Модель объекта управления

Эта модель объекта управления аналогична описанному в MIMO Запасам устойчивости для вращающегося спутника.

a = 10;
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gnom = ss(A,B,C,D);

Номинальный проект смешанной чувствительности

Начните с базового проекта смешанной чувствительности, используя mixsyn. Выберите веса, чтобы достичь хорошей эффективности при ограничении полосы пропускания и усилиях по управлению. (Смотрите Mixed-Sensitivity Loop Shaping для получения дополнительной информации об этом методе и о том, как выбрать функции взвешивания.)

wS = makeweight(1e3,1,1e-1);
wKS = makeweight(0.5,[500 1e2],1e4,0,2);
wT = makeweight(0.5,20,100);
bodemag(wS,wKS,wT), grid
legend('wS','wKS','wT')

Вычислите оптимальный контроллер MIMO K1 с mixsyn.

[K1,~,gam] = mixsyn(Gnom,wS,wKS,wT);
gam

gam = 0.7166

Оптимальная эффективность составляет около 0,7, что указывает на то, что mixsyn легко встретил границы на $$S,KS,T$$. Закройте цикл обратной связи и постройте график переходной характеристики.

T = feedback(Gnom*K1,eye(2));
step(T,2), grid

Номинальные отклики быстрые с небольшим перерегулированием.

Поля на диске

Чтобы оценить робастность этого контроллера, проверьте запасы дисков на входах объекта и выходах объекта.

diskmarginplot(K1*Gnom,'b',Gnom*K1,'r--') 
grid
legend('At plant inputs','At plant outputs')

Оба хороши с запасом усиления около 10 дБ и запасом по фазе 50 степеней. Также проверяйте поля диска, когда коэффициент усиления и фаза изменяются как на входах, так и на выходах объекта.

MMIO = diskmargin(Gnom,K1)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.9915 1.0085]
          PhaseMargin: [-0.4863 0.4863]
           DiskMargin: 0.0085
           LowerBound: 0.0085
           UpperBound: 0.0085
            Frequency: 9.9988
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Поля ввода-вывода чрезвычайно малы. В этом первом проекте также отсутствует робастность. Можно подтвердить плохую робастность, введя наименьшие дестабилизирующие возмущения, возвращенные diskmargin на входах и выходах объекта. (См. diskmargin для получения дополнительной информации о WorstPerturbation поле его структур output.)

WP = MMIO.WorstPerturbation;
bode(WP.Input,WP.Output)
title('Smallest destabilizing perturbation')
legend('Input perturbation','Output perturbation')

Tpert = feedback(WP.Output*Gnom*WP.Input*K1,eye(2));
step(Tpert,5)
grid

Переходная характеристика продолжает колебаться после начального переходного процесса, указывающего на предельную нестабильность. Проверьте, что возмущенная система с обратной связью Tpert имеет полюс на мнимой оси на критической частоте MMIO.Frequency.

[wn,zeta] = damp(Tpert); 
[~,idx] = min(zeta); 
[zeta(idx) wn(idx) MMIO.Frequency]

ans = 1×3

    0.0000    9.9988    9.9988

Робастный Проект

Создайте неопределенную модель объекта управления, где параметр a (частота вращения) изменяется в области значений [7 13].

a = ureal('a',10,'range',[7 13]);
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gunc = ss(A,B,C,D);

Можно использовать musyn чтобы спроектировать устойчивый контроллер для этого неопределенного объекта. Чтобы улучшить робастность, используйте umargin элемент для моделирования неопределенности усиления и фазы как на входах, так и на выходах, так что musyn обеспечивает робастность для смоделированной области значений неопределенности. Предположим, что вам нужен запас усиления не менее 2 дБ при каждом вводе-выводе (всего 4 дБ для каждого канала). Если ваш umargin элементы моделируют, что полная область значений изменений, musyn может не дать хороших результатов, потому что он пытается обеспечить устойчивую эффективность в отношении смоделированной неопределенности, а также устойчивую стабильность. musyn скорее всего, не может поддерживать желаемую эффективность для того большого изменения усиления. Вместо этого масштабируйте цель до изменения усиления на 1 дБ в каждом вводе-выводе.

GM = 1.1; % about 1 dB
u1 = umargin('u1',GM);
u2 = umargin('u2',GM);
y1 = umargin('y1',GM);
y2 = umargin('y2',GM);
InputMargins = append(u1,u2);
OutputMargins = append(y1,y2);
Gunc = OutputMargins*Gunc*InputMargins;

Дополните объект весами смешанной чувствительности и используйте musyn оптимизировать устойчивую эффективность для смоделированной неопределенности, которая включает в себя оба параметра a и изменения коэффициента усиления и фазы на входах и выходах объекта управления.

P = augw(Gunc,wS,wKS,wT);
[K2,gam] = musyn(P,2,2);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           175.9        2.593        2.606            24
    2            1.21         1.21        1.223            54
    3           1.167        1.167         1.18            50
    4           1.169        1.168        1.174            66
    5            1.17         1.17        1.175            62

Best achieved robust performance: 1.17

Устойчивая эффективность близка к 1, что указывает на то, что контроллер близок к надежному достижению целей смешанной чувствительности. Проверьте поля дисков на вводах/выводах объекта.

MMIO = diskmargin(Gnom,K2)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.6409 1.5602]
          PhaseMargin: [-24.6856 24.6856]
           DiskMargin: 0.4376
           LowerBound: 0.4376
           UpperBound: 0.4456
            Frequency: 2.6184
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Сейчас запасы составляют около 1,6 дБ и 25 степени, гораздо лучше, чем раньше. Сравните переходные характеристики с каждым контроллером для 25 выборок неопределенности.

T1 = feedback(Gunc*K1,eye(2));
T2 = feedback(Gunc*K2,eye(2));
rng(0) % for reproducibility
T1s = usample(T1,25);
rng(0)
T2s = usample(T2,25);
opt = timeoptions; 
opt.YLim = {[-1 1.5]};
stepplot(T1s,T2s,4,opt)
grid
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

Второй проект - явное улучшение. Далее сравните функции чувствительности и комплементарной чувствительности.

sigma(eye(2)-T1s,eye(2)-T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

sigma(T1s,T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Complementary Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

Этот пример показал, как использовать umargin неопределенный элемент для улучшения запасов устойчивости как часть синтеза устойчивого контроллера.