norm

Норма линейной модели

Синтаксис

n = norm(sys)

n =
norm(sys,2)

n = norm(sys,Inf)

[n,fpeak]
= norm(sys,Inf)

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol)

Описание

пример

n = norm(sys) или n = norm(sys,2) возвращает среднее значение корня квадратов импульсной характеристики модели линейной динамической системы sys. Это значение эквивалентно H 2 норме sys.

n = norm(sys,Inf) возвращает _L∞ норму (Control System Toolbox) sys, который является пиковым усилением частотной характеристики sys по частотам. Для систем MIMO эта величина является пиковым усилением по всем частотам и всем входным направлениям, что соответствует пиковому значению наибольшего сингулярного значения sys. Для стабильных систем норма _L∞ эквивалентна норме H ∞. Для получения дополнительной информации см.hinfnorm (Robust Control Toolbox).

пример

[n,fpeak] = norm(sys,Inf) также возвращает частоту fpeak при котором коэффициент усиления достигает своего пикового значения.

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol) устанавливает относительную точность нормы L ∞ равной tol.

Для выполнения этой команды требуется лицензия Control System Toolbox™.

Примеры

свернуть все

Вычисление нормы линейной системы дискретного времени

Этот пример использует:

Control System Toolbox

Открыть Live Script

Вычислите $H_{2}$ и $L_{\infty}$ нормы следующей передаточной функции в дискретном времени со шаг расчета 0,1 секунды.

$s y s (z) = \frac{z^{3} - 2.841 z^{2} + 2.875 z - 1.004}{z^{3} - 2.417 z^{2} + 2.003 z - 0.5488} .$

Вычислите $H_{2}$ норма передаточной функции. $H_{2}$ norm - среднеквадратичный квадрат импульсной характеристики sys.

sys = tf([1 -2.841 2.875 -1.004],[1 -2.417 2.003 -0.5488],0.1);
n2 = norm(sys)

n2 = 1.2438

Вычислите $L_{\infty}$ норма передаточной функции.

[ninf,fpeak] = norm(sys,Inf)

ninf = 2.5721

fpeak = 3.0178

Потому что sys является стабильной системой, ninf - пиковое усиление частотной характеристики sys, и fpeak - частота, на которой происходит пиковое усиление. Подтвердите эти значения с помощью getPeakGain.

[gpeak,fpeak] = getPeakGain(sys)

gpeak = 2.5721

fpeak = 3.0178

Входные параметры

свернуть все

`sys` - Динамическая система
динамическая система | массив моделей

Входная динамическая система, заданная как любая линейная динамическая система SISO или MIMO массива моделей или массива моделей. sys может быть непрерывным или дискретным.

`tol` - Относительная точность
0,01 (по умолчанию) | положительный действительный скаляр

Относительная точность H ∞ нормы, заданная как положительное действительное скалярное значение.

Выходные аргументы

свернуть все

`n` - H 2 или L∞ норма
скалярный массив |

H 2 норму или _L∞ норму sys, возвращенный как скаляр или массив.

Если sys является одной моделью, тогда n является скалярным значением.
Если sys является массивом моделей, затем n - массив того же размера, что и sys, где n(k) = norm(sys(:,:,k)).

`fpeak` - Частота пикового усиления
неотрицательная действительная скаляра | массив неотрицательных вещественных значений

Частота, при которой усиление достигает пикового значения gpeak, возвращенный как неотрицательное действительное скалярное значение или массив неотрицательных вещественных значений. Частота выражается в модулях рад/ TimeUnit, относительно TimeUnit свойство sys.

Если sys является одной моделью, тогда fpeak является скаляром.
Если sys является массивом моделей, затем fpeak - массив того же размера, что и sys, где fpeak(k) - пиковая частота усиления sys(:,:,k).

Подробнее о

свернуть все

H2 норма

Норма H 2 устойчивой системы H является средним корнем квадратом импульсной характеристики системы. Норма _H 2 измеряет установившуюся ковариацию (или мощность) выходного отклика y = Hw на единичные входы белого шума w:

${‖ H ‖}_{2}^{2} = \underset{t \to \infty}{\lim E} {y {(t)}^{T} y (t)}, E (w (t) w {(τ)}^{T}) = δ (t - τ) I .$

Норма H 2 системы непрерывного времени с передаточной функцией H (s) задается:

${‖ H ‖}_{2} = \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} След [H {(j ω)}^{H} H (j ω)] d ω} .$

Для системы в дискретном времени с передаточной функцией H (z) норма _H 2 определяется:

${‖ H ‖}_{2} = \sqrt{\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} След [H {(e^{j ω})}^{H} H (e^{j ω})] d ω} .$

Норма H 2 бесконечна в следующих случаях:

sys нестабильно.
sys непрерывна и имеет ненулевое сквозное соединение (то есть ненулевое усиление на частоте ω = ∞).

Использование norm(sys) приводит к тому же результату что и sqrt(trace(covar(sys,1))).

Норма L-бесконечности

Норма L ∞ линейной системы SISO является пиковым усилением частотной характеристики. Для системы MIMO _L норма ∞ является пиковым усилением во всех входных/выходных каналах.

Для системного H в непрерывном времени (s) это определение означает:

$\begin{array}{l} {‖ H (s) ‖}_{L_{\infty}} = \max_{ω \in R} | H (j ω) | (SISO) \\ {‖ H (s) ‖}_{L_{\infty}} = \max_{ω \in R} σ_{\max} (H (j ω)) (MIMO) \end{array}$

where _и (·) обозначает наибольшее сингулярное значение матрицы.

Для H системы в дискретном времени (z) определение означает:

$\begin{array}{l} {‖ H (z) ‖}_{L_{\infty}} = \max_{θ \in [0, 2 π]} | H (e^{j θ}) | (SISO) \\ {‖ H (z) ‖}_{L_{\infty}} = \max_{θ \in [0, 2 π]} σ_{\max} (H (e^{j θ})) (MIMO) \end{array}$

Для стабильных систем L норма ∞ эквивалентна _H норме ∞. Для получения дополнительной информации см.hinfnorm (Robust Control Toolbox). Для системы с нестабильными полюсами H ∞ норма бесконечна. Для всех систем ,norm возвращает L норму ∞, которая является пиковым усилением без учета устойчивости системы .

Алгоритмы

После преобразования sys в модель пространства состояний, norm использует тот же алгоритм, что и covar (Control System Toolbox) для H 2 нормы. Для _L ∞ нормы,norm использует алгоритм [1]. norm вычисляет пиковое усиление с помощью библиотеки SLICOT. Дополнительные сведения о библиотеке SLICOT см. в разделе http://slicot.org.

Ссылки

[1] Bruisma, N.A. and M. Steinbuch, «A Fast Algorithm to Compute the _H∞-Norm of a Передаточная Функция Matrix», System Control Letters, 14 (1990), pp. 287-293.

См. также

freqresp | getPeakGain (Control System Toolbox) | sigma (Control System Toolbox) | hinfnorm (Набор инструментов Robust Control Toolbox)

Представлено до R2006a

Документация

norm

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычисление нормы линейной системы дискретного времени

Входные параметры

`sys` - Динамическая система
динамическая система | массив моделей

`tol` - Относительная точность
0,01 (по умолчанию) | положительный действительный скаляр

Выходные аргументы

`n` - H 2 или L∞ норма
скалярный массив |

`fpeak` - Частота пикового усиления
неотрицательная действительная скаляра | массив неотрицательных вещественных значений

Подробнее о

H2 норма

Норма L-бесконечности

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Документация по System Identification Toolbox

Поддержка

Документация

norm

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычисление нормы линейной системы дискретного времени

Входные параметры

sys - Динамическая система динамическая система | массив моделей

tol - Относительная точность 0,01 (по умолчанию) | положительный действительный скаляр

Выходные аргументы

n - H 2 или L∞ норма скалярный массив |

fpeak - Частота пикового усиления неотрицательная действительная скаляра | массив неотрицательных вещественных значений

Подробнее о

H2 норма

Норма L-бесконечности

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Документация по System Identification Toolbox

Поддержка

`sys` - Динамическая система
динамическая система | массив моделей

`tol` - Относительная точность
0,01 (по умолчанию) | положительный действительный скаляр

`n` - H 2 или L∞ норма
скалярный массив |

`fpeak` - Частота пикового усиления
неотрицательная действительная скаляра | массив неотрицательных вещественных значений