Шаг 1. Определение задачи портфеля.

Предположим, что вы хотите управлять фондом распределения активов с четырьмя классами активов: облигации, акции с большой капитализацией, акции с малой капитализацией и новые акции. Фонд длинный только без заимствований или кредитного плеча, должен иметь не более 85% портфеля в акциях и не более 35% портфеля в формирующихся акциях. Стоимость торговли первыми тремя активами составляет 10 базисные точки в годовом исчислении, а стоимость торговли новыми акциями в четыре раза выше. Наконец, вы хотите убедиться, что средний оборот не более 15%. Чтобы решить эту задачу, вы настройте задачу оптимизации портфеля основных средних дисперсий, а затем медленно вводите различные ограничения на задачу, чтобы получить решение.

Чтобы настроить задачу оптимизации портфеля, начните с основных определений известных величин, связанных со структурой этой задачи. Каждый класс основных средств считается имеющим торгуемое основное средство с ценой в реальном времени. Такие активы могут быть, пример, биржевыми фондами (ETF). Первоначальный портфель с владениями в каждом активе, который в общей сложности составляет 7,5 млн. долл. США, а также дополнительная денежная позиция в размере 60 000 долл. США. Эти основные количества и затраты на торговлю настраиваются в следующих переменных с именами активов в массиве ячеек Asset, текущие цены в вектор Price, текущие портфельные активы в вектор Holding, и транзакционные издержки в вектор UnitCost.

Чтобы проанализировать это портфолио, можно настроить блоттер в table объект, чтобы помочь отслеживать цены, холдинги, веса и так далее. В частности, можно вычислить начальные веса портфеля и сохранить их в новом поле blotter под названием InitPort.

Asset = { 'Bonds', 'Large-Cap Equities', 'Small-Cap Equities', 'Emerging Equities' };
Price = [ 52.4; 122.7; 35.2; 46.9 ];
Holding = [ 42938; 24449; 42612; 15991 ];
UnitCost = [ 0.001; 0.001; 0.001; 0.004 ];

Blotter = table('RowNames', Asset);
Blotter.Price = Price;
Blotter.InitHolding = Holding;
Wealth = sum(Blotter.Price .* Blotter.InitHolding);
Blotter.InitPort = (1/Wealth)*(Blotter.Price .* Blotter.InitHolding);
Blotter.UnitCost = UnitCost;
Blotter

Blotter=4×4 table
                          Price    InitHolding    InitPort    UnitCost
                          _____    ___________    ________    ________

    Bonds                  52.4       42938         0.3        0.001  
    Large-Cap Equities    122.7       24449         0.4        0.001  
    Small-Cap Equities     35.2       42612         0.2        0.001  
    Emerging Equities      46.9       15991         0.1        0.004  

Шаг 2. Симуляция цен на активы.

Поскольку это гипотетический пример, для моделирования цен на активы из заданного среднего и ковариации годовых общих возвратов активов для классов активов, portsim функция используется для создания возвратов активов с желаемым средним значением и ковариацией. В частности, portsim используется для моделирования пяти лет ежемесячных общих возвратов и затем нанесен на график, чтобы показать журнал моделируемых общих возвратных цен

Среднее значение и ковариация годовых общих возвратов активов поддерживаются в переменных AssetMean и AssetCovar. Моделируемые общие цены возврата основных средств (которые являются объединенными совокупными возвратами) ведутся в переменной Y. Все начальные цены возврата активов нормированы к 1 в этом примере.

AssetMean = [ 0.05; 0.1; 0.12; 0.18 ];
AssetCovar = [ 0.0064 0.00408 0.00192 0;
    0.00408 0.0289 0.0204 0.0119;
    0.00192 0.0204 0.0576 0.0336;
    0 0.0119 0.0336 0.1225 ];

X = portsim(AssetMean'/12, AssetCovar/12, 60); % Monthly total returns for 5 years (60 months)
[Y, T] = ret2tick(X, [], 1/12);                % form total return prices.
plot(T, log(Y));
title('\bfSimulated Asset Class Total Return Prices');
xlabel('Year');
ylabel('Log Total Return Price');
legend(Asset,'Location','best');

Шаг 3. Настройка объекта Портфолио.

Чтобы исследовать портфели на эффективной границе, создайте Portfolio объект, использующий следующие спецификации:

Эти спецификации включены в Portfolio p объекта в следующей последовательности использования функций, которая начинается с использования Portfolio объект.

p = Portfolio('Name', 'Asset Allocation Portfolio', ...
'AssetList', Asset, 'InitPort', Blotter.InitPort);

p = setDefaultConstraints(p);
p = setGroups(p, [ 0, 1, 1, 1 ], [], 0.85);
p = addGroups(p, [ 0, 0, 0, 1 ], [], 0.35);

p = setAssetMoments(p, AssetMean/12, AssetCovar/12);
p = estimateAssetMoments(p, Y, 'DataFormat', 'Prices');

p.AssetMean = 12*p.AssetMean;
p.AssetCovar = 12*p.AssetCovar;

display(p)

p = 
  Portfolio with properties:

          BuyCost: []
         SellCost: []
     RiskFreeRate: []
        AssetMean: [4x1 double]
       AssetCovar: [4x4 double]
    TrackingError: []
     TrackingPort: []
         Turnover: []
      BuyTurnover: []
     SellTurnover: []
             Name: 'Asset Allocation Portfolio'
        NumAssets: 4
        AssetList: {1x4 cell}
         InitPort: [4x1 double]
      AInequality: []
      bInequality: []
        AEquality: []
        bEquality: []
       LowerBound: [4x1 double]
       UpperBound: []
      LowerBudget: 1
      UpperBudget: 1
      GroupMatrix: [2x4 double]
       LowerGroup: []
       UpperGroup: [2x1 double]
           GroupA: []
           GroupB: []
       LowerRatio: []
       UpperRatio: []
     MinNumAssets: []
     MaxNumAssets: []
        BoundType: [4x1 categorical]

Шаг 4. Проверьте проблему портфеля.

Важным шагом в оптимизации портфеля является подтверждение того, что задача портфеля является допустимой, и основным тестом является обеспечение того, чтобы набор портфелей был непустым и ограниченным. Используйте estimateBounds функция для определения границ для набора портфелей. В этом случае, так как оба lb и ub являются конечными, множество ограничено.

[lb, ub] = estimateBounds(p);
display([lb, ub])

    0.1500    1.0000
         0    0.8500
         0    0.8500
         0    0.3500

Шаг 5. Построение графика эффективной границы.

Учитывая построенные Portfolio объект, используйте plotFrontier функция для просмотра эффективной границы. Вместо использования по умолчанию 10 портфелей вдоль границы можно отобразить границу с 40 портфелями. Заметьте, что валовые эффективные возвраты портфеля составляют от примерно 6% до 16% в год.

plotFrontier(p, 40)

Шаг 6. Оценка валовых и чистых возвратов портфеля.

The Portfolio p объекта не включает транзакционные издержки, так что задача оптимизации портфеля, указанная в p использует валовые возвраты портфеля в качестве возврата прокси. Чтобы обработать чистые возвраты, создайте вторую Portfolio q объекта включая транзакционные издержки.

q = setCosts(p, UnitCost, UnitCost);
display(q)

q = 
  Portfolio with properties:

          BuyCost: [4x1 double]
         SellCost: [4x1 double]
     RiskFreeRate: []
        AssetMean: [4x1 double]
       AssetCovar: [4x4 double]
    TrackingError: []
     TrackingPort: []
         Turnover: []
      BuyTurnover: []
     SellTurnover: []
             Name: 'Asset Allocation Portfolio'
        NumAssets: 4
        AssetList: {1x4 cell}
         InitPort: [4x1 double]
      AInequality: []
      bInequality: []
        AEquality: []
        bEquality: []
       LowerBound: [4x1 double]
       UpperBound: []
      LowerBudget: 1
      UpperBudget: 1
      GroupMatrix: [2x4 double]
       LowerGroup: []
       UpperGroup: [2x1 double]
           GroupA: []
           GroupB: []
       LowerRatio: []
       UpperRatio: []
     MinNumAssets: []
     MaxNumAssets: []
        BoundType: [4x1 categorical]

Шаг 7. Анализ описательных свойств структур портфеля.

Для более конкретного определения областей значений эффективных возвратов портфеля и рисков используйте estimateFrontierLimits функция для получения портфелей в конечных точках эффективной границы. Учитывая эти портфели, вычислите их моменты с помощью estimatePortMoments функция. Следующий код генерирует таблицу, в которой перечислены риск и возврат начального портфеля, а также валовые и чистые моменты возвратов портфеля для портфелей в конечных точках эффективной границы:

[prsk0, pret0] = estimatePortMoments(p, p.InitPort);

pret = estimatePortReturn(p, p.estimateFrontierLimits);
qret = estimatePortReturn(q, q.estimateFrontierLimits);

displayReturns(pret0, pret, qret)

Annualized Portfolio Returns ...
                                    Gross       Net
Initial Portfolio Return             9.70 %    9.70 %
Minimum Efficient Portfolio Return   5.90 %    5.77 %
Maximum Efficient Portfolio Return  13.05 %   12.86 %

Результаты показывают, что стоимость торговли колеблется от 14 до 19 базисных пунктов, чтобы получить от текущего портфеля к эффективным портфелям на конечных точках эффективной границы (эти затраты являются различием между валовыми и чистыми возвратами портфеля). В сложение заметьте, что максимальный эффективный возврат портфеля (13%) меньше максимального возврата актива (18%) из-за ограничений на распределение капитала.

Шаг 8. Получение Портфеля на заданном уровне возврата на эффективной границе.

Общим подходом к выбору эффективных портфелей является выбор портфеля, который имеет желаемую долю области значений ожидаемых возвратов портфеля. Чтобы получить портфель, который составляет 30% от области значений от минимальной до максимального возврата на эффективной границе, получите область значений чистых возвратов в qret использование Portfolio q объекта и интерполяция, чтобы получить 30% -ный уровень с interp1 функция для получения портфеля qwgt.

Level = 0.3;

qret = estimatePortReturn(q, q.estimateFrontierLimits);
qwgt = estimateFrontierByReturn(q, interp1([0, 1], qret, Level));
[qrsk, qret] = estimatePortMoments(q, qwgt);

displayReturnLevel(Level, qret, qrsk);

Portfolio at 30% return level on efficient frontier ...
    Return       Risk
      7.90       9.09

display(qwgt)

qwgt = 4×1

    0.6252
    0.1856
    0.0695
    0.1198

Целевой портфель, который составляет 30% от области значений от минимальной до максимальных чистых возвратов, имеет возврат 7,9% и риск 9,1%.

Шаг 9. Получение Портфеля на заданных уровнях риска на эффективной границе.

Хотя можно принять этот результат, предположим, что необходимо определить значения для риска портфеля. В частности, предположим, что у вас есть консервативный целевой риск 10%, умеренный целевой риск 15% и агрессивный целевой риск 20%, и вы хотите получить портфели, которые удовлетворяют каждому целевому риску. Используйте estimateFrontierByRisk функция для получения целевых рисков, заданных в переменной TargetRisk. Получившиеся три эффективных портфеля получаются в qwgt.

TargetRisk = [ 0.10; 0.15; 0.20 ];
qwgt = estimateFrontierByRisk(q, TargetRisk);
display(qwgt)

qwgt = 4×3

    0.5407    0.2020    0.1500
    0.2332    0.4000    0.0318
    0.0788    0.1280    0.4682
    0.1474    0.2700    0.3500

Используйте estimatePortRisk функция для вычисления портфельных рисков по трем портфелям для подтверждения достижения целевых рисков:

display(estimatePortRisk(q, qwgt))

    0.1000
    0.1500
    0.2000

Предположим, что вы хотите переместиться с текущего портфеля на умеренный. Вы можете оценить покупки и продажи, чтобы добраться до этого портфеля:

[qwgt, qbuy, qsell] = estimateFrontierByRisk(q, 0.15);

Если вы усредните покупки и продажи по этому портфелю, то увидите, что средний оборот составляет 17%, что больше целевого показателя в 15%:

disp(sum(qbuy + qsell)/2) 

    0.1700

Поскольку вы также хотите убедиться, что средний оборот не более 15%, можно добавить среднее ограничение оборота к Portfolio объект, использующий setTurnover:

q = setTurnover(q, 0.15);
[qwgt, qbuy, qsell] = estimateFrontierByRisk(q, 0.15);

Вы можете ввести предполагаемый эффективный портфель с покупками и продажами в Blotter:

qbuy(abs(qbuy) < 1.0e-5) = 0;
qsell(abs(qsell) < 1.0e-5) = 0;  % Zero out near 0 trade weights.

Blotter.Port = qwgt;
Blotter.Buy = qbuy;
Blotter.Sell = qsell;

display(Blotter)

Blotter=4×7 table
                          Price    InitHolding    InitPort    UnitCost     Port      Buy       Sell  
                          _____    ___________    ________    ________    _______    ____    ________

    Bonds                  52.4       42938         0.3        0.001      0.18787       0     0.11213
    Large-Cap Equities    122.7       24449         0.4        0.001          0.4       0           0
    Small-Cap Equities     35.2       42612         0.2        0.001      0.16213       0    0.037871
    Emerging Equities      46.9       15991         0.1        0.004         0.25    0.15           0

The Buy и Sell элементы Blotter - изменения в весах портфеля, которые должны быть преобразованы в изменения в портфельных холдингах для определения сделок. Поскольку вы работаете с чистыми возвратами портфеля, сначала необходимо вычислить стоимость торговли от вашего начального портфеля до нового портфеля. Это достигается следующим образом:

TotalCost = Wealth * sum(Blotter.UnitCost .* (Blotter.Buy + Blotter.Sell))

TotalCost = 5.6248e+03

Стоимость торговли составляет $5,625, так что, в целом, вам придется скорректировать свое начальное богатство соответственно, прежде чем настраивать новые веса портфеля. Однако, чтобы сохранить анализ простым, обратите внимание, что у вас есть достаточные денежные средства ($60 0000), выделенные для оплаты торговых расходов и что вы не будете касаться денежной позиции, чтобы создать какие-либо позиции в вашем портфеле. Таким образом, вы можете заполнить свой блоттер новыми портфельными холдингами и сделками, чтобы добраться до нового портфеля, не производя никаких изменений в вашем общем инвестированном богатстве. Во-первых, вычислите портфельный холдинг:

Blotter.Holding = Wealth * (Blotter.Port ./ Blotter.Price);

Вычисление количества общих ресурсов в Buy и Sell в вашем Blotter:

Blotter.BuyShare = Wealth * (Blotter.Buy ./ Blotter.Price);
Blotter.SellShare = Wealth * (Blotter.Sell ./ Blotter.Price);

Заметьте, как вы использовали специальное правило усечения для получения модуля количества акций для покупки и продажи. Очистите Blotter путем удаления удельных затрат и веса портфеля покупок и продаж:

Blotter.Buy = [];
Blotter.Sell = [];
Blotter.UnitCost = [];

Этап 10. Отображение конечных результатов.

Конечным результатом является блоттер, который содержит предложенные сделки для перехода от вашего текущего портфеля к портфелю с умеренным риском. Чтобы совершить сделку, вам нужно будет продать 16 049 акций вашего облигационного актива и 8 069 акций вашего акционерного актива с малой капитализацией, и вам нужно будет приобрести 23 986 акций вашего нового акционерного актива.

display(Blotter)

Blotter=4×7 table
                          Price    InitHolding    InitPort     Port      Holding    BuyShare    SellShare
                          _____    ___________    ________    _______    _______    ________    _________

    Bonds                  52.4       42938         0.3       0.18787     26889          0        16049  
    Large-Cap Equities    122.7       24449         0.4           0.4     24449          0            0  
    Small-Cap Equities     35.2       42612         0.2       0.16213     34543          0       8068.8  
    Emerging Equities      46.9       15991         0.1          0.25     39977      23986            0  

Конечный график использует plotFrontier функция для отображения эффективной границы и начального портфеля для полностью заданной задачи оптимизации портфеля. Он также добавляет расположение портфеля умеренного риска или конечного портфеля на эффективной границе.

plotFrontier(q, 40);
hold on
scatter(estimatePortRisk(q, qwgt), estimatePortReturn(q, qwgt), 'filled', 'r');
h = legend('Initial Portfolio', 'Efficient Frontier', 'Final Portfolio', 'location', 'best');
set(h, 'Fontsize', 8);
hold off

Локальные функции

function displayReturns(pret0, pret, qret)
fprintf('Annualized Portfolio Returns ...\n');
fprintf('                                   %6s    %6s\n','Gross','Net');
fprintf('Initial Portfolio Return           %6.2f %%  %6.2f %%\n',100*pret0,100*pret0);
fprintf('Minimum Efficient Portfolio Return %6.2f %%  %6.2f %%\n',100*pret(1),100*qret(1));
fprintf('Maximum Efficient Portfolio Return %6.2f %%  %6.2f %%\n',100*pret(2),100*qret(2));
end

function displayReturnLevel(Level, qret, qrsk)
fprintf('Portfolio at %g%% return level on efficient frontier ...\n',100*Level);
fprintf('%10s %10s\n','Return','Risk');
fprintf('%10.2f %10.2f\n',100*qret,100*qrsk);
end