Постройте график функции импульсной характеристики условной средней модели

В этой теме представлено несколько примеров, которые показывают, как построить и вернуть функцию импульсной характеристики (IRF) одномерных авторегрессионных моделей скользящего среднего значения (ARMA). Примеры также показывают, как взаимодействовать с графиками.

Функции Econometrics Toolbox™ impulse и armairf используйте тот же метод, чтобы вычислить IRF одномерной модели условного среднего по умолчанию. Однако функции имеют различия, как описано в этой таблице.

Функция Описание Необходимый вход Примечания

Функция	Описание	Необходимый вход	Примечания
`impulse`	Графики (вычисления) IRF модели ARIMA, заданной `arima` объект модели	Полностью заданные `arima` объект модели, такой как модель, возвращенная `estimate`	Применяет модуль шок в момент 0 (ε 0 = 1) Графики диаграммы лист-ствол Хорошо подходит для `arima` Рабочие процессы объекта модели, особенно сезонные или интегрированные модели
`armairf`	Графики (вычисления) IRF модели ARIMA, заданные полиномами оператора общих AR и MA lag	Массивы, содержащие коэффициенты полинома оператора полной задержки AR и MA, или `LagOp` lag оператор полинома объекты, представляющие общие компоненты AR и MA	Применяет шок с одним стандартным отклонением в момент 0 (ε 0 = σ) Графики графика временных рядов Хорошо подходит для манипуляции графиком Поддерживает многомерные линейные модели временных рядов

impulse

Графики (вычисления) IRF модели ARIMA, заданной arima объект модели

Полностью заданные arima объект модели, такой как модель, возвращенная estimate

Применяет модуль шок в момент 0 (ε 0 = 1)
Графики диаграммы лист-ствол
Хорошо подходит для arima Рабочие процессы объекта модели, особенно сезонные или интегрированные модели

armairf

Графики (вычисления) IRF модели ARIMA, заданные полиномами оператора общих AR и MA lag

Массивы, содержащие коэффициенты полинома оператора полной задержки AR и MA, или LagOp lag оператор полинома объекты, представляющие общие компоненты AR и MA

Применяет шок с одним стандартным отклонением в момент 0 (ε 0 = σ)
Графики графика временных рядов
Хорошо подходит для манипуляции графиком
Поддерживает многомерные линейные модели временных рядов

IRF модели скользящего среднего значения

Открыть Live Script

В этом примере показано, как построить и вернуть IRF чистой модели MA с помощью impulse и armairf. В примере также показано, как изменить цвет нанесенных на график IRFs.

Уравнение для модели MA (q) является

$y_{t} = μ + θ (L) ε_{t},$

где $θ (L)$ является оператором задержки q-степени MA, полинома $(1 + θ_{1} L + \dots + θ_{q} L^{q}) .$

IRF для модели MA является последовательностью коэффициентов MA $1, θ_{1}, \dots, θ_{q} .$

Постройте график IRF с использованием impulse

Создайте модель MA (3) с нулем с коэффициентами $θ_{1} = 0.8$ , $θ_{2} = 0.5$ , и $θ_{3} = - 0.1,$ и инновационное отклонение 1.

ma = [0.8 0.5 -0.1];
Mdl = arima('Constant',0,'MA',ma,'Variance',1);

Mdl является полностью заданным arima объект модели, представляющий модель MA (3).

Постройте график IRF модели MA (3).

impulse(Mdl)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

impulse возвращает диаграмму лист-ствол, содержащий график 1 в периоде 0, за которым следуют значения коэффициентов MA в их лагах.

Для модели MA функция импульсной характеристики останавливается после q-периодов. В этом примере последний ненулевой коэффициент находится в лаге q = 3.

Верните IRF, позвонив impulse и определение выходного аргумента.

periods = (0:3)';
dm = impulse(Mdl);
IRF = table(periods,dm)

IRF=4×2 table
    periods     dm 
    _______    ____

       0          1
       1        0.8
       2        0.5
       3       -0.1

Чтобы изменить аспекты диаграммы лист-ствол, необходимо задать значения его свойств. Указатель на диаграмму лист-ствол находится в Children свойство указателя на оси графика.

Извлеките указатель на диаграмму лист-ствол из указателя на текущую систему координат.

h = gca;
hstem = h.Children;

Измените цвет диаграммы лист-ствол на красный при помощи значения цвета RGB.

hstem.Color = [1 0 0];

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Постройте график IRF с использованием armairf

Постройте график IRF модели MA (3) путем передачи ma как коэффициенты MA (второй вход). Задайте пустой массив для коэффициентов полинома AR (первый вход). Верните IRF и постройте график указателя.

[dm,h] = armairf([],ma);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

table(periods,dm)

ans=4×2 table
    periods     dm 
    _______    ____

       0          1
       1        0.8
       2        0.5
       3       -0.1

В отличие от impulse, armairf возвращает график временных рядов.

Измените цвет линии графика на красный.

h.Color = [1 0 0];

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

IRF авторегрессионной модели

Открыть Live Script

В этом примере показано, как построить график IRF модели AR с помощью impulse и armairf. Кроме того, пример показывает, как изменения отклонения влияют на IRF.

Уравнение модели AR (p) является

$y_{t} = c + ϕ (L)^{- 1} ε_{t},$

где $ϕ (L)$ является $p$ -degree AR lag оператор полином $(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{p} L^{p})$ .

Процесс AR является стационарным, когда полином оператора AR является стабильным, что означает, что все его корни лежат вне модуля круга. В этом случае обратный полином бесконечной степени $ψ (L) = ϕ (L)^{- 1}$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты, и IRF распадается на нули.

Постройте график IRF с использованием impulse

Создайте модель AR (2) с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.5$ и $ϕ_{2} = - 0.75$ , константа модели 0,5 и отклонения инноваций 1.

ar = [0.5 -0.75];
Mdl = arima('Constant',0.5,'AR',ar,'Variance',1);

Постройте график IRF модели AR (2) на 31 период от периодов 0 до 30.

numObs = 31;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF распадается в синусоидальном шаблоне.

Увеличьте константу до 100, а затем постройте график IRF скорректированной модели AR (2).

Mdl.Constant = 100;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Поскольку детерминированные компоненты не присутствуют в IRF, это не зависит от увеличенной константы.

Уменьшите инновационное отклонение до 1e-5, и затем постройте график IRF скорректированной модели AR (2).

Mdl.Variance = 1e-5;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

Потому что impulse всегда применяет модуль шок к инновациям системы, IRF не зависит от уменьшения инновационного отклонения.

Постройте график IRF с использованием armairf

Постройте график IRF исходной модели AR (2) путем передачи ar как коэффициенты AR (первый вход). Задайте пустой массив для коэффициентов полинома MA (второй вход). Укажите 31 период.

armairf(ar,[],'NumObs',numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Постройте график IRF, задающий инновационное отклонение 1e-5.

armairf(ar,[],'NumObs',numObs,'InnovCov',1e-5);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Потому что armairf применяет к системе инновационный шок с одним стандартным отклонением, шкала IRF в этом случае меньше.

IRF модели ARMA

Открыть Live Script

В этом примере показано, как построить график IRF модели ARMA с помощью impulse и armairf.

Уравнение модели ARMA (p, q) является

$y_{t} = c + ϕ (L)^{- 1} θ (L) ε_{t},$

где:

$ϕ (L)$ - полином оператора задержки AR p-степени $(1 - ϕ_{1} L - \dots - ϕ_{p} L^{p})$ .
$θ (L)$ - полином оператора задержки q-степени MA $(1 + θ_{1} L + \dots + θ_{q} L^{q})$ .

Процесс ARMA является стационарным, когда полином оператора AR является стабильным, что означает, что все его корни лежат вне модуля круга. В этом случае обратный полином бесконечной степени $ψ (L) = ϕ (L)^{- 1} θ (L)$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты, и IRF распадается на нули.

Постройте график IRF с использованием impluse

Создайте модель ARMA (2,1) с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.6$ , $ϕ_{2} = - 0.3$ , и $θ_{1} = 0.4$ , константа модели 0 и отклонения инноваций 1.

ar = [0.6 -0.3];
ma = 0.4;
Mdl = arima('AR',ar,'MA',ma,'Constant',0,'Variance',1);

Постройте график IRF модели ARMA (2,1) в течение 11 периодов с периодов от 0 до 10.

numObs = 11;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF распадается в синусоидальном шаблоне.

Постройте график IRF с использованием armairf

Постройте график IRF модели ARMA (2,1) путем прохождения ar как коэффициенты AR (первый вход) и ma как коэффициенты MA (второй вход). Укажите 11 периодов.

armairf(ar,ma,'NumObs',numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

IRF сезонной модели AR

Открыть Live Script

В этом примере показано, как построить и вернуть IRF сезонной модели AR с помощью impulse и armairf. Кроме того, пример показывает, как подготовиться LagOp задержка полиномов оператора в качестве входов в armairf.

Уравнение РСА $(p, 0, 0) \times (p_{s}, 0, 0)_{s}$ модель есть

$y_{t} = c + Φ (L)^{- 1} ϕ (L)^{- 1} ε_{t}$ ,

где:

$ϕ (L)$ является $p$ -degree AR lag оператор полином $1 - ϕ_{1} L - . . . - ϕ_{p} L^{p}$ .
$Φ (L)$ является $p_{s}$ - степень сезонный оператор AR lag полинома $1 - Φ_{p_{1}} L^{p_{1}} - . . . - Φ_{p_{s}} L^{p_{s}}$ .

Как и чистый процесс AR, процесс РСА является стационарным, когда продукт $ϕ (L) Φ (L)$ является стабильным. В этом случае обратный полином бесконечной степени $ψ (L) = Φ (L)^{- 1} ϕ (L)^{- 1}$ имеет абсолютно суммируемые коэффициенты, и IRF распадается на нули.

Постройте график IRF с использованием impulse

Создание ежеквартального РСА $(1, 0, 0) \times {(4, 0, 0)}_{4}$ модель с коэффициентами $ϕ_{1} = 0.5$ и $Φ_{4} = - 0.4$ , константа модели 0 и отклонения инноваций 1.

ar = 0.5;
sar = -0.4;
sarlags = 4;
Mdl = arima('AR',ar,'SAR',sar,'SARLags',sarlags,...
    'Constant',0,'Variance',1)

Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model with Seasonal AR(4) (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 5
               D: 0
               Q: 0
        Constant: 0
              AR: {0.5} at lag [1]
             SAR: {-0.4} at lag [4]
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: 1

Постройте график IRF модели РСА на 17 кварталов, с кварталов 0 по 16.

numObs = 17;
impulse(Mdl,numObs)

Figure contains an axes. The axes with title Impulse Response contains an object of type stem.

IRF распадается в синусоидальном шаблоне.

Верните IRF.

irfIMPULSE = impulse(Mdl,numObs);

Постройте график IRF с использованием armirf

armairf принимает один общий AR- полинома. Поэтому перед вызовом необходимо умножить все полиномы оператора AR и дифференцирования задержки, существующие в модели armairf.

Создайте полиномы оператора задержки для многочленов AR и РСА. Для каждого полинома:

Включите член с задержкой 0, который имеет коэффициент 1.
Отмените коэффициенты, чтобы выразить полиномы в обозначении оператора задержки со всеми многочленами AR в левой части уравнения.

ARLOP = LagOp([1 -ar],'Lags',[0 1])

ARLOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 -0.5]
                Lags: [0 1]
              Degree: 1
           Dimension: 1

MALOP = LagOp([1 -sar],'Lags',[0 sarlags])

MALOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 0.4]
                Lags: [0 4]
              Degree: 4
           Dimension: 1

Умножьте полиномы.

ARProdLOP = ARLOP*MALOP

ARProdLOP = 
    1-D Lag Operator Polynomial:
    -----------------------------
        Coefficients: [1 -0.5 0.4 -0.2]
                Lags: [0 1 4 5]
              Degree: 5
           Dimension: 1

ARProdLOP является LagOp объект, представляющий продукт полиномов AR и РСА модели РСА.

Постройте и верните IRF, передав ARProdLOP как полином AR (первый вход). Задайте пустой массив для полинома MA (второй вход). Чтобы построить график IRF, также верните указатель на график.

[irfARMAIRF,h] = armairf(ARProdLOP,[],'NumObs',numObs);

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains an object of type line.

Сравните IRF.

periods = (0:(numObs - 1))';
table(periods,irfIMPULSE,irfARMAIRF)

ans=17×3 table
    periods    irfIMPULSE    irfARMAIRF
    _______    __________    __________

       0                1             1
       1              0.5           0.5
       2             0.25          0.25
       3            0.125         0.125
       4          -0.3375       -0.3375
       5         -0.16875      -0.16875
       6        -0.084375     -0.084375
       7        -0.042188     -0.042188
       8          0.13891       0.13891
       9         0.069453      0.069453
      10         0.034727      0.034727
      11         0.017363      0.017363
      12        -0.055318     -0.055318
      13        -0.027659     -0.027659
      14         -0.01383      -0.01383
      15       -0.0069148    -0.0069148
      ⋮

IRF, возвращенные двумя функциями, кажутся эквивалентными.

Подробнее о функции импульсной характеристики

Рассмотрим общую линейную модель одномерных временных рядов _yt

$a (L) y_{t} = c + x_{t} β + b (L) ε_{t},$

где:

{_εt} является последовательностью некоррелированных, одинаково распределенных случайных переменных со стандартными σ отклонения.
a (L) является полиномом оператора AR lag.
c является моделью константы.
_xt β является экзогенным регрессионным компонентом. _xt является вектором-строкой наблюдений экзогенных переменных в t времени, и β является соответствующим вектором-столбцом коэффициентов регрессии.
b (L) является полиномом оператора задержки MA.

Принимая, что a (L) является ненулевым, сжатое представление модели является

$y_{t} = m_{t} + ψ (L) ε_{t},$

где:

$ψ (L) = a {(L)}^{- 1} b (L)$ является полиномом оператора задержки MA бесконечной степени $ψ_{0} + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots$ со скалярными коэффициентами _ψj, j = 0,1,2,... и ψ 0 = 1.
_mt является детерминированным, без инноваций условным средним для процесса в t времени.

impulse response function (IRF) является динамической характеристикой системы на один импульс (инновационный шок). IRF измеряет изменение периодов j отклика в будущем из-за изменения инновации в то время t для j = 0,1,2,.... Символически IRF в период j является

$\frac{\partial y_{t + j}}{\partial ε_{t}} = ψ_{j} .$

Последовательность dynamic multipliers [1], ψ 0, ψ 1, ψ 2,..._, измеряет чувствительность процесса к чисто временному изменению инновационного процесса, с прошлыми откликами и будущими инновациями, установленными на 0. Поскольку частная производная взята относительно инновации, наличие в модели детерминированных членов, таких как константа и экзогенный регрессионный компонент, не влияет на импульсные характеристики.

Свойства IRF определяют характеристики процесса:

Если последовательность ${ψ_{j}}$ абсолютно суммируется, _yt является ковариационно-стационарным стохастическим процессом [2]. Для стационарного стохастического процесса влияние на процесс из-за изменения _εt не является постоянным, и эффект импульса распадается до нуля.
В противном случае _yt процесса является нестационарным, и изменение _εt влияет на процесс постоянно.

Поскольку инновации могут быть интерпретированы как одноэтапные ошибки прогноза, импульсная характеристика также известна как forecast error impulse response.

Ссылки

[1] Гамильтон, Джеймс Д. Анализ временных рядов. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.

[2] Wold, H. A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.

Документация