В этом разделе описываются основные различия между непрерывным вейвлет-преобразованием (CWT) и дискретным вейвлет-преобразованием (DWT) - как прореженные, так и недекимированные версии. cwt является дискретизированной версией CWT, так что она может быть реализована в вычислительной среде. Это обсуждение сосредоточено на 1-D случае, но применимо к более высоким измерениям.
cwt вейвлет-преобразование сравнивает сигнал со сдвинутыми и масштабированными (растянутыми или сжатыми) копиями базового вейвлета. Если ) - вейвлет, центрированный при t = 0 с временной поддержкой на [-T/2, T/2], − us) центрирован при t = u с временной поддержкой [-sT/2 + u, sT/2 + u]. cwt функция использует нормализацию L1 таким образом, что все амплитуды частот нормируются до одинакового значения. Если 0 < s < 1, вейвлет сжимается (сжимается), а если s > 1, вейвлет растягивается. Математический термин для этого - расширение. Примеры того, как эта операция извлекает элементы сигнала, сопоставляя их с расширенными и преобразованными вейвлетами, см. в разделе Непрерывное вейвлет-преобразование и анализ на основе масштаба.
Основное различие между CWT и дискретными вейвлет-преобразованиями, такими как dwt и modwt, как дискретизируется параметр масштаба. CWT дискретизирует масштаб более точно, чем дискретное вейвлет-преобразование. В CWT обычно фиксируют некоторое основание, которое является дробной степенью двух, например, , где v - целое число больше 1. Параметр v часто называют числом «голосов на октаву». Различные масштабы получаются путём повышения этой базовой шкалы до положительных целых степеней, например ,.... Параметр трансляции в CWT дискретизируется до целых значений, обозначенных здесь как m. Результирующие дискретизированные вейвлеты для CWT являются
m2j/v).
Причина v упоминается как число голосов на октаву, потому что увеличение шкалы на октаву (удвоение) требует v промежуточных шкал. Возьмем, например, 2, а затем увеличим числитель в экспоненте до достижения 4, следующей октавы. Вы перемещаетесь = 2 22v/v = 4. Существуют v промежуточных этапов. Общими значениями для v являются 10,12,14,16 и 32. Чем больше значение v, тем лучше дискретизация параметра масштаба, однако это также увеличивает объем вычислений, необходимых, поскольку CWT должен быть вычислен для каждой шкалы. Разница между шкалами по шкале log2 составляет 1/v. Примеры масштабных векторов с CWT см. в разделах Частотно-временной анализ CWT и непрерывный вейвлет-анализ модулированных сигналов.
В дискретном вейвлет-преобразовании параметр масштаба всегда дискретизируется до целых степеней 2, 2j, j = 1,2,3,..., так что число голосов на октаву всегда равно 1. Разница между масштабами на шкале log2 всегда равна 1 для дискретных вейвлет-преобразований. Следует отметить, что это намного более грубая выборка параметра шкалы s, чем в случае CWT. Кроме того, в прореженном (пониженном) дискретном вейвлет-преобразовании (DWT) параметр трансляции всегда пропорционален шкале. Это означает, что в масштабе 2j всегда переводится на 2jm, где m - неотрицательное целое число. В недекимированных дискретных вейвлет-преобразованиях, таких какmodwt и swt, параметр масштаба ограничен степенями двух, но параметр преобразования является целым числом, как в CWT. Дискретизированный вейвлет для DWT принимает следующий вид
2jm)).
Дискретизированный вейвлет для недекимированного дискретного вейвлет-преобразования, такого как MODWT, является
m2j).
Подводя итоги:
CWT и дискретные вейвлет-преобразования различаются тем, как они дискретизируют параметр масштаба. CWT обычно использует экспоненциальные шкалы с основанием меньше 2, например 21/12. Дискретное вейвлет-преобразование всегда использует экспоненциальные шкалы с основанием, равным 2. Шкалы в дискретном вейвлет-преобразовании являются степенями 2. Имейте в виду, что физическая интерпретация масштабов как для CWT, так и для дискретных вейвлет-преобразований требует включения интервала дискретизации сигнала, если он не равен единице. Например, предположим, что используется CWT и для базы установлено значение s0 = 21/12. Чтобы шкале физическую значимость, необходимо умножить на интервал выборки Δt, так что вектор шкалы, охватывающий примерно четыре октавы с учитываемым интервалом выборки, равен s0jΔt интервал выборки умножает масштабы, но не в экспоненте. Для дискретных вейвлет-преобразований базовая шкала всегда равна 2.
Прореженные и недекимированные дискретные вейвлет-преобразования различаются тем, как они дискретизируют параметр трансляции. Прореженное дискретное вейвлет-преобразование (DWT) всегда переводится на целое число, кратное шкале, 2jm. Недекимированное дискретное вейвлет-преобразование преобразуется целочисленными сдвигами.
Эти различия в том, как дискретизируются масштаб и трансляция, приводят к преимуществам и недостаткам для двух классов вейвлет-преобразований. Эти различия также определяют случаи использования, когда одно вейвлет-преобразование, вероятно, даст превосходные результаты. Некоторые важные последствия дискретизации масштаба и параметра перевода:
DWT обеспечивает разреженное представление для многих естественных сигналов. Другими словами, важные признаки многих естественных сигналов захватываются подмножеством коэффициентов DWT, которое обычно значительно меньше, чем исходный сигнал. Это «сжимает» сигнал. С помощью DWT всегда получается то же количество коэффициентов, что и исходный сигнал, но многие из коэффициентов могут быть близки к нулю по значению. В результате часто можно отбросить эти коэффициенты и по-прежнему поддерживать качественное приближение сигнала. С помощью CWT можно перейти от N выборок для сигнала N-длины к матрице M-на-N коэффициентов с M, равным числу шкал. CWT является сильно избыточным преобразованием. Существует значительное перекрытие между вейвлетами на каждой шкале и между шкалами. Вычислительные ресурсы, необходимые для вычисления CWT и хранения коэффициентов, намного больше, чем DWT. Недекимированное дискретное вейвлет-преобразование также является избыточным, но коэффициент избыточности обычно значительно меньше, чем CWT, потому что параметр масштаба не дискретизирован так точно. Для недекимированного дискретного вейвлет-преобразования вы переходите от N выборок к L + 1-на-N матрице коэффициентов, где L - уровень преобразования.
Строгая дискретизация масштаба и трансляции в DWT гарантирует, что DWT является ортонормированным преобразованием (при использовании ортогонального вейвлета). Есть много преимуществ ортонормированных преобразований в анализе сигнала. Многие сигнальные модели состоят из некоторого детерминированного сигнала плюс белый гауссов шум. Ортонормированное преобразование принимает этот вид сигнала и выводит преобразование, применяемое к сигналу плюс белый шум. Другими словами, ортонормированное преобразование принимает белый гауссов шум и выводит белый гауссов шум. Шум не коррелируется на входе и выходе. Это важно во многих настройках обработки статистических сигналов. В случае DWT интересующий сигнал обычно захватывается несколькими коэффициентами DWT большой величины, в то время как шум приводит ко многим малым коэффициентам DWT, которые можно выбросить. Если вы изучили линейную алгебру, вы, без сомнения, узнали много преимуществ использования ортонормированных основ в анализе и представлении векторов. Вейвлеты в DWT подобны ортонормированным векторам. Ни CWT, ни недекимированное дискретное вейвлет-преобразование не являются ортонормированными преобразованиями. Вейвлеты в CWT и недекимированном дискретном вейвлет-преобразовании технически называются кадрами, они являются линейно-зависимыми множествами.
DWT не является инвариантным сдвигом. Поскольку DWT понижает выборку, сдвиг входного сигнала не проявляется как простой эквивалентный сдвиг коэффициентов DWT на всех уровнях. Простой сдвиг сигнала может вызвать значительную перестройку энергии сигнала в коэффициентах DWT по шкале. CWT и недекимированное дискретное вейвлет-преобразование являются инвариантными по сдвигу. Есть некоторые модификации DWT, такие как комплекс двойного дерева, который дискретная небольшая волна преобразовывает, которые смягчают отсутствие постоянства изменения в DWT, видят Критически Выбранные и Сверхвыбранные Банки Фильтра Небольшой волны некоторого концептуального материала по этой теме, и Небольшая волна Комплекса Двойного Дерева Преобразовывает для примера.
Дискретные вейвлет-преобразования эквивалентны блокам дискретных фильтров. В частности, они представляют собой блоки дискретных фильтров с древовидной структурой, в которых сигнал сначала фильтруется низкочастотным фильтром и фильтром верхних частот для получения низкочастотных и высокочастотных поддиапазонов. Впоследствии поддиапазон нижних частот итеративно фильтруется по той же схеме для получения более узких поддиапазонов нижних и верхних частот. В DWT выходные сигналы фильтра понижаются на каждом последовательном этапе. В недекимированном дискретном вейвлет-преобразовании выходные сигналы не дискретизируются. Фильтры, которые определяют дискретные вейвлет-преобразования, обычно имеют только небольшое число коэффициентов, так что преобразование может быть реализовано очень эффективно. Как для DWT, так и для недекимированного дискретного вейвлет-преобразования фактически не требуется выражение для вейвлета. Фильтров достаточно. Это не так с CWT. Наиболее распространенная реализация CWT требует явного определения вейвлета. Даже несмотря на то, что недекимированное дискретное вейвлет-преобразование не приводит к понижению частоты сигнала, реализация банка фильтров по-прежнему обеспечивает хорошую вычислительную производительность, но не такую хорошую, как DWT.
Дискретные вейвлет-преобразования обеспечивают идеальное восстановление сигнала при инверсии. Это означает, что можно взять дискретное вейвлет-преобразование сигнала и затем использовать коэффициенты для синтеза точного воспроизведения сигнала в пределах числовой точности. Можно реализовать обратный CWT, но часто бывает, что реконструкция не идеальна. Восстановление сигнала из коэффициентов CWT является гораздо менее стабильной численной операцией.
Более тонкая выборка шкал в CWT обычно приводит к анализу сигнала с более высокой точностью. Можно локализовать переходные процессы в сигнале или лучше охарактеризовать колебательное поведение с помощью CWT, чем с помощью дискретных вейвлет-преобразований.
Дополнительные сведения о вейвлет-преобразованиях и приложениях см. в разделе
На основании предыдущего раздела ниже приведены некоторые основные рекомендации по принятию решения об использовании дискретного или непрерывного вейвлет-преобразования.
Если необходимо получить максимально разреженное представление сигнала для сжатия, деноизирования или передачи сигнала, используйте DWT с wavedec.
Если приложение требует ортогонального преобразования, используйте DWT с одним из ортогональных вейвлет-фильтров. Ортогональные семейства в вейвлет- Toolbox™ обозначаются в менеджере вейвлетов как вейвлеты типа 1. wavemngr. Допустимыми встроенными семействами ортогональных вейвлетов являются 'haar', 'dbN', 'fkN', 'coifN', или 'symN' где N - количество исчезающих моментов для всех семейств, кроме 'fk'. Для 'fk', N - число коэффициентов фильтра. Посмотрите waveinfo для получения более подробной информации.
Если ваше приложение требует инвариантного преобразования сдвига, но вам все еще нужна идеальная реконструкция и некоторая мера вычислительной эффективности, попробуйте недекимированное дискретное вейвлет-преобразование, как modwt или преобразование с двойным деревом, например, dualtree.
Если основной целью является детальный частотно-временной (масштабный) анализ или точная локализация переходных процессов сигнала, используйте cwt. Пример частотно-временного анализа с помощью CWT см. в разделе Частотно-временной анализ на основе CWT.
Для затенения сигнала путем пороговой обработки вейвлет-коэффициентов используйте wdenoise или приложение Vavelet Signal Denoiser. wdenoise и Vavelet Signal Denoiser предоставляют настройки по умолчанию, которые могут быть применены к вашим данным, а также простой интерфейс для различных денойзинговых методов. С помощью приложения можно визуализировать и подавлять сигналы, а также сравнивать результаты. Примеры обессоливания сигнала см. в разделах Обессоливание сигнала с использованием значений по умолчанию и обессоливание сигнала с помощью обессоливания вейвлет-сигнала. Для обличения изображений используйте wdenoise2. Пример см. в разделе Деноизирование сигналов и изображений.
Если приложение требует четкого понимания статистических свойств вейвлет-коэффициентов, используйте дискретное вейвлет-преобразование. Существует активная работа по пониманию статистических свойств CWT, но в настоящее время существует гораздо больше результатов распределения для дискретных вейвлет-преобразований. Успех DWT в денонсировании во многом обусловлен нашим пониманием его статистических свойств. Пример оценки и проверки гипотез с использованием недекимированного дискретного вейвлет-преобразования см. в разделе Вейвлет-анализ финансовых данных.