Этот пример показывает, как включить экзогенные данные для нескольких, казалось бы, несвязанных регрессионых (SUR) анализов. Ответ и экзогенный ряд являются случайными путями из стандартного Гауссова распределения.
В, казалось бы, несвязанной регрессии (SUR) каждая переменная отклика является функцией подмножества экзогенного ряда, но не какой-либо эндогенной переменной. То есть, для и , модель для отклика в период является
Индексы коэффициентов регрессии и экзогенных предикторов указывают, что:
Можно связать каждый ответ с другим подмножеством экзогенных предикторов.
Серия ответов может не иметь общих точек пересечения или коэффициентов регрессии.
SUR учитывает внутрипериодическую инновационную корреляцию, но межпериодическую инновационную независимость, т.е.,
Предположим, что истинная модель является
где , являются многомерными Гауссовыми случайными переменными, каждая из которых имеет среднее значение нуля и совместно имеет ковариационную матрицу
Предположим, что пути представляют различные эконометрические измерения, например, возвраты запаса.
Симулируйте четыре экзогенных пути предиктора из стандартного Гауссова распределения.
rng(1); % For reproducibility n = 3; % Number of response series nExo = 4; % Number of exogenous series T = 100; X = randn(100,nExo);
mvregress, рабочая лошадка estimate, требует, чтобы вы вводили экзогенные данные в T-by-1 вектор камеры. Камера вектор камеры является матрицей проекта, указывающей линейное соотношение экзогенных переменных с каждой последовательностью откликов в периоде . Однако estimate связывает каждый предиктор с каждым ответом. В результате estimate требует данные предиктора в матрице.
Создайте объект модели VAR, который характеризует истинную модель. Симулируйте путь 100 длины от модели.
aTrue = [1; -1; 0.5]; bTrue = [[2; 4; -2] [-1.5; 2.5; 0.5] [0.5; -1.75; -1.5] [0.75; -0.05; 0.7]]; InnovCov = [1 0.5 -0.05; 0.5 1 0.25; -0.05 0.25 1]; TrueMdl = varm('Beta',bTrue,'Constant',aTrue,'Covariance',InnovCov)
TrueMdl =
varm with properties:
Description: "3-Dimensional VARX(0) Model with 4 Predictors"
SeriesNames: "Y1" "Y2" "Y3"
NumSeries: 3
P: 0
Constant: [1 -1 0.5]'
AR: {}
Trend: [3×1 vector of zeros]
Beta: [3×4 matrix]
Covariance: [3×3 matrix]
Y = simulate(TrueMdl,T,'X',X);Создайте модель VAR, подходящую для SUR, используя краткий синтаксис varm.
Mdl1 = varm(n,0);
Mdl1 является varm шаблон объекта модели, представляющий трехмерную модель VAR (0). В отличие от TrueMdl, ни один из коэффициентов, точек пересечения и внутрипериодической ковариационной матрицы не имеет значений. Поэтому Mdl1 подходит для оценки.
Оцените коэффициенты регрессии, используя estimate. Извлеките невязки. Отобразите предполагаемую модель с помощью summarize.
[EstMdl1,~,~,E] = estimate(Mdl1,Y,'X',X);
summarize(EstMdl1)
3-Dimensional VARX(0) Model with 4 Predictors
Effective Sample Size: 100
Number of Estimated Parameters: 15
LogLikelihood: -412.026
AIC: 854.052
BIC: 893.129
Value StandardError TStatistic PValue
_________ _____________ __________ ___________
Constant(1) 0.97898 0.11953 8.1902 2.6084e-16
Constant(2) -1.0644 0.10019 -10.623 2.3199e-26
Constant(3) 0.45323 0.10123 4.4772 7.5611e-06
Beta(1,1) 1.7686 0.11994 14.745 3.2948e-49
Beta(2,1) 3.8576 0.10054 38.37 4.1502e-322
Beta(3,1) -2.2009 0.10158 -21.667 4.1715e-104
Beta(1,2) -1.5508 0.12345 -12.563 3.3861e-36
Beta(2,2) 2.4407 0.10348 23.587 5.2666e-123
Beta(3,2) 0.46414 0.10455 4.4395 9.0156e-06
Beta(1,3) 0.69588 0.13491 5.1583 2.4922e-07
Beta(2,3) -1.7139 0.11308 -15.156 6.8911e-52
Beta(3,3) -1.6414 0.11425 -14.367 8.3713e-47
Beta(1,4) 0.67036 0.12731 5.2654 1.399e-07
Beta(2,4) -0.056437 0.10672 -0.52885 0.59691
Beta(3,4) 0.56581 0.10782 5.2476 1.5406e-07
Innovations Covariance Matrix:
1.3850 0.6673 -0.1591
0.6673 0.9731 0.2165
-0.1591 0.2165 0.9934
Innovations Correlation Matrix:
1.0000 0.5748 -0.1357
0.5748 1.0000 0.2202
-0.1357 0.2202 1.0000
EstMdl является varm объект модели, содержащий предполагаемые параметры. E является около- матрица невязок.
Кроме того, и в этом случае можно использовать оператор обратной косой черты на X и Y. Однако необходимо включить столбец с таковыми в X для точек пересечения.
coeff = ([ones(T,1) X]\Y)
coeff = 5×3
0.9790 -1.0644 0.4532
1.7686 3.8576 -2.2009
-1.5508 2.4407 0.4641
0.6959 -1.7139 -1.6414
0.6704 -0.0564 0.5658
coeff является n-by- nExo + 1 матрица предполагаемых коэффициентов регрессии и точек пересечения. Предполагаемые точки пересечения находятся в первом столбце, а остальная часть матрицы содержит предполагаемые коэффициенты регрессии
Сравните все оценки с их истинными значениями.
InterceptsTbl = table(aTrue,EstMdl1.Constant,coeff(1,:)',... 'VariableNames',["True" "estimate" "backslash"])
InterceptsTbl=3×3 table
True estimate backslash
____ ________ _________
1 0.97898 0.97898
-1 -1.0644 -1.0644
0.5 0.45323 0.45323
cB = coeff'; cB = cB(:); CoefficientsTbl = table(bTrue(:),EstMdl1.Beta(:),cB((n + 1):end),... 'VariableNames',["True" "estimate" "backslash"])
CoefficientsTbl=12×3 table
True estimate backslash
_____ _________ _________
2 1.7686 1.7686
4 3.8576 3.8576
-2 -2.2009 -2.2009
-1.5 -1.5508 -1.5508
2.5 2.4407 2.4407
0.5 0.46414 0.46414
0.5 0.69588 0.69588
-1.75 -1.7139 -1.7139
-1.5 -1.6414 -1.6414
0.75 0.67036 0.67036
-0.05 -0.056437 -0.056437
0.7 0.56581 0.56581
InnovCovTbl = table(InnovCov,EstMdl1.Covariance,... 'VariableNames',["True" "estimate"])
InnovCovTbl=3×2 table
True estimate
_______________________ ________________________________
1 0.5 -0.05 1.385 0.6673 -0.15914
0.5 1 0.25 0.6673 0.97312 0.21649
-0.05 0.25 1 -0.15914 0.21649 0.99338
Смета от осуществления estimate и оператор обратной косой черты одинаковы и довольно близки к соответствующим им истинным значениям.
Один из способов проверить силу отношений между предикторами и откликами - вычислить коэффициент детерминации (то есть долю изменений, объясненную предикторами), который является
где - предполагаемое отклонение остаточных рядов , и - предполагаемое отклонение рядов откликов .
R2 = 1 - sum(diag(cov(E)))/sum(diag(cov(Y)))
R2 = 0.9118
Модель SUR и данные предиктора объясняют приблизительно 93% изменения данных отклика.