Оценивайте градиентов решений УЧП в произвольных точках
[___] = evaluateGradient( возвращает интерполированные значения градиентов в точках, заданных в results,querypoints)querypoints.
[___] = evaluateGradient(___, возвращает интерполированные значения градиентов для системы уравнений для индексов уравнений (компонентов) iU)iU. При решении системы эллиптических PDE задайте iU после входных параметров в любом из предыдущих синтаксисов.
Первая размерность gradx, grady, и, в 3-D случае, gradz соответствует точкам запроса. Второе измерение соответствует индексам уравнений iU.
[___] = evaluateGradient(___, возвращает интерполированные значения градиентов для зависящего от времени уравнения или системы зависящих от времени уравнений во времени iT)iT. При оценке градиента для зависящего от времени УЧП задайте iT после входных параметров в любом из предыдущих синтаксисов. Для системы зависящих от времени уравнений задайте оба временных индексов iT и индексы уравнений (компоненты) iU.
Первая размерность gradx, grady, и, в 3-D случае, gradz соответствует точкам запроса. Для одного зависящего от времени УЧП второе измерение соответствует временным шагам iT. Для системы зависящих от времени PDE, второе измерение соответствует индексам уравнений iU, и третья размерность соответствует временным шагам iT.
Оцените градиенты решения скаляра эллиптической задачи вдоль линии. Постройте график результатов.
Создайте решение задачи на L-образной мембране с нулевыми граничными условиями Дирихле.
model = createpde; geometryFromEdges(model,@lshapeg); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1:model.Geometry.NumEdges,'u',0); specifyCoefficients(model,'m',0,... 'd',0,... 'c',1,... 'a',0,... 'f',1); generateMesh(model,'Hmax',0.05); results = solvepde(model);
Вычислите градиенты решения вдоль прямой линии от (x,y)=(-1,-1) на (1,1). Постройте график результатов как график полей градиента при помощи quiver.
xq = linspace(-1,1,101); yq = xq; [gradx,grady] = evaluateGradient(results,xq,yq); gradx = reshape(gradx,size(xq)); grady = reshape(grady,size(yq)); quiver(xq,yq,gradx,grady) xlabel('x') ylabel('y')
Вычислите градиенты для среднего времени выхода брауновской частицы из области, которая содержит поглощающие (выходящие) контуры и отражающие контуры. Используйте уравнение Пуассона с постоянными коэффициентами и 3-D прямоугольной геометрии блока, чтобы смоделировать эту задачу.
Создайте решение этой проблемы.
model = createpde; importGeometry(model,'Block.stl'); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',[1,2,5],'u',0); specifyCoefficients(model,'m',0,... 'd',0,... 'c',1,... 'a',0,... 'f',2); generateMesh(model); results = solvepde(model);
Создайте сетку и интерполируйте градиенты решения для сетки.
[X,Y,Z] = meshgrid(1:16:100,1:6:20,1:7:50); [gradx,grady,gradz] = evaluateGradient(results,X,Y,Z);
Измените форму градиентов к форме сетки и постройте график градиентов.
gradx = reshape(gradx,size(X)); grady = reshape(grady,size(Y)); gradz = reshape(gradz,size(Z)); quiver3(X,Y,Z,gradx,grady,gradz) axis equal xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z')
Решите скаляр эллиптическую задачу и интерполируйте градиенты решения в плотную сетку. Используйте матрицу запросов, чтобы задать сетку.
Создайте решение задачи на L-образной мембране с нулевыми граничными условиями Дирихле.
model = createpde; geometryFromEdges(model,@lshapeg); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1:model.Geometry.NumEdges,'u',0); specifyCoefficients(model,'m',0,... 'd',0,... 'c',1,... 'a',0,... 'f',1); generateMesh(model,'Hmax',0.05); results = solvepde(model);
Интерполируйте градиенты решения в сетку от -1 до 1 в каждом направлении. Постройте график результата с помощью quiver функция построения графика.
v = linspace(-1,1,101); [X,Y] = meshgrid(v); querypoints = [X(:),Y(:)]'; [gradx,grady] = evaluateGradient(results,querypoints); quiver(X(:),Y(:),gradx,grady) xlabel('x') ylabel('y')
Увеличьте изображение конкретной части графика, чтобы увидеть больше деталей. Например, ограничьте диапазон построения графиков 0,2 в каждом направлении.
axis([-0.2 0.2 -0.2 0.2])
Вычислите градиенты решения двухкомпонентной эллиптической системы и постройте график результатов.
Создайте модель УЧП для двух компонентов.
model = createpde(2);
Создайте 2-D геометрию как прямоугольник с круглым отверстием в центре. Для получения дополнительной информации о создании геометрии см. пример в разделе Решение PDE с постоянными граничными условиями.
R1 = [3,4,-0.3,0.3,0.3,-0.3,-0.3,-0.3,0.3,0.3]'; C1 = [1,0,0,0.1]'; C1 = [C1;zeros(length(R1)-length(C1),1)]; geom = [R1,C1]; ns = (char('R1','C1'))'; sf = 'R1 - C1'; g = decsg(geom,sf,ns);
Включите геометрию в модель и просмотрите геометрию.
geometryFromEdges(model,g); pdegplot(model,'EdgeLabels','on') axis equal axis([-0.4,0.4,-0.4,0.4])
Установите граничные условия и коэффициенты.
specifyCoefficients(model,'m',0,... 'd',0,... 'c',1,... 'a',0,... 'f',[2; -2]); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',3,'u',[-1,1]); applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1,'u',[1,-1]); applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',[2,4:8],'g',[0,0]);
Создайте mesh и решите проблему.
generateMesh(model,'Hmax',0.1);
results = solvepde(model);Интерполируйте градиенты решения в сетку от -0,3 до 0,3 в каждом направлении для каждого из двух компонентов.
v = linspace(-0.3,0.3,15); [X,Y] = meshgrid(v); [gradx,grady] = evaluateGradient(results,X,Y,[1,2]);
Постройте график градиентов для первого компонента.
figure gradx1 = gradx(:,1); grady1 = grady(:,1); quiver(X(:),Y(:),gradx1,grady1) title('Component 1') axis equal xlim([-0.3,0.3])
Постройте график градиентов для второго компонента.
figure gradx2 = gradx(:,2); grady2 = grady(:,2); quiver(X(:),Y(:),gradx2,grady2) title('Component 2') axis equal xlim([-0.3,0.3])
Решить систему гиперболических PDE и оценить градиентов.
Импортируйте геометрию перекрытия для 3-D задачи с тремя компонентами решения. Постройте график геометрии.
model = createpde(3); importGeometry(model,'Plate10x10x1.stl'); pdegplot(model,'FaceLabels','on','FaceAlpha',0.5)
Установите граничные условия таким образом, чтобы грань 2 была фиксированной (нулевое отклонение в любом направлении), а грань 5 имела нагрузку 1e3 в положительном z-направление. Эта нагрузка заставляет плиту сгибаться вверх. Установите начальное условие, что решение является нулем, и его производная относительно времени также равна нулю.
applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Face',2,'u',[0,0,0]); applyBoundaryCondition(model,'neumann','Face',5,'g',[0,0,1e3]); setInitialConditions(model,0,0);
Создайте коэффициенты УЧП для уравнений линейной упругости. Установите свойства материала аналогичными свойствам стали. См. Линейные уравнения упругости.
E = 200e9; nu = 0.3; specifyCoefficients(model,'m',1,... 'd',0,... 'c',elasticityC3D(E,nu),... 'a',0,... 'f',[0;0;0]);
Сгенерируйте mesh, задавая Hmax на 1.
generateMesh(model,'Hmax',1);Решите задачу за время 0 через 5e-3 в шагах 1e-4. Возможно, вам придется подождать решение несколько минут.
tlist = 0:5e-4:5e-3; results = solvepde(model,tlist);
Оцените градиенты решения при фиксированных x- и z-координаты в центрах их областей значений, 5 и 0,5 соответственно. Оцените для y от 0 до 10 с шагом 0,2. Получите только компонент 3, z-компонент.
yy = 0:0.2:10; zz = 0.5*ones(size(yy)); xx = 10*zz; component = 3; [gradx,grady,gradz] = evaluateGradient(results,xx,yy,zz,component,1:length(tlist));
Три проекции градиентов решения являются массивами 51 на 1 на 51. Использование squeeze для удаления синглтонной размерности. Удаление синглтонной размерности преобразует эти массивы в 51 на 51 матрицы, что упрощает индексацию в них.
gradx = squeeze(gradx); grady = squeeze(grady); gradz = squeeze(gradz);
Постройте график интерполированного компонента градиента grady вдоль y ось для следующих шести значений из временного интервала tlist.
figure t = [1:2:11]; for i = t p(i) = plot(yy,grady(:,i),'DisplayName', strcat('t=', num2str(tlist(i)))); hold on end legend(p(t)) xlabel('y') ylabel('grady') ylim([-5e-6, 20e-6])
The results объект содержит решение и его градиент, вычисленный в узловых точках треугольного или четырехгранного mesh. Вы можете получить доступ к решению и трем компонентам градиента в узловых точках с помощью записи через точку.
interpolateSolution и evaluateGradient позволяет вам интерполировать решение и его градиент в пользовательскую сетку, например, заданную как meshgrid.
contour | evaluateCGradient | interpolateSolution | PDEModel | quiver | quiver3 | StationaryResults | TimeDependentResults