ellipticE

Полные и неполные эллиптические интегралы второго рода

Описание

Примеры

Найти полные эллиптические интегралы второго рода

Вычислите полные эллиптические интегралы второго рода для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

s = [ellipticE(-10.5), ellipticE(-pi/4),...
 ellipticE(0),  ellipticE(1)]
s =
    3.7096    1.8443    1.5708    1.0000

Вычислите полный эллиптический интеграл второго рода для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел ellipticE возвращает неразрешенные символические вызовы.

s = [ellipticE(sym(-10.5)), ellipticE(sym(-pi/4)),...
 ellipticE(sym(0)),  ellipticE(sym(1))]
s =
[ ellipticE(-21/2), ellipticE(-pi/4), pi/2, 1]

Использовать vpa чтобы аппроксимировать этот результат с числами с плавающей запятой:

vpa(s, 10)
ans =
[ 3.70961391, 1.844349247, 1.570796327, 1.0]

Дифференцирование эллиптических интегралов второго рода

Дифференцируйте эти выражения с участием эллиптических интегралов второго рода. ellipticK и ellipticF представляют полный и неполный эллиптические интегралы первого рода, соответственно.

syms m
diff(ellipticE(pi/3, m))
diff(ellipticE(m^2), m, 2)
ans =
ellipticE(pi/3, m)/(2*m) - ellipticF(pi/3, m)/(2*m)
 
ans =
2*m*((ellipticE(m^2)/(2*m^2) -...
ellipticK(m^2)/(2*m^2))/m - ellipticE(m^2)/m^3 +...
ellipticK(m^2)/m^3 + (ellipticK(m^2)/m +...
ellipticE(m^2)/(m*(m^2 - 1)))/(2*m^2)) +...
ellipticE(m^2)/m^2 - ellipticK(m^2)/m^2

Эллиптический интеграл для матричного входа

Функции ellipticE для этой символьной матрицы. Когда входной параметр является матрицей, ellipticE вычисляет полный эллиптический интеграл второго рода для каждого элемента.

ellipticE(sym([1/3 1; 1/2 0]))
ans =
[ ellipticE(1/3),    1]
[ ellipticE(1/2), pi/2]

График полных и неполных эллиптических интегралов второго рода

Постройте график неполных эллиптических интегралов ellipticE(phi,m) для phi = pi/4 и phi = pi/3. Также постройте график полного эллиптического интеграла ellipticE(m).

syms m
fplot([ellipticE(pi/4,m) ellipticE(pi/3,m) ellipticE(m)])

title('Elliptic integrals of the second kind')
legend('E(\pi/4|m)','E(\pi/3|m)','E(m)','Location','Best')
grid on

Figure contains an axes. The axes with title Elliptic integrals of the second kind contains 3 objects of type functionline. These objects represent E(\pi/4|m), E(\pi/3|m), E(m).

Входные параметры

свернуть все

Вход, заданный как число, вектор, матрица или массив или символьное число, переменная, массив, функция или выражение.

Вход, заданный как число, вектор, матрица или массив или символьное число, переменная, массив, функция или выражение.

Подробнее о

свернуть все

Неполный эллиптический интеграл второго рода

Неполный эллиптический интеграл второго рода определяется следующим образом:

E(φ|m)=0φ1msin2θdθ

Обратите внимание, что в некоторых определениях вместо m параметра используется эллиптический модуль k или модульный угол α. Они связаны как m = k2 = sin2α.

Полный эллиптический интеграл второго рода

Полный эллиптический интеграл второго рода определяется следующим образом:

E(m)=E(π2|m)=0π/21msin2θdθ

Обратите внимание, что в некоторых определениях вместо m параметра используется эллиптический модуль k или модульный угол α. Они связаны как m = k2 = sin2α.

Совет

  • ellipticE возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • Для большинства символических (точных) чисел ellipticE возвращает неразрешенные символические вызовы. Можно аппроксимировать такие результаты с помощью чисел с плавающей запятой vpa.

  • Если m является вектором или матрицей, затем ellipticE(m) возвращает полный эллиптический интеграл второго рода, рассчитанный для каждого элемента m.

  • По крайней мере, один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами одного размера. Если один входной параметр является скаляром, а другой - вектором или матрицей, то ellipticE расширяет скаляр в вектор или матрицу того же размера, что и другой аргумент со всеми элементами, равными этому скаляру.

  • ellipticE(pi/2, m) = ellipticE(m).

Альтернативы

Вы можете использовать ellipke вычислить эллиптические интегралы первого и второго видов в одном вызове функции.

Ссылки

[1] Милн-Томсон, Л. М. «Эллиптические интегралы». Руководство по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Штегун, эд.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Введенный в R2013a
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте