Exponenta Banner
exponenta event banner

norm

Норма линейной модели

Свернуть все на странице

Синтаксис

n = norm(sys)
n = norm(sys,2)
n = norm(sys,Inf)
[n,fpeak] = norm(sys,Inf)
[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol)

Описание

пример

n = norm(sys) или n = norm(sys,2) возвращает среднее значение корня квадратов импульсной характеристики модели линейной динамической системы sys. Это значение эквивалентно H 2 норме sys.

n = norm(sys,Inf) возвращает L∞ норму sys, который является пиковым усилением частотной характеристики sys по частотам. Для систем MIMO эта величина является пиковым усилением по всем частотам и всем входным направлениям, что соответствует пиковому значению наибольшего сингулярного значения sys. Для стабильных систем норма L∞ эквивалентна норме H ∞. Для получения дополнительной информации см.hinfnorm (Robust Control Toolbox).

пример

[n,fpeak] = norm(sys,Inf) также возвращает частоту fpeak при котором коэффициент усиления достигает своего пикового значения.

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol) устанавливает относительную точность нормы L ∞ равной tol.

Примеры

свернуть все

Открыть Live Script

Вычислите H2 и L∞ нормы следующей передаточной функции в дискретном времени со шаг расчета 0,1 секунды.

sys(z)=z3-2.841z2+2.875z-1.004z3-2.417z2+2.003z-0.5488.

Вычислите H2 норма передаточной функции. H2 norm - среднеквадратичный квадрат импульсной характеристики sys.

sys = tf([1 -2.841 2.875 -1.004],[1 -2.417 2.003 -0.5488],0.1);
n2 = norm(sys)
n2 = 1.2438

Вычислите L∞ норма передаточной функции.

[ninf,fpeak] = norm(sys,Inf)
ninf = 2.5721

fpeak = 3.0178

Потому что sys является стабильной системой, ninf - пиковое усиление частотной характеристики sys, и fpeak - частота, на которой происходит пиковое усиление. Подтвердите эти значения с помощью getPeakGain.

[gpeak,fpeak] = getPeakGain(sys)
gpeak = 2.5721

fpeak = 3.0178

Входные параметры

свернуть все

Входная динамическая система, заданная как любая линейная динамическая система SISO или MIMO массива моделей или массива моделей. sys может быть непрерывным или дискретным.

Относительная точность H ∞ нормы, заданная как положительное действительное скалярное значение.

Выходные аргументы

свернуть все

H 2 норму или L∞ норму sys, возвращенный как скаляр или массив.

  • Если sys является одной моделью, тогда n является скалярным значением.

  • Если sys является массивом моделей, затем n - массив того же размера, что и sys, где n(k) = norm(sys(:,:,k)).

Частота, при которой усиление достигает пикового значения gpeak, возвращенный как неотрицательное действительное скалярное значение или массив неотрицательных вещественных значений. Частота выражается в модулях рад/ TimeUnit, относительно TimeUnit свойство sys.

  • Если sys является одной моделью, тогда fpeak является скаляром.

  • Если sys является массивом моделей, затем fpeak - массив того же размера, что и sys, где fpeak(k) - пиковая частота усиления sys(:,:,k).

Подробнее о

свернуть все

H2 норма

Норма H 2 устойчивой системы H является средним корнем квадратом импульсной характеристики системы. Норма H 2 измеряет установившуюся ковариацию (или мощность) выходного отклика y = Hw на единичные входы белого шума w:

‖H‖22=limEt→∞{y(t)Ty(t)},       E(w(t)w(τ)T)=δ(t−τ)I.

Норма H 2 системы непрерывного времени с передаточной функцией H (s) задается:

‖H‖2=12π∫−∞∞След[H(jω)HH(jω)] dω.

Для системы в дискретном времени с передаточной функцией H (z) норма H 2 определяется:

‖H‖2=12π∫−ππСлед[H(ejω)HH(ejω)]dω.

Норма H 2 бесконечна в следующих случаях:

  • sys нестабильно.

  • sys непрерывна и имеет ненулевое сквозное соединение (то есть ненулевое усиление на частоте ω = ∞).

Использование norm(sys) приводит к тому же результату что и sqrt(trace(covar(sys,1))).

Норма L-бесконечности

Норма L ∞ линейной системы SISO является пиковым усилением частотной характеристики. Для системы MIMO L норма ∞ является пиковым усилением во всех входных/выходных каналах.

Для системного H в непрерывном времени (s) это определение означает:

‖H(s)‖L∞=maxω∈R|H(jω)|                   (SISO)‖H(s)‖L∞=maxω∈Rσmax(H(jω))        (MIMO)

where и (·) обозначает наибольшее сингулярное значение матрицы.

Для H системы в дискретном времени (z) определение означает:

‖H(z)‖L∞=maxθ∈[0,2π]|H(ejθ)|                     (SISO)‖H(z)‖L∞=maxθ∈[0,2π]σmax(H(ejθ))  (MIMO)

Для стабильных систем L норма ∞ эквивалентна H норме ∞. Для получения дополнительной информации см.hinfnorm (Robust Control Toolbox). Для системы с нестабильными полюсами H ∞ норма бесконечна. Для всех систем ,norm возвращает L норму ∞, которая является пиковым усилением без учета устойчивости системы .

Алгоритмы

После преобразования sys в модель пространства состояний, norm использует тот же алгоритм, что и covar для H 2 нормы. Для L ∞ нормы,norm использует алгоритм [1]. norm вычисляет пиковое усиление с помощью библиотеки SLICOT. Дополнительные сведения о библиотеке SLICOT см. в разделе http://slicot.org.

Ссылки

[1] Bruisma, N.A. and M. Steinbuch, «A Fast Algorithm to Compute the H∞-Norm of a Передаточная Функция Matrix», System Control Letters, 14 (1990), pp. 287-293.

См. также

| | | (Robust Control Toolbox)

Представлено до R2006a

Control System Toolbox документация

Поддержка