Векторы авторегрессии (VAR)

A vector autoregression (VAR) model является многомерной моделью временных рядов, содержащей систему n уравнений n отдельных, стационарных переменных отклика в качестве линейных функций отстающих откликов и других членов. Модели VAR также характеризуются p степени; каждое уравнение в модели VAR (p) содержит p лагов всех переменных в системе.

Модели VAR относятся к классу многомерных линейных временных рядов, называемых vector autoregression moving average (VARMA) models. Хотя Econometrics Toolbox™ предоставляет функциональность для проведения комплексного анализа модели VAR (p) (от оценки модели до прогнозирования и симуляции), тулбокс обеспечивает ограниченную поддержку других моделей класса VARMA.

В целом многомерные линейные модели временных рядов хорошо подходят для:

Моделирование движений нескольких стационарных временных рядов одновременно.
Измерение отложенных эффектов среди переменных отклика в системе.
Измерение эффектов экзогенных рядов на переменные в системе. Например, определите, существенно ли влияет наличие недавно введенного тарифа на несколько эконометрических рядов.
Генерация одновременных прогнозов переменных отклика.

Типы стационарных многомерных временных рядов

Эта таблица содержит формы многомерных линейных моделей временных рядов и описывает их поддерживаемые функциональности в Econometrics Toolbox.

Модель	Сокращение	Уравнение	Поддерживаемые функциональные возможности
Векторная авторегрессия	VAR (p)	$y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представьте модель при помощи `varm` объект: Создайте шаблон для оценки или полностью заданную модель при помощи `varm`. Оцените любые неизвестные параметры при помощи `estimate`. Работа с полностью заданной моделью путем применения функций объекта. Получите матрицы коэффициентов модели VAR из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) при помощи`arma2ar`. Заданные матрицы коэффициентов, выполните динамический анализ умножителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Векторная авторегрессия с линейным временным трендом	VAR (p)	$y_{t} = c + δ t + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представьте модель при помощи `varm` объект. `estimate` и все другие функции объекта поддерживают эту модель.
Векторная авторегрессия с экзогенными рядами	VARX (p)	$y_{t} = c + δ t + β x_{t} + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$	Представьте модель при помощи `varm` объект. `estimate` и все другие функции объекта поддерживают эту модель.
Векторное скользящее среднее значение	VMA (q)	$y_{t} = c + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + ε_{t}$	Получите матрицы коэффициентов модели VMA из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) при помощи`arma2ma`. Заданные матрицы коэффициентов, выполните динамический анализ умножителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Векторная авторегрессия скользящего среднего значения	VARMA (p, q)	$y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + ε_{t}$	Получите матрицы коэффициентов модели VAR или VMA из матриц коэффициентов ее эквивалента VARMA (p, q) при помощи`arma2ar` или `arma2ma`, соответственно. Заданные матрицы коэффициентов, выполните динамический анализ умножителя при помощи `armairf` и `armafevd`.
Структурная векторная авторегрессия скользящего среднего значения	SVARMA (p, q)	$Φ_{0} y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} ε_{t - k} + Θ_{0} ε_{t}$	Та же поддержка, что и для моделей VARMA

В уравнениях появляются следующие переменные:

y t является вектором n -by-1 различных переменных временных рядов откликов в t времени.
c является вектором n-на-1 постоянных смещений в каждом уравнении.
.R. j является n -by - n матрицей коэффициентов AR, где j = 1,..., p _и, p не является матрицей, содержащей только нули.
_xt является вектором m -by-1 значений, соответствующих m экзогенным переменным или предикторам. В дополнение к отстающим откликам, экзогенные переменные являются немоделированными входами в систему. Каждая экзогенная переменная появляется во всех уравнениях отклика по умолчанию.
β является n -by - m матрицей коэффициентов регрессии. Строка j содержит коэффициенты в уравнении переменной j отклика, а столбец k содержит коэффициенты экзогенной переменной k среди всех уравнений.
δ является вектором n -by-1 линейных значений временного тренда.
_εt является вектором n -by-1 случайных Гауссовых инноваций, каждый со средним значением 0 и коллективно n -by n ковариационной матрицей Для <reservedrangesplaceholder3> ≠ <reservedrangesplaceholder2>, εt и εs независимы.
, k является n -by - n матрицей коэффициентов MA, где k = 1,..., q _и, q не является матрицей, содержащей только нули.
_Φ0 и _Θ0 являются структурными коэффициентами AR и MA, соответственно.

Обычно временные ряды y t и _xt наблюдаемы, потому что у вас есть данные, представляющие ряд. Значения c, δ, β и авторегрессионных матриц _и j не всегда известны. Обычно необходимо привести эти параметры в соответствие с вашими данными. Посмотритеestimate для способов оценить неизвестные параметры или как удержать некоторые из них фиксированными к значениям (установите equality constraints) во время оценки. _εt инноваций не наблюдаемы в данных, но они могут наблюдаться в симуляциях.

Представление оператора задержки

В предыдущей таблице модели представлены в обозначении разностного уравнения. Lag operator notation является эквивалентным и более кратким представлением многомерных линейных уравнений временных рядов.

Оператор задержки L уменьшает индекс времени одним модулем: <reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>-1. Оператор L^j уменьшает временной индекс на j модулей.: L^j<reservedrangesplaceholder4> <reservedrangesplaceholder3> = <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> – j.

В форме оператора задержки уравнение для модели SVARMAX (p, q) является:

$(Φ_{0} - \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} L^{j}) y_{t} = c + β x_{t} + (Θ_{0} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} L^{k}) ε_{t} .$

Уравнение выражается более кратко в этой форме:

$Φ (L) y_{t} = c + β x_{t} + Θ (L) ε_{t},$

где

$Θ (L) = Θ_{0} - \sum_{j = 1}^{p} Θ_{j} L^{j}$

$Θ (L) = Θ_{0} + \sum_{k = 1}^{q} Θ_{k} L^{k} .$

Стабильные и инвертируемые модели

Многомерная AR- полинома stable, если

$\det (I_{n} - Φ_{1} z - Φ_{2} z^{2} - ... - Φ_{p} z^{p}) \neq 0 для | z | \leq 1.$

При всех нововведениях, равных нулю, это условие подразумевает, что процесс VAR сходится к c, когда t приближается к бесконечности (для получения дополнительной информации см. [1], Ch. 2).

Многомерный полином MA invertible, если

$\det (I_{n} + Θ_{1} z + Θ_{2} z^{2} + ... + Θ_{q} z^{q}) \neq 0 для | z | \leq 1.$

Это условие подразумевает, что чистое представление VAR процесса VMA является стабильным (для получения дополнительной информации см. [1], Ch. 11).

Модель VARMA стабильна, если ее AR- полином стабильен. Точно так же модель VARMA обратима, если ее полином MA обратим.

Модели с экзогенными входами (для примера, моделей VARMAX) не имеют четко определенного понятия устойчивости или обратимости. Экзогенный вход может дестабилизировать модель.

Модели с регрессионным компонентом

Включите обратную связь от экзогенных предикторов или исследуйте их линейные связи с последовательностью откликов, включив регрессионный компонент в многомерную линейную модель временных рядов. По порядку возрастания сложности примеры приложений, использующих такие модели:

Моделирование эффектов вмешательства, что подразумевает, что экзогенный ряд является переменной показателя.
Моделирование современных линейных ассоциаций между подмножеством экзогенных рядов и каждым ответом. Приложения включают анализ CAPM и изучение эффектов цен на товары на их спрос. Эти приложения являются примерами, казалось бы, несвязанной регрессии (SUR). Для получения дополнительной информации смотрите Реализация, казалось бы, несвязанной регрессии и Оценка модели ценообразования капитальных активов с использованием SUR.
Моделирование линейных ассоциаций между современными и отстающими экзогенными рядами и откликом как часть модели распределенной задержки. Приложения включают определение того, как изменение денежного роста влияет на реальный валовой внутренний продукт (ВВП) и валовой национальный доход (ВНД).
Любая комбинация SUR и модели распределенной задержки, которая включает отстающие эффекты откликов, также известные как модели одновременного уравнения.

Общее уравнение для модели VARX (p)

$y_{t} = c + δ t + β x_{t} + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t}$

где

_xt является m вектором наблюдений от m экзогенных переменных в t времени. Векторные _xt могут содержать отстающие экзогенные ряды.
β является n -by - m вектором коэффициентов регрессии. Строка j β содержит коэффициенты регрессии в уравнении j рядов откликов для всех экзогенных переменных. Столбец k β содержит коэффициенты регрессии среди уравнений серии откликов для экзогенных переменных k. Этот рисунок показывает систему с расширенным регрессионым компонентом:

$[\begin{matrix} y_{1, t} \\ y_{2, t} \\ ⋮ \\ y_{n, t} \end{matrix}] = c + δ t + [\begin{matrix} x_{1, t} β (1, 1) + \dots + x_{m, t} β (1, m) \\ x_{1, t} β (2, 1) + \dots + x_{m, t} β (2, m) \\ ⋮ \\ x_{1, t} β (n, 1) + \dots + x_{m, t} β (n, m) \end{matrix}] + \sum_{j = 1}^{p} Φ_{j} y_{t - j} + ε_{t} .$

Рабочий процесс модели VAR

Этот рабочий процесс описывает, как анализировать многомерные временные ряды с помощью функциональности модели Econometrics Toolbox VAR. Если вы считаете, что серия ответов объединена, используйте вместо этого функциональность модели VEC (см. vecm).

Загрузка, предварительная обработка и разбиение набора данных. Для получения дополнительной информации смотрите Многомерные Форматы данных временных рядов.
Создайте varm объект модели, который характеризует модель VAR. A varm объект модели является MATLAB^® переменная, содержащая свойства, которые описывают модель, такие как p полиномиальной степени AR, n размерности отклика и значения коэффициентов. varm должна уметь вывести n и p из ваших спецификаций; n и p не оцениваются. Вы можете обновить структуру задержки полинома AR после создания модели VAR, но вы не можете изменить n.
varm позволяет создавать модели следующих типов:
- Fully specified модель, в которой все параметры, включая коэффициенты и ковариационную матрицу инноваций, являются числовыми значениями. Создайте этот тип модели, когда экономическая теория задает значения всех параметров в модели, или вы хотите экспериментировать с настройками параметра. После создания полностью заданной модели можно передать модель всем функциям объекта, кроме estimate.
- Model template, в которых n и p являются известными значениями, но все коэффициенты и ковариационная матрица инноваций неизвестны, оценочные параметры. Свойства, соответствующие оценочным параметрам, состоят из NaN значения. Передайте шаблон модели и данные в estimate для получения оценочной (полностью заданной) модели VAR. Затем можно передать предполагаемую модель в любую другую функцию объекта.
- Partially specified шаблона модели, в которых одни параметры известны, а другие неизвестны и оцениваемы. Если вы передаете частично заданную модель и данные, estimateMATLAB обрабатывает известные значения параметров как ограничения равенства во время оптимизации и оценивает неизвестные значения. Частично заданная модель хорошо подходит для этих задач:
  - Удалите лаги из модели, установив коэффициент равным нулю.
  - Связать подмножество предикторов с переменной отклика путем установки нуля коэффициентов регрессии предикторов, которые вы не хотите в уравнении отклика.
Для получения дополнительной информации смотрите Создание модели VAR.
Для моделей с неизвестными, оценочными параметрами подбирайте модель к данным. См. Модели аппроксимации к данным и estimate.
Найдите соответствующую степень полинома AR путем итерации шагов 2 и 3. См. раздел «Выбор соответствующего порядка задержки».
Проанализируйте подобранную модель. Этот шаг может включать в себя:
1. Определение того, является ли серия откликов Granger - причиной других серий откликов в системе (см. gctest).
2. Исследование устойчивости подобранной модели.
3. Вычисление импульсных характеристик, которые являются прогнозами на основе предполагаемого изменения входа во временные ряды.
4. Прогнозирование модели VAR путем получения либо минимальных прогнозов квадратной ошибки, либо прогнозов Монте-Карло.
5. Сравнение прогнозов модели с данными holdout. Например, см. Пример модели VAR.

Ваше приложение не должно включать все шаги этого рабочего процесса, и можно итератировать некоторые из шагов. Например, вы можете не иметь никаких данных, но хотите моделировать ответы от полностью заданной модели.

Ссылки

[1] Lütkepohl, H. Новое введение в анализ нескольких временных рядов. Берлин: Спрингер, 2005.

Документация