Рассмотрим множественную линейную регрессионую модель, которая предсказывает реальный валовой национальный продукт США (GNPR) с использованием линейной комбинации индекса промышленного производства (IPI), общая занятость (E), и реальная заработная плата (WR).

Для всех $$t$$, $${\epsilon }_t$$ - серия независимых гауссовских нарушений порядка со средним значением 0 и отклонением $${\sigma }^2$$.

Предположим, что эти предыдущие распределения:

Эти предположения и вероятность данных подразумевают нормальную-обратную-гамма-сопряженную модель.

Создайте нормально-обратную гамма-сопряженную предшествующую модель для параметров линейной регрессии. Задайте количество предикторов p и имена переменных.

p = 3;
VarNames = ["IPI" "E" "WR"];
PriorMdl = bayeslm(p,'ModelType','conjugate','VarNames',VarNames);

PriorMdl является conjugateblm Байесовский объект линейной регрессионной модели, представляющий предшествующее распределение коэффициентов регрессии и отклонение нарушения порядка.

Постройте график предыдущих распределений.

plot(PriorMdl);

plot строит графики предельных предварительных распределений точки пересечения, коэффициентов регрессии и нарушения порядка отклонения.

Предположим, что среднее значение коэффициентов регрессии является $$[-2040.0012{]}^{\prime }$$ и их масштабная ковариационная матрица

Кроме того, предшествующая шкала отклонения нарушения порядка составляет 0,01. Укажите предыдущую информацию с помощью записи через точку.

PriorMdl.Mu = [-20; 4; 0.001; 2];
PriorMdl.V = diag([1 0.001 1e-8 0.01]);
PriorMdl.B = 0.01;

Запросите новый рисунок и постройте график предыдущего распределения.

plot(PriorMdl);

plot заменяет распределение тока рисунка на график предшествующего распределения нарушения порядка отклонения.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера и создайте переменные для данных предиктора и отклика.

load Data_NelsonPlosser
X = DataTable{:,PriorMdl.VarNames(2:end)};
y = DataTable.GNPR;

Оцените апостериорные распределения.

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,X,y,'Display',false);

PosteriorMdl является conjugateblm объект модели, который содержит апостериорные распределения $$\beta$$ и $${\sigma }^2$$.

Постройте график апостериорных распределений.

plot(PosteriorMdl);

Постройте график априорных и апостериорных распределений параметров на тех же подграфиках.

plot(PosteriorMdl,PriorMdl);

Рассмотрим регрессионую модель в График Предшествующих и Апостериорных распределениях.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, создайте сопряженную предыдущую модель по умолчанию, а затем оцените апостериор, используя первые 75% данных. Отключите отображение оценки.

p = 3;
VarNames = ["IPI" "E" "WR"];
PriorMdl = bayeslm(p,'ModelType','conjugate','VarNames',VarNames);

load Data_NelsonPlosser
X = DataTable{:,PriorMdl.VarNames(2:end)};
y = DataTable.GNPR;

d = 0.75;
PosteriorMdlFirst = estimate(PriorMdl,X(1:floor(d*end),:),y(1:floor(d*end)),...
    'Display',false);

Постройте график предыдущего распределения и апостериорного распределения отклонения нарушения порядка. Верните указатель на рисунок.

[~,~,~,h] = plot(PosteriorMdlFirst,PriorMdl,'VarNames','Sigma2');

h - указатель на рисунок для графика распределения. Если вы измените имя тега рисунка путем изменения Tag свойство, затем следующая plot вызов помещает все новые графики распределения на другой рисунок.

Измените имя указателя на рисунок на FirstHalfData использование записи через точку.

h.Tag = 'FirstHalfData';

Оцените апостериорное распределение с помощью остальных данных. Задайте апостериорное распределение на основе конечных 25% данных в качестве предыдущего распределения.

PosteriorMdl = estimate(PosteriorMdlFirst,X(ceil(d*end):end,:),...
    y(ceil(d*end):end),'Display',false);

Постройте график апостериорного отклонения нарушения порядка на основе половины данных и всех данных к новому рисунку.

plot(PosteriorMdl,PosteriorMdlFirst,'VarNames','Sigma2');

Этот тип графика показывает эволюцию апостериорного распределения, когда вы включаете новые данные.

Рассмотрим регрессионую модель в График Предшествующих и Апостериорных распределениях.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера и создайте сопряженную предыдущую модель по умолчанию.

p = 3;
VarNames = ["IPI" "E" "WR"];
PriorMdl = bayeslm(p,'ModelType','conjugate','VarNames',VarNames);

load Data_NelsonPlosser
X = DataTable{:,PriorMdl.VarNames(2:end)};
y = DataTable.GNPR;

Постройте график предыдущих распределений. Запросите значения параметров, используемых для создания графиков, и их соответствующих плотностей.

[pointsUsedPrior,priorDensities1] = plot(PriorMdl);

pointsUsedPrior - массив ячеек 5 на 1 из 1 на 1000 числовых векторов, представляющий значения параметров, которые plot используется для построения графика соответствующих плотностей. Первый элемент соответствует точке пересечения, следующие три элемента соответствуют коэффициентам регрессии, а последний элемент соответствует отклонению нарушения порядка. priorDensities1 имеет те же размерности, что и pointsUsed и содержит соответствующие значения плотности.

Оцените апостериорное распределение. Отключите отображение оценки.

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,X,y,'Display',false);

Постройте график апостериорных распределений. Запросите значения параметров, используемых для создания графиков, и их соответствующих плотностей.

[pointsUsedPost,posteriorDensities1] = plot(PosteriorMdl);

pointsUsedPost и posteriorDensities1 имеют те же размерности, что и pointsUsedPrior. The pointsUsedPost выход может отличаться от pointsUsedPrior. posteriorDensities1 содержит апостериорные значения плотности.

Постройте график априорных и апостериорных распределений. Запросите значения параметров, используемых для создания графиков, и их соответствующих плотностей.

[pointsUsedPP,posteriorDensities2,priorDensities2] = plot(PosteriorMdl,PriorMdl);

Все выходные значения имеют те же размерности, что и pointsUsedPrior. The posteriorDensities2 выход содержит апостериорные значения плотности. The priorDensities2 выходы содержат предыдущие значения плотности.

Подтвердите, что pointsUsedPP равно pointsUsedPost.

compare = @(a,b)sum(a == b) == numel(a);
cellfun(compare,pointsUsedPost,pointsUsedPP)

ans = 5x1 logical array

   1
   1
   1
   1
   1

Используемые точки эквивалентны.

Подтвердите, что апостериорные плотности одинаковы, но что предыдущие плотности не совпадают.

cellfun(compare,posteriorDensities1,posteriorDensities2)

ans = 5x1 logical array

   1
   1
   1
   1
   1

cellfun(compare,priorDensities1,priorDensities2)

ans = 5x1 logical array

   0
   0
   0
   0
   0

При построении графика только предыдущего распределения, plot оценивает предыдущие плотности в точках, которые дают четкий график предыдущего распределения. При построении графика как априорного, так и апостериорного распределения, plot предпочитает четко построить график апостериорной функции. Поэтому график может определить другой набор точек для использования.

Рассмотрим регрессионую модель в График Предшествующих и Апостериорных распределениях.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера и создайте сопряженную предыдущую модель по умолчанию для коэффициентов регрессии и отклонения нарушения порядка. Затем оцените апостериорное распределение и получите сводную таблицу оценок из summarize.

p = 3;
VarNames = ["IPI" "E" "WR"];
PriorMdl = bayeslm(p,'ModelType','conjugate','VarNames',VarNames);

load Data_NelsonPlosser
X = DataTable{:,PriorMdl.VarNames(2:end)};
y = DataTable.GNPR;

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,X,y);

Method: Analytic posterior distributions
Number of observations: 62
Number of predictors:   4
Log marginal likelihood: -259.348
 
           |   Mean      Std          CI95        Positive       Distribution      
-----------------------------------------------------------------------------------
 Intercept | -24.2494  8.7821  [-41.514, -6.985]    0.003   t (-24.25, 8.65^2, 68) 
 IPI       |   4.3913  0.1414   [ 4.113,  4.669]    1.000   t (4.39, 0.14^2, 68)   
 E         |   0.0011  0.0003   [ 0.000,  0.002]    1.000   t (0.00, 0.00^2, 68)   
 WR        |   2.4683  0.3490   [ 1.782,  3.154]    1.000   t (2.47, 0.34^2, 68)   
 Sigma2    |  44.1347  7.8020   [31.427, 61.855]    1.000   IG(34.00, 0.00069)     
 

summaryTbl = summarize(PosteriorMdl);
summaryTbl = summaryTbl.MarginalDistributions;

summaryTbl - таблица, содержащая статистику, которая estimate отображается в командной строке.

Для каждого параметра определите набор из 50 равномерно расположенных значений в пределах трех стандартных отклонений от среднего. Поместите значения в камеры вектора камеры 5 на 1 по порядку параметров, которые состоят из строк сводной таблицы оценок.

Points = cell(numel(summaryTbl.Mean),1); % Preallocation

for j = 1:numel(summaryTbl.Mean)
    Points{j} = linspace(summaryTbl.Mean(j) - 3*summaryTbl.Std(j),...
        summaryTbl.Mean(j) + 2*summaryTbl.Std(j),50);
end

Постройте график апостериорных распределений в пределах их соответствующих интервалов.

plot(PosteriorMdl,'Points',Points)