Задачи оптимизации портфеля включают определение портфелей, которые удовлетворяют трем критериям:
Минимизируйте прокси для риска.
Совпадает или превышает значение прокси для возврата.
Удовлетворить основные требования к выполнимости.
Портфели являются точками из допустимого набора активов, которые составляют вселенную активов. Портфель определяет владения или веса в каждом отдельном активе во вселенной активов. Конвенция состоит в том, чтобы определить портфели с точки зрения весов, хотя инструменты оптимизации портфеля работают и с холдингами.
Набор допустимых портфелей обязательно является непустым, закрытым и ограниченным набором. Прокси для риска является функцией, которая характеризует или изменчивость, или потери, связанные с выбором портфеля. Прокси для возврата является функцией, которая характеризует валовые или чистые выгоды, связанные с выбором портфеля. Термины «риск» и «риск прокси» и «возврата» и «возврата прокси» являются взаимозаменяемыми. Фундаментальное понимание Markowitz (см. Оптимизация портфеля) заключается в том, что цель задачи выбора портфеля состоит в поиске минимального риска для заданного уровня возврата и поиске максимального возврата для заданного уровня риска. Портфели, удовлетворяющие этим критериям, являются эффективными портфелями, и график рисков и возвратов этих портфелей формирует кривую, называемую efficient frontier.
Чтобы задать задачу оптимизации портфеля, вам нужно следующее:
Прокси для возврата портфеля (μ)
Прокси для портфельного риска (σ)
Набор допустимых портфелей (X), называемый набором портфелей
Financial Toolbox™ имеет три объекта для решения конкретных типов задач оптимизации портфеля:
The Portfolio
объект поддерживает оптимизацию портфеля со средними дисперсиями (см. Markowitz [46], [47] в Portfolio Optimization). Этот объект имеет валовые или чистые возвраты портфеля в качестве прокси возврата, отклонение возвратов портфеля в качестве прокси риска и набор портфелей, который является любой комбинацией заданных ограничений для формирования набора портфелей.
The PortfolioCVaR
объект реализует то, что известно как условная оптимизация портфеля в группе риска (см. Rockafellar и Uryasev [48], [49] в Portfolio Optimization), которая упоминается как оптимизация портфеля CVaR. Оптимизация портфеля CVaR работает с теми же возвратами прокси и наборами портфелей, что и оптимизация портфеля со средними дисперсиями, но использует условную оценку риска возвратов портфеля в качестве прокси риска.
The PortfolioMAD
объект реализует то, что известно как оптимизация портфеля по среднему абсолютному отклонению (см. Konno и Yamazaki [50] в Portfolio Optimization), которое упоминается как оптимизация портфеля MAD. Оптимизация портфеля MAD работает с теми же прокси возврата и наборами портфелей, что и оптимизация портфеля средних дисперсий, но использует возвраты портфеля средних абсолютных отклонений в качестве прокси риска.
Прокси для возврата портфеля является функцией на наборе портфолио который характеризует вознаграждения, связанные с выбором портфеля. Обычно прокси для возврата портфеля имеет две общие формы: валовые и чистые возвраты портфеля. Оба возврата портфеля формируют отдельную ставку без r риска 0 так что портфель содержит только рискованные активы.
Независимо от базового распределения возвратов активов, набор S возвратов активов y1,..., yS имеет среднее значение возврата активов
и (выборка) ковариация возвратов активов
Эти моменты (или альтернативные оценки, которые характеризуют эти моменты) используются непосредственно в оптимизации портфеля средних дисперсий, чтобы сформировать прокси для риска портфеля и возврата.
Валовой возврат портфеля для портфеля является
где:
r 0 является безрисковой частотой (скаляром).
m - среднее значение возвратов активов (n вектор).
Если веса портфеля равны 1
, безрисковая ставка нерелевантна. Свойства в Portfolio
объект для определения валовых возвратов портфеля:
RiskFreeRate
для r0
AssetMean
для m
Чистый возврат портфеля для портфеля является
где:
r0 - безрисковая ставка (скаляр).
m - среднее значение возвратов активов (n вектор).
b - пропорциональная стоимость приобретения активов (n вектор).
s - пропорциональная стоимость продажи активов (n вектор).
Можно также включить фиксированные транзакционные затраты в эту модель. Хотя в этом случае необходимо включать в такие затраты цены. Свойства в Portfolio
объект для определения чистых возвратов портфеля:
RiskFreeRate
для r 0
AssetMean
для m
InitPort
для x 0
BuyCost
для b
SellCost
для s
Прокси для портфельного риска является функцией на наборе портфолио который характеризует риски, связанные с выбором портфеля.
Отклонение возвратов портфеля для портфеля является
где C - ковариация возвратов активов (n
-by- n
положительно-полуопределенная матрица).
Свойство в Portfolio
объект, чтобы задать отклонение возвратов портфеля AssetCovar
для C.
Несмотря на то, что прокси риска в оптимизации портфеля средних дисперсий является дисперсией возвратов портфеля, квадратный корень, который является стандартным отклонением возвратов портфеля, часто сообщается и отображается. При этом это количество часто называют «риском» портфеля. Для получения дополнительной информации смотрите Markowitz (Оптимизация портфеля).
Условная величина риска для портфеля , который также известен как ожидаемый дефицит, определяется как
где:
α является таким уровнем вероятности, что 0
<α <1
.
f(x,y) - функция потерь для x портфеля и y возврата активов.
p(y) - функция плотности вероятностей для y возврата активов.
VaRα - значение риска x портфеля при уровне вероятности α.
Значение риска определяется как
Альтернативная композиция для CVaR имеет форму:
Выбор для α уровня вероятности обычно составляет 0,9 или 0,95. Выбор α подразумевает, что VaRα(x) ценности риска для x портфеля является возвратом портфеля, так что вероятность возвратов портфеля ниже этого уровня равна (1
– α). Учитывая VaRα(x) для x портфеля, условная величина риска портфеля является ожидаемой потерей возвратов портфеля выше возврата ценности риска.
Примечание
Значение риска является положительным значением потерь, так что уровень вероятности α указывает на вероятность того, что возвраты портфеля ниже отрицательного значения риска.
Чтобы описать распределение вероятностей возвратов, PortfolioCVaR
объект принимает конечную выборку возврата сценариев y s с s = 1
..., S. Каждый y s является n вектора, которая содержит возвраты для каждого из n активов в s сценария. Эта выборка S сценариев сохранена как матрица сценариев размера S -by - n. Затем, прокси риска для оптимизации портфеля CVaR, для данного портфеля и , вычисляется как
Значение риска, VaR α (x), оценивается каждый раз, когда оценивается CVaR. Функция потерь , который представляет собой потерю портфеля по сценарию s.
В соответствии с этим определением VaR и CVaR являются выборочными оценщиками для VaR и CVaR на основе данных сценариев. Лучшие выборки сценария дают более достоверные оценки VaR и CVaR.
Для получения дополнительной информации смотрите Rockafellar и Uryasev [48], [49], и Cornuejols и Tütünc, [51], в Portfolio Optimization.
Среднее абсолютное отклонение (MAD) для портфеля определяется как
где:
ys возвращаемые активы со сценариями s = 1,... S (S коллекция векторов n).
f(x,y) - функция потерь для x портфеля и y возврата активов.
m - среднее значение возвратов активов (n вектор).
таким, что
Для получения дополнительной информации смотрите Konno и Yamazaki [50] в Portfolio Optimization.
Portfolio