Условные модели отклонения

Общее условное определение модели отклонения

Рассмотрите временные ряды

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ . Здесь, _zt является независимой и тождественно распределенной серией стандартизированных случайных переменных. Поддержки Econometrics Toolbox™ стандартизировали инновационные дистрибутивы t Гауссова и стандартизированного Студента. Постоянный термин, $μ$ , среднее смещение.

conditional variance model задает динамическую эволюцию инновационного отклонения,

$σ_{t}^{2} = V a r (ε_{t} | H_{t - 1}),$

где H _{t –1} является историей процесса. История включает:

Прошлые отклонения, $σ_{}^{12}, σ_{}^{22}, \dots, σ_{t - 1}^{2}$
Прошлые инновации, $ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{t - 1}$

Условные модели отклонения подходят для временных рядов, которые не показывают значительную автокорреляцию, но последовательно зависят. Инновационный ряд $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ является некоррелированым, потому что:

E (_εt) = 0.
E (_εt _εt–h) = 0 для всего t и $h \neq 0.$

Однако, если $σ_{t}^{2}$ зависит от $σ_{t - 1}^{2}$ , например, затем _εt зависит от _εt–1, даже при том, что они являются некоррелироваными. Этот вид зависимости показывает себя как автокорреляция в инновационном ряду в квадрате, $ε_{t}^{2} .$

Совет

Для моделирования временных рядов, которые и автокоррелируются и последовательно зависимый, можно рассмотреть использование составного условного среднего значения и модели отклонения.

Две характеристики финансовых временных рядов, к которым обращаются условные модели отклонения:

Volatility clustering. Энергозависимость является условным стандартным отклонением временных рядов. Автокорреляция в условном процессе отклонения приводит к кластеризации энергозависимости. Модель GARCH и ее авторегрессия модели вариантов в ряду отклонения.
Leverage effects. Энергозависимость некоторых временных рядов больше отвечает на значительные сокращения, чем к значительным увеличениям. Это асимметричное поведение кластеризации известно как эффект рычагов. Модели EGARCH и GJR имеют условия рычагов, чтобы смоделировать эту асимметрию.

Модель GARCH

Обобщенное авторегрессивное условное выражение heteroscedastic модель (GARCH) является расширением модели ARCH Энгла для отклонения heteroscedasticity [1]. Если ряд показывает кластеризацию энергозависимости, это предполагает, что прошлые отклонения могут быть прогнозирующими из текущего отклонения.

GARCH (P, Q) модель является авторегрессивной моделью скользящего среднего значения для условных отклонений с P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными отклонениями и коэффициентами ДУГИ Q, сопоставленными с изолированными инновациями в квадрате. Форма GARCH (P, Q) модель в Econometrics Toolbox

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + γ_{P} σ_{t - P}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + \dots + α_{Q} ε_{t - Q}^{2} .$

Примечание

Свойство Constant модели garch соответствует κ, и свойство Offset соответствует μ.

Для стационарности и положительности, модель GARCH имеет следующие ограничения:

$κ > 0$
$γ_{i} \geq 0, α_{j} \geq 0$
$\sum_{i = 1}^{P} γ_{i} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} < 1$

Чтобы задать исходную модель ARCH (Q) Энгла, используйте эквивалентный GARCH (0, Q) спецификация.

Модель EGARCH

Экспоненциальная модель GARCH (EGARCH) является вариантом GARCH, который моделирует логарифм условного процесса отклонения. В дополнение к моделированию логарифма модель EGARCH имеет дополнительные условия рычагов, чтобы получить асимметрию в кластеризации энергозависимости.

EGARCH (P, Q) модель имеет P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными логарифмическими условиями отклонения, коэффициенты ДУГИ Q, сопоставленные со значением изолированных стандартизированных инноваций, и коэффициенты рычагов Q, сопоставленные с со знаком, изолировали стандартизированные инновации. Форма EGARCH (P, Q) модель в Econometrics Toolbox

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$журнал σ_{t}^{2} = κ + \sum_{i = 1}^{P} γ_{i} журнал σ_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} [\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}} - E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}}] + \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} (\frac{ε_{t - j}}{σ_{t - j}}) .$

Примечание

Свойство Constant модели egarch соответствует κ, и свойство Offset соответствует μ.

Форма условий ожидаемого значения, сопоставленных с коэффициентами ДУГИ в уравнении EGARCH, зависит от распределения _zt:

Если инновационное распределение является Гауссовым, то

$E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}} = E {| z_{t - j} |} = \sqrt{\frac{2}{π}} .$
Если инновационным распределением является t Студента с ν> 2 степени свободы, то

$E {\frac{| ε_{t - j} |}{σ_{t - j}}} = E {| z_{t - j} |} = \sqrt{\frac{ν - 2}{π}} \frac{Γ (\frac{ν - 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2})} .$

Тулбокс обрабатывает EGARCH (P, Q) модель как модель ARMA для $журнал σ_{t}^{2} .$ Таким образом, чтобы гарантировать стационарность, все корни содействующего полинома GARCH, $(1 - γ_{1} L - \dots - γ_{P} L^{P})$ , должен лечь вне модульного круга.

Модель EGARCH уникальна из моделей GARCH и GJR, потому что она моделирует логарифм отклонения. Путем моделирования логарифма ослабляются ограничения положительности на параметры модели. Однако прогнозы условных отклонений из модели EGARCH смещаются, потому что неравенством Иенсена,

$E (σ_{t}^{2}) \geq \exp {E (журнал σ_{t}^{2})} .$

EGARCH (1,1) спецификация будет достаточно комплексным для большинства приложений. Для модели EGARCH(1,1) GARCH и коэффициенты ДУГИ, как ожидают, будут положительны, и коэффициент рычагов, как ожидают, будет отрицателен; большие непредвиденные нисходящие шоки должны увеличить отклонение. Если вы получаете знаки напротив ожидаемых, вы можете столкнуться с трудностями, выводящими последовательности энергозависимости, и предсказывающий (отрицательный коэффициент ДУГИ может быть особенно проблематичным). В этом случае модель EGARCH не может быть лучшим выбором для вашего приложения.

Модель GJR

Модель GJR является вариантом GARCH, который включает условия рычагов для моделирования асимметричной кластеризации энергозависимости. В формулировке GJR большие отрицательные изменения, более вероятно, будут кластеризироваться, чем положительные изменения. Модель GJR названа по имени Glosten, Jagannathan и Runkle [2]. Закройтесь общие черты существуют между моделью GJR и пороговой моделью GARCH (TGARCH) — модель GJR является рекурсивным уравнением для процесса отклонения, и TGARCH является той же рекурсией, применился к процессу стандартного отклонения.

GJR (P, Q) модель имеет P коэффициенты GARCH, сопоставленные с изолированными отклонениями, коэффициенты ДУГИ Q, сопоставленные с изолированными инновациями в квадрате и коэффициентами рычагов Q, сопоставленными с квадратом отрицательных изолированных инноваций. Форма GJR (P, Q) модель в Econometrics Toolbox

$y_{t} = μ + ε_{t},$

где $ε_{t} = σ_{t} z_{t}$ и

$σ_{t}^{2} = κ + \sum_{i = 1}^{P} γ_{i} σ_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} ε_{t - j}^{2} + \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} I [ε_{t - j} < 0] ε_{t - j}^{2} .$

Функция индикатора $I [ε_{t - j} < 0]$ равняется 1 если $ε_{t - j} < 0$ , и 0 в противном случае. Таким образом коэффициенты рычагов применяются к отрицательным инновациям, давая отрицательным изменениям дополнительный вес.

Примечание

Свойство Constant модели gjr соответствует κ, и свойство Offset соответствует μ.

Для стационарности и положительности, модель GJR имеет следующие ограничения:

$κ > 0$
$γ_{i} \geq 0, α_{j} \geq 0$
$α_{j} + ξ_{j} \geq 0$
$\sum_{i = 1}^{P} γ_{i} + \sum_{j = 1}^{Q} α_{j} + \frac{}{12} \sum_{j = 1}^{Q} ξ_{j} < 1$

Модель GARCH вкладывается в модели GJR. Если все коэффициенты рычагов являются нулем, то модель GJR уменьшает до модели GARCH. Это означает, что можно протестировать модель GARCH против модели GJR с помощью теста отношения правдоподобия.

Ссылки

[1] Энгл, Роберт Ф. “Авторегрессивный Условный Heteroskedasticity с Оценками Отклонения Инфляции Соединенного Королевства”. Econometrica. Издание 50, 1982, стр 987–1007.

[2] Glosten, L. R. Р. Джейгэннэзэн и Д. Э. Ранкл. “На Отношении между Ожидаемым значением и Энергозависимостью Номинального Избыточного Возврата на Запасах”. Журнал Финансов. Издание 48, № 5, 1993, стр 1779–1801.

Документация