Шаг 1: Задайте перемещение, скорость и ускорение маятниковых масс

Следующий рисунок показывает модель двойного маятника. Двойной маятник состоит из двух бобышек маятника и двух твёрдых стержней.

Опишите движение двойного маятника путем определения переменных состояния:

Опишите свойства двойного маятника путем определения переменных:

Для простоты игнорируйте массы двух жестких стержней. Задайте все переменные при помощи syms.

syms theta_1(t) theta_2(t) L_1 L_2 m_1 m_2 g

Задайте перемещения двойного маятника в Декартовых координатах.

x_1 = L_1*sin(theta_1);
y_1 = -L_1*cos(theta_1);
x_2 = x_1 + L_2*sin(theta_2);
y_2 = y_1 - L_2*cos(theta_2);

Найдите скорости путем дифференцирования перемещений относительно времени с помощью diff функция.

vx_1 = diff(x_1);
vy_1 = diff(y_1);
vx_2 = diff(x_2);
vy_2 = diff(y_2);

Найдите ускорения путем дифференцирования скоростей относительно времени.

ax_1 = diff(vx_1);
ay_1 = diff(vy_1);
ax_2 = diff(vx_2);
ay_2 = diff(vy_2);

Шаг 2: Задайте уравнения движения

Задайте уравнения движения, основанные на законах Ньютона.

Сначала определите натяжение первого штока как ${\mathit{T}}_1$, и натяжение второго штока ${\mathit{T}}_2$.

syms T_1 T_2

Затем создайте схемы свободного тела сил, которые действуют на обе массы.

Оцените силы, действующие на ${\mathit{m}}_1$. Задайте уравнения движения первого боба путем балансировки горизонтальных и вертикальных компонентов силы. Задайте эти два уравнения как символьные уравнения eqx_1 и eqy_1.

eqx_1 = m_1*ax_1(t) == -T_1*sin(theta_1(t)) + T_2*sin(theta_2(t))

eqx_1 = 
$$-m_1\hspace{0.17em}\left(L_1\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2-L_1\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)=T_2\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)-T_1\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)$$

eqy_1 = m_1*ay_1(t) == T_1*cos(theta_1(t)) - T_2*cos(theta_2(t)) - m_1*g

eqy_1 = 
$$m_1\hspace{0.17em}\left(L_1\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)+L_1\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2\right)=T_1\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)-g\hspace{0.17em}{m}_1-T_2\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)$$

Оцените силы, действующие на ${\mathit{m}}_2$. Задайте уравнения движения второго боба путем балансировки горизонтальных и вертикальных компонентов силы. Задайте эти два уравнения как символьные уравнения eqx_2 и eqy_2.

eqx_2 = m_2*ax_2(t) == -T_2*sin(theta_2(t))

eqx_2 = 
$$-m_2\hspace{0.17em}\left(L_1\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2+L_2\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)}^2-L_1\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)-L_2\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)=-T_2\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)$$

eqy_2 = m_2*ay_2(t) == T_2*cos(theta_2(t)) - m_2*g

eqy_2 = 
$$m_2\hspace{0.17em}\left(L_1\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2+L_2\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)}^2+L_1\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)+L_2\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)=T_2\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)-g\hspace{0.17em}{m}_2$$

Шаг 3: Оцените силы и уменьшите системные уравнения

Четыре уравнения движения описывают кинематику двойного маятника. Оцените силы, действующие на стержни, и уменьшите набор четырех уравнений до двух уравнений.

Уравнения движения имеют четыре неизвестных: ${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\mathit{T}}_1$, и ${\mathit{T}}_2$. Оцените двух неизвестных ${\mathit{T}}_1$ и ${\mathit{T}}_2$ от eqx_1 и eqy_1. Использование solve функцию для поиска ${\mathit{T}}_1$ и ${\mathit{T}}_2$.

Tension = solve([eqx_1 eqy_1],[T_1 T_2]);

Замените решения на ${\mathit{T}}_1$ и ${\mathit{T}}_2$ в eqx_2 и eqy_2.

eqRed_1 = subs(eqx_2,[T_1 T_2],[Tension.T_1 Tension.T_2]);
eqRed_2 = subs(eqy_2,[T_1 T_2],[Tension.T_1 Tension.T_2]);

Два приведенных уравнения полностью описывают движение маятника.

Шаг 4: Решение системных уравнений

Решите системные уравнения, чтобы описать движение маятника.

Во-первых, задайте значения для масс в $\mathrm{kg}$, длины штока в $\mathrm{m}$, и силу тяжести в $\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ (единицы СИ). Замените эти значения в два редуцированных уравнения.

L_1 = 1;
L_2 = 1.5;
m_1 = 2;
m_2 = 1;
g = 9.8;
eqn_1 = subs(eqRed_1)

eqn_1 = 
$$\begin{array}{l}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\sigma }_1-\frac{3\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)}^2}{2}-\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2+\frac{3\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)}{2}=-\frac{2\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\left({\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_1+{\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_1+\frac{49\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}{5}\right)}{\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)-\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\end{array}$$

eqn_2 = subs(eqRed_2)

eqn_2 = 
$$\begin{array}{l}\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\right)}^2+\frac{3\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)\right)}^2}{2}+\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}{\sigma }_1+\frac{3\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_2\left(t\right)}{2}=\frac{2\hspace{0.17em}\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\left({\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_1+{\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}^2\hspace{0.17em}{\sigma }_1+\frac{49\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}{5}\right)}{\cos \left({\theta }_1\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_2\left(t\right)\right)-\cos \left({\theta }_2\left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left({\theta }_1\left(t\right)\right)}-\frac{49}{5}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }{\theta }_1\left(t\right)\end{array}$$

Два уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Чтобы решить эти уравнения, преобразуйте их в дифференциальные уравнения первого порядка с помощью odeToVectorField функция.

[V,S] = odeToVectorField(eqn_1,eqn_2);

Элементы вектора V представляют дифференциальные уравнения первого порядка, которые равны производной по времени от элементов S. Элементы S являются переменными состояния ${\theta }_2$, $\mathit{d}{\theta }_2/\mathrm{dt}$, ${\theta }_1$, и $\mathit{d}{\theta }_1/\mathrm{dt}$. Переменные состояния описывают угловые смещения и скорости двойного маятника.

S

S = 
$$\left(\begin{array}{c}{\theta }_2\\ {\mathrm{Dtheta}}_2\\ {\theta }_1\\ {\mathrm{Dtheta}}_1\end{array}\right)$$

Затем преобразуйте первые дифференциальные уравнения порядка в функцию MATLAB с помощью указателя M.

M = matlabFunction(V,'vars',{'t','Y'});

Задайте начальные условия переменных состояния как [pi/4 0 pi/6 0]. Используйте ode45 функция для решения переменных состояния. Решения являются функцией времени в интервале [0 10].

initCond = [pi/4 0 pi/6 0];
sols = ode45(M,[0 10],initCond);

Постройте график решений переменных состояния.

plot(sols.x,sols.y)
legend('\theta_2','d\theta_2/dt','\theta_1','d\theta_1/dt')
title('Solutions of State Variables')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Solutions (rad or rad/s)')

Шаг 5: Создайте анимацию колеблющегося двойного маятника

Создайте анимацию колеблющегося двойного маятника.

Во-первых, создайте четыре функции, которые используют deval для оценки координат обоих маятников из решений sols.

x_1 = @(t) L_1*sin(deval(sols,t,3));
y_1 = @(t) -L_1*cos(deval(sols,t,3));
x_2 = @(t) L_1*sin(deval(sols,t,3))+L_2*sin(deval(sols,t,1));
y_2 = @(t) -L_1*cos(deval(sols,t,3))-L_2*cos(deval(sols,t,1));

Затем создайте объект анимации о стоп-движении первого маятника bob при помощи fanimator функция. По умолчанию fanimator создает объект анимации с 10 сгенерированными системами координат в единицу времени в области значений t от 0 до 10. Постройте график координат с помощью plot функция. Установите оси X и Y равной длины.

fanimator(@(t) plot(x_1(t),y_1(t),'ro','MarkerSize',m_1*10,'MarkerFaceColor','r'));
axis equal;

Затем добавьте объекты анимации первого твердого стержня, второго маятника и второго твердого стержня.

hold on;
fanimator(@(t) plot([0 x_1(t)],[0 y_1(t)],'r-'));
fanimator(@(t) plot(x_2(t),y_2(t),'go','MarkerSize',m_2*10,'MarkerFaceColor','g'));
fanimator(@(t) plot([x_1(t) x_2(t)],[y_1(t) y_2(t)],'g-'));

Добавьте часть текста для подсчета истекшего времени при помощи text функция. Использование num2str для преобразования временного параметра в строку.

fanimator(@(t) text(-0.3,0.3,"Timer: "+num2str(t,2)));
hold off;

Используйте команду playAnimation воспроизведение анимации двойного маятника.