Рассмотрите следующую передаточную функцию.

sys = tf(3,[1 2 3])

sys =
 
        3
  -------------
  s^2 + 2 s + 3
 
Continuous-time transfer function.

Чтобы вычислить ответ этой системы на произвольный входной сигнал, предоставьте lsim с вектором времени t при котором необходимо вычислить ответ и вектор u содержащих соответствующие значения сигналов. Для образца постройте график отклика системы к шаговому сигналу, который начинается с 0 в момент времени t = 0, пандусы от 0 в t = 1 до 1 в t = 2, и затем держится стабильно при 1. Определите t и вычислите значения u.

t = 0:0.04:8;  % 201 points
u = max(0,min(t-1,1));

Использование lsim без выходного аргумента для построения графика отклика системы к сигналу.

lsim(sys,u,t)
grid on

На график показан приложенный вход (u,t) серым цветом и системной характеристикой синего цвета.

Использование lsim с выходным аргументом для получения симулированного отклика данных.

y = lsim(sys,u,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     1

Векторная y содержит симулированный отклик в соответствующее время в t.

Использование gensig (Control System Toolbox), чтобы создать периодические входные сигналы, такие как синусоиды и квадратные волны для использования с lsim. Симулируйте ответ на квадратную волну следующей модели пространства состояний SISO.

A = [-3 -1.5; 5 0];
B = [1; 0];
C = [0.5 1.5];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

В данном примере создайте квадратную волну с периодом 10 с и длительностью 20 с.

[u,t] = gensig("square",10,20);

gensig возвращает вектор t временных шагов и вектора u содержащий соответствующие значения входного сигнала. (Если вы не задаете шаг расчета для t, затем gensig генерирует 64 выборки за период.) Используйте их с lsim и постройте график отклика системы.

lsim(sys,u,t)
grid on

На график показана приложенная квадратная волна серого цвета и отклика системы синего цвета. Функции lsim с выходным аргументом для получения значений отклика в каждой точке в t.

[y,~] = lsim(sys,u,t);

Когда вы симулируете ответ системы дискретного времени, временной вектор t должен иметь форму Ti:dT:Tf, где dT - шаг расчета модели. Симулируйте ответ следующей передаточной функции в дискретном времени на вход шага наклона.

sys = tf([0.06 0.05],[1 -1.56 0.67],0.05);

Эта передаточная функция имеет шаг расчета 0,05 с. Используйте тот же шаг расчета, чтобы сгенерировать временной вектор t и усиленный сигнал шага u.

t = 0:0.05:4;  
u = max(0,min(t-1,1));

Постройте график отклика системы.

lsim(sys,u,t)

Чтобы симулировать ответ системы в дискретном времени на периодический входной сигнал, используйте тот же шаг расчета с gensig чтобы сгенерировать вход. Для образца симулируйте отклик системы к синусоиде с периодом 1 с и длительностью 4 с.

[u,t] = gensig("sine",1,4,0.05);

Постройте график отклика системы.

lsim(sys,u,t)

lsim позволяет вам построить график симулированных откликов нескольких динамических систем на одной оси. Для образца сравните реакцию системы с обратной связью с ПИ-контроллером и ПИД-регулятором. Создайте передаточную функцию системы и настройте контроллеры.

H = tf(4,[1 10 25]);
C1 = pidtune(H,'PI');
C2 = pidtune(H,'PID');

Сформируйте системы с обратной связью.

sys1 = feedback(H*C1,1);
sys2 = feedback(H*C2,1);

Постройте график откликов обеих систем на квадратную волну с периодом 4 с.

[u,t] = gensig("square",4,12);
lsim(sys1,sys2,u,t)
grid on
legend("PI","PID")

По умолчанию lsim выбирает различные цвета для каждой системы, которую вы строите. Вы можете задать цвета и стили линии, используя LineSpec входной параметр.

 lsim(sys1,"r--",sys2,"b",u,t)
 grid on
 legend("PI","PID")

Первый LineSpec «r--" задает штриховую красную линию для отклика с ПИ-контроллером. Вторая LineSpec «b" задает сплошную синюю линию для отклика с ПИД-регулятором. Легенда отражает указанные цвета и стили линии. Для получения дополнительных опций индивидуальной настройки графика используйте lsimplot.

В системе MIMO в каждый временной шаг t, а вход u(t) - вектор, длина которого является количеством входов. Как использовать lsim, вы задаете u как матрица с размерностями Nt-by- Nu, где Nu количество системных входов и Nt - длина t. Другими словами, каждый столбец u - входной сигнал, приложенный к соответствующему системному входу. Например, чтобы симулировать систему с четырьмя входами для 201 временного шага, предоставьте u как матрица четырех столбцов и 201 строка, где каждая строка u(i,:) - вектор входа значений в i1й временной шаг; каждый столбец u(:,j) - сигнал, приложенный к jth-й вход.

Точно так же выходные y(t) вычисляется по lsim является матрицей, столбцы которой представляют сигнал на каждом выходе системы. Когда вы используете lsim для построения графика симулированного отклика, lsim предоставляет отдельные оси для каждого выхода, представляющие отклику системы в каждом канале выхода к входу u(t) применяется на всех входах.

Рассмотрим модель пространства состояний с двумя входами, тремя выходами со следующими матрицами пространства состояний.

A = [-1.5  -0.2   1.0;
     -0.2  -1.7   0.6;
      1.0   0.6  -1.4];
  
B = [ 1.5  0.6;
     -1.8  1.0;
      0    0  ];

C = [ 0    -0.5 -0.1;
      0.35 -0.1 -0.15
      0.65  0    0.6];
  
D = [ 0.5  0;
      0.05 0.75
      0    0];

sys = ss(A,B,C,D);

Постройте график отклика sys к квадратной волне периода 4 с, приложенной к первому входу sys и импульс, приложенный ко второму входу каждые 3 с. Для этого создайте векторы-столбцы, представляющую квадратную волну и импульсный сигнал, используя gensig. Затем сложите столбцы в матрицу входа. Чтобы убедиться, что два сигнала имеют одинаковое количество выборок, задайте одно и то же время окончания и шаг расчета.

Tf = 10;
Ts = 0.1;
[uSq,t] = gensig("square",4,Tf,Ts);
[uP,~] = gensig("pulse",3,Tf,Ts);
u = [uSq uP];
lsim(sys,u,t)

Каждая ось показывает ответ одного из трех системных выходов на сигналы u применяется на всех входах. Каждый график также показывает все входные сигналы в сером цвете.

По умолчанию lsim моделирует модель, предполагая, что все состояния равны нулю в начале симуляции. При симуляции отклика модели пространства состояний используйте необязательную x0 входной параметр для задания ненулевых значений начального состояния. Рассмотрим следующую модель пространства состояний SISO в двух состояниях.

A = [-1.5 -3;
      3   -1];
B = [1.3; 0];
C = [1.15 2.3];
D = 0;
          
sys = ss(A,B,C,D);

Предположим, что вы хотите разрешить системе развиваться из известного набора начальных состояний без входов в течение 2 с, а затем применить единичное изменение шага. Задайте вектор x0 начальных значений состояний и создайте вектор входа.

x0 = [-0.2 0.3];
t = 0:0.05:8;
u = zeros(length(t),1);
u(t>=2) = 1;
lsim(sys,u,t,x0)
grid on

Первая половина графика показывает свободное развитие системы от начальных значений состояния [-0.2 0.3]. В t = 2 существует изменение шага на входе, и график показывает отклик системы к этому новому сигналу, начиная со значений состояния в то время.

Когда вы используете lsim с выходными аргументами он возвращает симулированному отклику данные в массив. Для системы SISO данные отклика возвращаются как вектор-столбец той же длины, что и t. Например, извлеките ответ системы SISO на квадратную волну. Создайте квадратную волну с помощью gensig.

sys = tf([2 5 1],[1 2 3]);
[u,t] = gensig("square",4,10,0.05);
[y,t] = lsim(sys,u,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     1

Векторная y содержит симулированный отклик на каждом временном шаге в t. (lsim возвращает временной вектор t как удобство.)

Для системы MIMO данные отклика возвращаются в массиве размерностей N-на-Ny-на-Nu, где Ny и Nu являются количеством выходов и входов динамической системы. Например, рассмотрим следующую модель пространства состояний, представляющую систему с тремя состояниями с двумя входами и тремя выходами.

A = [-1.5  -0.2   1.0;
     -0.2  -1.7   0.6;
      1.0   0.6  -1.4];
  
B = [ 1.5  0.6;
     -1.8  1.0;
      0    0  ];

C = [ 0   -0.1 -0.2;
      0.7 -0.2 -0.3
     -0.65 0   -0.6];
  
D = [ 0.1  0;
      0.1  1.5
      0    0];

sys = ss(A,B,C,D);

Извлеките отклики трех выходных каналов на квадратную волну, приложенную к обоим входам.

uM = [u u];
[y,t] = lsim(sys,uM,t);
size(y)

ans = 1×2

   201     3

y(:,j) - вектор-столбец, содержащая ответ на j-ом выходе на квадратную волну, приложенную к обоим входам. То есть y(i,:) является вектором трех значений, выходных значений в i-м временном шаге.

Потому что sys является моделью пространства состояний, можно извлечь временное развитие значений состояний в ответ на входной сигнал.

[y,t,x] = lsim(sys,uM,t);
size(x)

ans = 1×2

   201     3

Каждая строка x содержит значения состояний [x1,x2,x3] в соответствующее время в t. Другими словами, x(i,:) - вектор состояния в i-м временном шаге. Постройте график значений состояния.

plot(t,x)

Пример Plot Response of Multiple Systems to Same Input показывает, как построить график откликов нескольких отдельных систем на одной оси. Когда у вас есть несколько динамических систем, расположенных в массиве моделей, lsim строит графики всех их ответов сразу.

Создайте массив моделей. В данном примере используйте одномерный массив передаточных функций второго порядка, имеющих различные собственные частоты. Во-первых, предварительно выделите память для массива моделей. Следующая команда создает 1 на 5 строку передаточных функций SISO с нулевым усилением. Первые две размерности представляют выходы модели и входы. Оставшиеся размерности являются измерениями массива. (Для получения дополнительной информации об массивах моделей и их создании см. раздел «Массивы моделей» (Control System Toolbox).)

sys = tf(zeros(1,1,1,5));

Заполните массив.

w0 = 1.5:1:5.5;    % natural frequencies
zeta = 0.5;        % damping constant
for i = 1:length(w0)
   sys(:,:,1,i) = tf(w0(i)^2,[1 2*zeta*w0(i) w0(i)^2]);
end

Постройте график откликов всех моделей в массиве на вход квадратной волны.

[u,t] = gensig("square",5,15);
lsim(sys,u,t)

lsim использует тот же стиль линии для откликов всех записей массива. Один из способов различить записи - использовать SamplingGrid свойство динамических моделей системы связывать каждую запись в массиве с соответствующим w0 значение.

sys.SamplingGrid = struct('frequency',w0);

Теперь, когда вы строите график характеристик в графическом окне MATLAB, можно щелкнуть трассировку, чтобы увидеть, какому значению частоты это соответствует.

Данные оценки нагрузки для оценки модели.

load(fullfile(matlabroot,'toolbox','ident','iddemos','data','dcmotordata'));
z = iddata(y,u,0.1,'Name','DC-motor');

z является iddata объект, который сохраняет данные оценки с одним входом с двумя выходами со шаг расчета 0,1 с.

Оцените модель пространства состояний порядка 4, используя данные оценки z.

[sys,x0] = n4sid(z,4);

sys является оценочной моделью и x0 - предполагаемые начальные состояния.

Симулируйте ответ sys использование тех же входных данных, что и для оценки, и начальных состояний, возвращенных командой оценки.

[y,t,x] = lsim(sys,z.InputData,[],x0);

Здесь, y является отклик системы, t - временной вектор, используемая для симуляции, и x - траектория состояний.

Сравните симулированный отклик y в измеренный отклик z.OutputData для обоих выходов.

subplot(211), plot(t,z.OutputData(:,1),'k',t,y(:,1),'r')
legend('Measured','Simulated')
subplot(212), plot(t,z.OutputData(:,2),'k',t,y(:,2),'r')
legend('Measured','Simulated')

Выбор шага расчета может резко повлиять на результаты симуляции. Чтобы проиллюстрировать, почему, рассмотрите следующую модель второго порядка.

w2 = 62.83^2;
sys = tf(w2,[1 2 w2]);

tau = 1;
Tf = 5;
Ts = 0.1;
[u,t] = gensig("square",tau,Tf,Ts);
lsim(sys,u,t)

figure
Ts2 = 0.01;
[u2,t2] = gensig("square",tau,Tf,Ts2);
lsim(sys,u2,t2)