Обзор обратного тестирования VaR

Market risk - риск потерь в позициях, возникающих в результате изменения рыночных цен. Значение риска (VaR) является одним из основных показателей финансового риска. VaR является оценкой того, какое значение портфель может потерять за заданный период времени с заданным доверительным уровнем. Например, если однодневный 95% VaR портфеля 10MM, то есть 95% вероятность того, что портфель потеряет меньше, чем 10MM на следующий день. Другими словами, только 5% времени (или примерно один раз в 20 дней) потери портфеля превышают 10MM.

Для многих портфелей, особенно торговых, VaR вычисляется ежедневно. На закрытие следующего дня фактическая прибыль и убытки по портфелю известны и могут быть сравнены с оценкой VaR накануне. Можно использовать эти ежедневные данные для оценки эффективности моделей VaR, что является целью обратного тестирования VaR. Эффективность моделей VaR может быть измерена по-разному. На практике многие различные метрики и статистические тесты используются для идентификации моделей VaR, которые работают плохо или работают лучше. В качестве наилучшей практики используйте более одного критерия для обратной проверки эффективности моделей VaR, потому что все тесты имеют сильные и слабые стороны.

Предположим, что у вас есть пределы VaR и соответствующие возвраты или прибыль и убытки за дни t = 1,..., N. Используйте t VaR, чтобы обозначить оценку VaR для дня t (определяется на день t − 1). Используйте Rt для обозначения фактического возврата или прибыли и убытков, наблюдаемых в день t. Прибыль и убытки выражаются в денежных модулях и представляют собой изменения значения в портфеле. Соответствующие пределы VaR также приведены в денежных модулях. Возвраты представляют изменение значения портфеля как пропорцию (или процент) от его значения в предыдущий день. Соответствующие пределы VaR также задаются как пропорция (или процент). Пределы VaR должны быть получены из существующих моделей VaR. Затем, чтобы выполнить обратный анализ VaR, предоставьте эти пределы и их соответствующие возвраты в качестве входных параметров данных для инструментов обратного тестирования VaR в Risk Management Toolbox™.

Тулбокс поддерживает следующие бэктесты VaR:

Биномиальный тест
Тест светофора
Тесты Купеца
Тесты Кристоферсена
Тесты Haas

Биномиальный тест

Самый простой тест состоит в том, чтобы сравнить наблюдаемое количество исключений, x, с ожидаемым количеством исключений. Из свойств биномиального распределения можно создать доверие интервал для ожидаемого количества исключений. Используя точные вероятности из биномиального распределения или нормального приближения, bin функция использует нормальное приближение. Вычисляя вероятность наблюдения x исключений, можно вычислить вероятность неправильного отклонения хорошей модели, когда происходят x исключения. Это - p значение для наблюдаемого количества x исключений. Для заданного уровня доверия теста прямолинейным результатом в этом случае является отказ модели VaR, когда x находится вне интервала доверия тестирования для ожидаемого количества исключений. «Вне доверия интервала» может означать слишком много исключений или слишком мало исключений. Слишком мало исключений может быть признаком того, что модель VaR слишком консервативна .

Тестовая статистика

$Z_{b i n} = \frac{x - N p}{\sqrt{N p (1 - p)}}$

где x количество отказов, N количество наблюдений и p = 1 - уровень VaR. Биномиальный тест приблизительно распределен как стандартное нормальное распределение.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Jorion и bin.

Тест светофора

Одним из изменения биномиального теста, предложенного Базельским комитетом, является traffic light test или three zones test. Для заданного количества x исключений можно вычислить вероятность наблюдений до x исключений. То есть любое количество исключений от 0 до x или совокупная вероятность до x. Вероятность вычисляется с помощью биномиального распределения. Три зоны определяются следующим образом:

«Красная» зона начинается с количества исключений, где эта вероятность равна или превышает 99,99%. Вряд ли слишком много исключений исходит из правильной модели VaR.
«Желтая» зона охватывает количество исключений, где вероятность равна или превышает 95%, но меньше 99,99%. Хотя существует большое количество нарушений, количество нарушений не является чрезвычайно высоким.
Все ниже желтой зоны «зеленое». Если у вас слишком мало отказы, они попадают в зеленую зону. Только слишком много отказы приводят к отклонениям модели.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Базельского комитета по банковскому надзору и tl.

POF и тесты TUFF Kupiec

Kupiec (1995) ввел изменение биномиального теста, называемую долей отказов (POF). Тест POF работает с подходом биномиального распределения. В сложение он использует коэффициент правдоподобия, чтобы проверить, синхронизирована ли вероятность исключений с p вероятности, подразумеваемой уровнем доверия VaR. Если данные предполагают, что вероятность исключений отличается от p, модель VaR отклоняется. Статистика теста POF

$L R_{P O F} = - 2 \log (\frac{{(1 - p)}^{N - x} p^{x}}{{(1 - \frac{x}{N})}^{N - x} {(\frac{x}{N})}^{x}})$

где x количество отказов, N количество наблюдений и p = 1 - уровень VaR.

Эта статистическая величина асимптотически распределена как переменная хи-квадрат с 1 степенью свободы. Модель VaR не проходит тест, если этот коэффициент вероятности превышает критическое значение. Критическое значение зависит от тестового уровня доверия.

Купец также предложил второй тест, называемый временем до первого отказа (TUFF). Тест TUFF смотрит, когда произошло первое отклонение. Если это происходит слишком рано, тест проваливает модель VaR. Проверка только первого исключения оставляет много информации, в частности, то, что произошло после того, как первое исключение проигнорировано. Тест TBFI расширяет подход TUFF, чтобы включить все отказы. Посмотрите tbfi.

Тест TUFF также основан на коэффициенте правдоподобия, но базовое распределение является геометрическим распределением. Если n количество дней до первого отклонения, тестовая статистика задается как

$L R_{T U F F} = - 2 \log (\frac{p {(1 - p)}^{n - 1}}{(\frac{1}{n}) {(1 - \frac{1}{n})}^{n - 1}})$

Эта статистическая величина асимптотически распределена как переменная хи-квадрат с 1 степенью свободы. Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Kupiec, pof, и tuff.

Интервальные прогнозные тесты Кристоферсена

Кристоферсен (1998) предложил тест, чтобы измерить, зависит ли вероятность наблюдения за исключением в конкретный день от того, произошло ли исключение. В отличие от безусловной вероятности наблюдения исключения, тест Кристоферсена измеряет зависимость только между последовательными днями. Тестовая статистика независимости в подходе интервала прогноза (IF) Кристоферсена приведена

$L R_{C C I} = - 2 \log (\frac{{(1 - π)}^{n 00 + n 10} π^{n 01 + n 11}}{{(1 - π_{0})}^{n 00} π_{0}^{n 01} {(1 - π_{1})}^{n 10} π_{1}^{n 11}})$

где

<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> = Количество периодов без отказов, за которыми следует период без отказов.
<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> = Количество периодов с отказами, за которыми следует период без сбоев.
<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> = Количество периодов без сбоев, за которыми следует период с отказами.
<reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> = Количество периодов с отказами, за которыми следует период с отказами.

<reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> - Вероятность наличия отказа на периоде t, учитывая, что никакой отказ не произошел на периоде <reservedrangesplaceholder2> − 1 = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> / (n 00 + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>)
<reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> - Вероятность наличия отказа на периоде t, учитывая, что отказ произошел на периоде <reservedrangesplaceholder2> − 1 = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> / (n 10 + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>)
π - Вероятность отказа на периоде t = (n 01 + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> / (n 00 + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>)

Эта статистическая величина асимптотически распределена как хи-квадрат с 1 степенью свободы. Можно объединить эту статистику с тестом POF частоты для получения смешанного теста условного покрытия (CC):

_LRCC = _LRPOF + _LRCCI

Этот тест асимптотически распределен как переменная хи-квадрат с 2 степенями свободы.

Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Christoffersen, cc, и cci.

Время Haas между отказами или смешанным тестом Kupiec

Haas (2001) продлил тест TUFF Купиека, чтобы включить информацию о времени между всеми исключениями в выборку. Тест Haas применяет тест TUFF к каждому исключению в выборке и агрегирует статистику теста времени между отказами (TBF).

$L R_{T B F I} = - 2 \sum_{i = 1}^{x} \log (\frac{p {(1 - p)}^{n_{i} - 1}}{(\frac{1}{n_{i}}) {(1 - \frac{1}{n_{i}})}^{n_{i} - 1}})$

В этой статистике p = 1 - уровень VaR и n i - это количество дней между отказами i -1 и i (или до первого исключения для i = 1). Эта статистическая величина асимптотически распределена как переменная хи-квадрат с x степенями свободы, где x количество отказов.

Как и тест Кристоферсена, можно объединить этот тест с частотным тестом POF, чтобы получить смешанный тест TBF, иногда называемый Haas "смешанный тест Купица:

$L R_{T B F} = L R_{P O F} + L R_{T B F I}$

Этот тест асимптотически распределен как переменная хи-квадрат с x + 1 степенями свободы. Для получения дополнительной информации смотрите Ссылки для Haas,tbf, и tbfi.

Ссылки

[1] Базельский комитет по банковскому надзору, среда надзора за использованием «обратного тестирования» в сочетании с внутренними моделями подхода к требованиям к рыночному риску капитала. Январь 1996, https://www.bis.org/publ/bcbs22.htm.

[2] Christoffersen, P. «Оценка интервальных прогнозов». Международный экономический обзор. Том 39, 1998, стр. 841-862.

[3] Cogneau, P. «Backtesting Value-at-Risk: насколько хороша модель?» Интеллектуальный риск, PRMIA, июль 2015 г.

[4] Haas, M. «New Methods in Backtesting». Финансовая инженерия, Исследовательский центр Цезарь, Бонн, 2001 год.

[5] Jorion, P. Financial Risk Manager Handbook. 6-е издание, Wiley Finance, 2011.

[6] Kupiec, P. «Методы проверки точности моделей управления рисками». Журнал производных. Том 3, 1995, стр. 73-84.

[7] McNeil, A., Frey, R. and Embrechts, P. Quantitative Risk Management. Пресса Принстонского университета, 2005.

[8] Nieppola, O. «Backtesting Value-At-Risk Models». Магистерская диссертация, Хельсинкская школа экономики, 2009.

См. также

bin | cc | cci | pof | runtests | summary | tbf | tbfi | tl | tuff | varbacktest

Документация