Максимальная оценка правдоподобия для моделей условных отклонений

Распределение инноваций

Для моделей условных отклонений инновационный процесс $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где _zt следует стандартизированному распределению t Гауссова или Студента с $ν > 2$ степени свободы. Задайте свой выбор распределения в свойстве модели Distribution.

Инновационное отклонение, $σ_{t}^{2},$ может следовать процессу условного отклонения GARCH, EGARCH или GJR.

Если модель включает член среднего смещения, то

$ε_{t} = y_{t} - μ .$

The estimate функция для garch, egarch, и gjr модели оценивают параметры, используя максимальную оценку правдоподобия. estimate Возвраты значения для любых параметров в модели входы, равные NaN. estimate удовлетворяет любым ограничениям равенствам в модели входа и не возвращает оценки для параметров с ограничениями равенствами.

Функции логарифмической правдоподобности

Учитывая историю процесса, инновации являются условно независимыми. Позвольте _Ht обозначить историю процесса, доступную в то время t, t = 1,..., N. Функция правдоподобия для инновационной серии задается как

$f (ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{N} | H_{N - 1}) = \prod_{t = 1}^{N} f (ε_{t} | H_{t - 1}),$

где f является стандартизированной функцией Гауссова или t плотности.

Точная форма целевой функции логарифмической правдоподобности зависит от параметрической формы инновационного распределения.

Если _zt имеет стандартное Гауссово распределение, то функция логарифмической правдоподобности является

$L L F = - \frac{N}{2} \log (2 π) - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{N} \log σ_{t}^{2} - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{N} \frac{ε_{t}^{2}}{σ_{t}^{2}} .$
Если _zt имеет стандартизированное распределение t Студента с $ν > 2$ степени свободы, тогда функция логарифмической правдоподобности

$L L F = N \log [\frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{\sqrt{π (ν - 2)} Γ (\frac{ν}{2})}] - \frac{1}{2} \sum_{t = 1}^{N} \log σ_{t}^{2} - \frac{ν + 1}{2} \sum_{t = 1}^{N} \log [1 + \frac{ε_{t}^{2}}{σ_{t}^{2} (ν - 2)}] .$

estimate выполняет ковариацию матрицы для максимальных оценок правдоподобия с помощью векторного произведения градиентов (OPG) метода.

Ссылки

[1] Боллерслев, Тим. «Обобщенная авторегрессивная условная гетероскедастичность». Журнал эконометрики 31 (апрель 1986): 307-27. https://doi.org/10.1016/0304-4076 (86) 90063-1.

[2] Боллерслев, Тим. «Условно гетероскедастические Временные ряды модель для спекулятивных цен и ставок Возврата». Обзор экономики и статистики 69 (август 1987 года): 542-47. https://doi.org/10.2307/1925546.

[3] Энгл, Роберт. F. «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками отклонения инфляции в Соединенном Королевстве». Econometrica 50 (июль 1982): 987-1007. https://doi.org/10.2307/1912773.

[4] Glosten, L. R., R. Jagannathan, and D. E. Runkle. «О связи между Ожидаемым значением и волатильностью номинального избыточного Возврата по акциям». The Journal of Finance. Том 48, № 5, 1993, с. 1779-1801.

[5] Гамильтон, Джеймс Д. Анализ временных рядов. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994.

Документация