Решить алгебраическое уравнение Riccati ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-\mathrm{Xb}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathit{C}{\mathit{C}}^{\mathit{T}}=0$, рассмотрите следующие матрицы:

Наименьшее количество подхода усилия должно использовать $\mathit{G}=-\mathit{B}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}$ и $\mathit{Q}={\mathit{C}}^{\mathit{T}}\mathit{C}$, и затем найдите решение с помощью icare.

A = [-1,2,3;4,5,-6;7,-8,9];
B = [5;6;-7];
C = [7,-8,9];
G = -B*B';
Q = C'*C;
[X1,K1,L1] = icare(A,[],Q,[],[],[],G)

X1 = 3×3

   15.3201    4.2369   17.0090
    4.2369    2.6252    4.4123
   17.0090    4.4123   19.0374

K1 =

  0×3 empty double matrix

L1 = 3×1

   -3.2139
  -10.1191
  -76.9693

Вышеупомянутый подход может привести к числовым погрешностям, когда матрицы, B и C имеют большие записи, поскольку они в квадрате - чтобы вычислить матрицы Q и G. Из-за ограниченной числовой области значений, вычисление может быть менее точным или даже перестать работать. Например, если norm(B) является 1e6, то norm(G) является 1e12, и любое собственное значение в 1e-4 мнимой оси может быть диагностировано как 'мнимое' из-за числовых ошибок.

Для большей числовой точности перепишите алгебраическое уравнение Riccati следующим образом:

${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}–[\mathrm{Xb},{\mathit{C}}^{\mathit{T}}]*[I,0;0,-I][{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X};C]=0$.

Вышеупомянутое уравнение является стандартной формой ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-(\mathrm{Xb}+S){\mathit{R}}^{-1}(B^{\mathit{T}}\mathit{X}+S^{\mathit{T}})=0$,

где $\mathit{B}=\left[\mathit{B},\mathrm{0}\right],\mathit{S}=\left[0,{\mathit{C}}^{\mathit{T}}\right],\mathrm{и}\mathit{R}=\left[\mathit{I},0;0,-\mathit{I}\right]$.

Вычислите решение с помощью icare с вышеупомянутыми значениями.

n = size(A,1);
m = size(B,2);
p = size(C,1);
R = blkdiag(eye(m),-eye(p));
BB = [B,zeros(n,p)];
S = [zeros(n,m),C'];
[X2,K2,L2,info] = icare(A,BB,0,R,S,[],[])

X2 = 3×3

   15.3201    4.2369   17.0090
    4.2369    2.6252    4.4123
   17.0090    4.4123   19.0374

K2 = 2×3

  -17.0406    6.0501  -21.7435
   -7.0000    8.0000   -9.0000

L2 = 3×1

   -3.2139
  -10.1191
  -76.9693

info = struct with fields:
        Sx: [3×1 double]
        Sr: [2×1 double]
         U: [3×3 double]
         V: [3×3 double]
         W: [2×3 double]
    Report: 0

Здесь, X2 является уникальным решением для стабилизации, K2 содержит усиление обратной связи состояния, и L2 содержит собственные значения с обратной связью.

Найти антистабилизировавшееся решение непрерывно-разового алгебраического уравнения Riccati ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-\mathrm{Xb}{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathit{C}{\mathit{C}}^{\mathit{T}}=0$, рассмотрите следующие матрицы:

Для большей числовой точности перепишите алгебраическое уравнение Riccati следующим образом:

${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}–[\mathrm{Xb},{\mathit{C}}^{\mathit{T}}]*[I,0;0,-I][{\mathit{B}}^{\mathit{T}}\mathit{X};C]=0$.

Вышеупомянутое уравнение является стандартной формой ${\mathit{A}}^{\mathit{T}}\mathit{X}+\mathrm{XA}-(\mathrm{Xb}+S){\mathit{R}}^{-1}(B^{\mathit{T}}\mathit{X}+S^{\mathit{T}})=0$,

где $\mathit{B}=\left[\mathit{B},\mathrm{0}\right],\mathit{S}=\left[0,{\mathit{C}}^{\mathit{T}}\right],\mathrm{и}\mathit{R}=\left[\mathit{I},0;0,-\mathit{I}\right]$.

Вычислите антистабилизировавшееся решение с помощью опции 'anti'.

A = [-1,2,3;4,5,-6;7,-8,9];
B = [5;6;-7];
C = [7,-8,9];
n = size(A,1);
m = size(B,2);
p = size(C,1);
R = blkdiag(eye(m),-eye(p));
BB = [B,zeros(n,p)];
S = [zeros(n,m),C'];
[X,K,L] = icare(A,BB,0,R,S,[],[],'anti')

X = 3×3

  -18.0978   10.9090   -1.8466
   10.9090   -6.7195    1.4354
   -1.8466    1.4354   -0.9426

K = 2×3

  -12.1085    4.1803    5.9774
   -7.0000    8.0000   -9.0000

L = 3×1

   76.9693
   10.1191
    3.2139

Здесь, X является уникальным решением антистабилизации, K содержит усиление обратной связи состояния, и L содержит собственные значения с обратной связью.