализацией первого уровня cD1, мы подаем в вектор нулей вместо вектора коэффициентов детализации:
Процесс дает восстановленное приближение
A1, которая имеет ту же длину, что и исходный сигнал S и что является его реальным приближением.
Аналогично, мы можем реконструировать детали первого уровня D1, используя аналогичный способ:
Восстановленные детали и приближения являются истинными составляющими исходного сигнала. На самом деле, мы находим, когда мы объединяем их, что
A1 + D1 = S.
Обратите внимание, что векторы коэффициентов cA1 и cD1 - потому что они были получены путем понижающей дискретизации и составляют только половину длины исходного сигнала - не могут быть непосредственно объединены для воспроизведения сигнала. Необходимо реконструировать приближения и детали, прежде чем объединять их.
Распространяя этот метод на компоненты многоуровневого анализа, мы находим, что аналогичные отношения сохраняются для всех восстановленных составляющих сигнала. То есть существует несколько способов повторной сборки исходного сигнала:
В разделе «Фильтры реконструкции» говорилось о важности выбора правильных фильтров. Фактически, выбор фильтров не только определяет, возможна ли совершенная реконструкция, но и определяет форму импульса, который мы используем для выполнения анализа.
Чтобы создать вейвлет некоторой практической полезности, редко можно начать с рисования формы сигнала. Вместо этого обычно имеет больше смысла проектировать соответствующие квадратурные зеркальные фильтры, а затем использовать их для создания формы сигнала. Давайте посмотрим, как это делается, сосредоточившись на примере.
Рассмотрим фильтр реконструкции нижних частот (L') для db2 вейвлет.
Коэффициенты фильтра могут быть получены из dbaux функция. Изменив порядок вектора фильтра масштабирования и умножив каждый четный элемент (индексирование от 1) на (-1), вы получите фильтр верхних частот.
Многократное увеличение дискретизации на два и свертывание выходного сигнала с помощью масштабного фильтра создает экстремальный фазовый импульс Daubechies.
L = dbaux(2); H = wrev(L).*[1 -1 1 -1]; HU = dyadup(H,0); HU = conv(HU,L); plot(HU); title('1st Iteration'); H1 = conv(dyadup(HU,0),L); H2 = conv(dyadup(H1,0),L); H3 = conv(dyadup(H2,0),L); H4 = conv(dyadup(H3,0),L); figure; for k =1:4 subplot(2,2,k); eval(['plot(H' num2str(k) ')']); axis tight; end
Кривая начинает выглядеть постепенно более похожа на db2 вейвлет. Это означает, что форма вейвлета полностью определяется коэффициентами восстановительных фильтров.
Эти отношения имеют глубокие последствия. Это означает, что нельзя выбрать только какую-либо форму, назвать ее вейвлетом и выполнить анализ. По крайней мере, вы не можете выбрать произвольную вейвлет-форму, если вы хотите иметь возможность восстановить исходный сигнал точно. Необходимо выбрать форму, определяемую квадратурными зеркальными фильтрами разложения.
Мы видели взаимосвязь вейвлетов и квадратурных зеркальных фильтров. Вейвлет-функция startопределяется фильтром верхних частот, который также производит детали вейвлет-разложения.
Существует дополнительная функция, связанная с некоторыми, но не со всеми вейвлетами. Это так называемая функция масштабирования, start. Функция масштабирования очень похожа на вейвлет-функцию. Он определяется низкочастотными квадратурными зеркальными фильтрами и, таким образом, связан с аппроксимациями вейвлет-разложения.
Таким же образом, что итерационно повышающая дискретизация и свертка фильтра верхних частот создает форму, аппроксимирующую вейвлет-функцию, итеративно повышающая дискретизация и свертка фильтра нижних частот создает форму, аппроксимирующую масштабную функцию.