Эта тема описывает существенные различия между непрерывным вейвлетом преобразовывает (CWT) и дискретным вейвлетом преобразовывает (DWT) – и подкошенные и неподкошенные версии. cwt является дискретизированной версией CWT так, чтобы это могло быть реализовано в вычислительной среде. Это обсуждение фокусируется на 1D случае, но применимо к более высоким размерностям.
Вейвлет cwt преобразовывает, сравнивает сигнал с переключенным и масштабированным (расширенный или уменьшенный) копии основного вейвлета. Если вейвлет, сосредоточенный в t=0 с поддержкой времени на [-T/2, T/2], затем сосредоточен в t = u с поддержкой времени [-sT/2+u, sT/2+u]. Функция cwt использует нормализацию L1 так, чтобы все амплитуды частоты были нормированы к тому же значению. Если 0 <s <1, вейвлет законтрактован (уменьшенный) и если s> 1, вейвлет расширяется. Математический термин для этого является расширением. Смотрите Непрерывное Преобразование Вейвлета и Основанный на шкале Анализ для примеров того, как эта операция извлекает функции в сигнале путем соответствия с ним против расширенных и переведенных вейвлетов.
Существенное различие между CWT и дискретным вейвлетом преобразовывает, такие как dwt и modwt, то, как масштабный коэффициент дискретизируется. CWT дискретизирует шкалу более точно, чем дискретный вейвлет преобразовывает. В CWT вы обычно фиксируете некоторую основу, которая является дробной степенью двойки, например, где v является целым числом, больше, чем 1. Параметр v часто упоминается как количество “речи на октаву”. Различные шкалы получены путем повышения этой основной шкалы до положительных целочисленных степеней, например . Параметр перевода в CWT дискретизируется к целочисленным значениям, обозначенным здесь m. Получившиеся дискретизированные вейвлеты для CWT
Причина, как которая v упоминается как количество речи на октаву, состоит в том, потому что увеличение шкалы октавой (удвоение) требует промежуточных шкал v. Возьмите, например, и затем увеличьте числитель в экспоненте, пока вы не достигнете 4, следующая октава. Вы перемещаетесь от к . Существуют промежуточные шаги v. Общие ценности для v 10,12,14,16, и 32. Чем больше значение v, тем более прекрасный дискретизация масштабного коэффициента, s. Однако это также увеличивается, объем вычисления потребовал, потому что CWT должен быть вычислен для каждой шкалы. Различием между шкалами в шкале log2 является 1/v. Смотрите Анализ Частоты Времени с Непрерывным Анализом Преобразования и Частоты Времени Вейвлета Модулируемых Сигналов для примеров векторов шкалы с CWT.
В дискретном вейвлете преобразовывают, масштабный коэффициент всегда дискретизируется к целочисленным степеням 2, 2j, j=1,2,3..., так, чтобы количество речи на октаву всегда равнялось 1. Различие между шкалами в шкале log2 всегда 1 для дискретного вейвлета, преобразовывает. Обратите внимание на то, что это - намного более грубая выборка масштабного коэффициента, s, чем имеет место с CWT. Далее, в подкошенном (субдискретизируемом) дискретном вейвлете преобразовывает (DWT), параметр перевода всегда пропорционален шкале. Это означает, что в шкале, 2j, вы всегда переводите 2jm, где m является неотрицательным целым числом. В неподкошенном дискретном вейвлете преобразовывает как modwt и swt, масштабный коэффициент ограничивается степенями двойки, но параметр перевода является целым числом как в CWT. Дискретизированный вейвлет для DWT принимает следующую форму
Дискретизированный вейвлет для неподкошенного дискретного вейвлета преобразовывает, такие как MODWT,
Подводить итог:
CWT и дискретный вейвлет преобразовывают, отличаются по тому, как они дискретизируют масштабный коэффициент. CWT обычно использует экспоненциальные шкалы с основой, меньшей, чем 2, например, 21/12 . Дискретный вейвлет всегда преобразовывает шкалы экспоненциала использования с основой, равной 2. Шкалы в дискретном вейвлете преобразовывают, степени 2. Следует иметь в виду, что физическая интерпретация шкал и для CWT и для дискретного вейвлета преобразовывает, требует включения интервала выборки сигнала, если это не равно одному. Например, примите, что вы используете CWT, и вы устанавливаете свою основу на . Чтобы присоединить физическое значение для той шкалы, необходимо умножиться интервалом выборки , так вектор шкалы покрытие приблизительно четырех октав с учтенным интервалом выборки . Обратите внимание на то, что интервал выборки умножает шкалы, это не находится в экспоненте. Поскольку дискретный вейвлет преобразовывает основную шкалу, всегда 2.
Подкошенный и неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает, отличаются по тому, как они дискретизируют параметр перевода. Подкошенный дискретный вейвлет преобразовывает (DWT), всегда переводит целочисленным кратным шкалу, 2jm. Неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает, переводит целочисленными сдвигами.
Эти различия в том, как шкала и перевод дискретизируются результат в преимуществах и недостатках для двух классов вейвлета, преобразовывают. Эти различия также определяют варианты использования, где один вейвлет преобразовывает, вероятно, обеспечит превосходящие результаты. Некоторые важные последствия дискретизации шкалы и параметра перевода:
DWT обеспечивает разреженное представление для многих естественных сигналов. Другими словами, важные функции многих естественных сигналов получены подмножеством коэффициентов DWT, которое обычно намного меньше, чем исходный сигнал. Это “сжимает” сигнал. С DWT вы всегда заканчиваете с тем же количеством коэффициентов как исходный сигнал, но многие коэффициенты могут быть близко к нулю в значении. В результате можно часто выбрасывать те коэффициенты и все еще поддерживать высококачественное приближение сигнала. С CWT вы идете от выборок N для сигнала N-длины к матрице M на n коэффициентов с M, равным количеству шкал. CWT является очень избыточным преобразованием. Существует значительное перекрытие между вейвлетами в каждой шкале и между шкалами. Вычислительные ресурсы, требуемые вычислить CWT и сохранить коэффициенты, намного больше, чем DWT. Неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает, также избыточно, но фактором сокращения обычно являются значительно меньше, чем CWT, потому что масштабный коэффициент не дискретизируется так точно. Поскольку неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает, вы идете от выборок N до L+1-by-N матрица коэффициентов, где L является уровнем преобразования.
Строгая дискретизация шкалы и перевод в DWT гарантируют, что DWT является ортонормированным преобразованием (при использовании ортогонального вейвлета). Существует много преимуществ ортонормированных преобразований в анализе сигнала. Много моделей сигнала состоят из некоторого детерминированного сигнала плюс белый Гауссов шум. Ортонормированное преобразовывает, берет этот вид сигнала и выводит преобразование, применился к сигналу плюс белый шум. Другими словами, ортонормированное преобразовывают, берет в белом Гауссовом шуме и выходных параметрах белый Гауссов шум. Шум является некоррелированым при вводе и выводе. Это важно во многих статистических настройках обработки сигналов. В случае DWT сигнал интереса обычно получается некоторыми большое значение коэффициенты DWT, в то время как шум приводит ко многим маленьким коэффициентам DWT, которые можно выбросить. Если вы изучили линейную алгебру, вы не сомневаетесь, изучил много преимуществ для использования ортонормированных базисов в анализе и представлении векторов. Вейвлеты в DWT похожи на ортонормированные векторы. Ни CWT, ни неподкошенный дискретный вейвлет не преобразовывают, ортонормированные преобразования. Вейвлеты в CWT и неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывают, технически называются кадрами, они - линейно зависимые наборы.
DWT не является shift-invariant. Поскольку DWT субдискретизирует, сдвиг во входном сигнале не проявляется как простой эквивалентный сдвиг в коэффициентах DWT на всех уровнях. Простой сдвиг в сигнале может вызвать значительную перестройку энергии сигнала в коэффициентах DWT шкалой. CWT и неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывают, shift-invariant. Существуют некоторые модификации DWT, такие как двойной древовидный комплексный дискретный вейвлет, преобразовывают, которые смягчают отсутствие инвариантности сдвига в DWT, видят Критически Выбранные и Сверхдискретизированные Наборы фильтров Вейвлета для некоторого концептуального материала по этой теме и Двойным Древовидным Преобразованиям Вейвлета для примера.
Дискретный вейвлет преобразовывает, эквивалентны дискретным наборам фильтров. А именно, они - дискретные наборы фильтров с древовидной структурой, где сигнал сначала отфильтрован lowpass и фильтром highpass, чтобы привести к lowpass и highpass поддиапазонам. Впоследствии, lowpass поддиапазон итеративно отфильтрован той же схемой привести к более узкой полосе октавы lowpass и highpass поддиапазонам. В DWT фильтр выводит, субдискретизируются на каждом последовательном этапе. В неподкошенном дискретном вейвлете преобразовывают, выходные параметры не субдискретизируются. Фильтры, которые задают дискретный вейвлет, преобразовывают, обычно только имеют небольшое количество коэффициентов, таким образом, преобразование может быть реализовано очень эффективно. Для обоих DWT и неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывают, вы на самом деле не требуете выражения для вейвлета. Фильтры достаточны. Дело обстоит не так с CWT. Наиболее распространенная реализация CWT требует, чтобы вам задали вейвлет явным образом. Даже при том, что неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает, не субдискретизирует сигнал, реализация набора фильтров все еще допускает хорошую вычислительную производительность, но не столь хорошая как DWT.
Дискретный вейвлет преобразовывает, обеспечивают совершенную реконструкцию сигнала после инверсии. Это означает, что можно взять дискретное преобразование вейвлета сигнала и затем использовать коэффициенты, чтобы синтезировать точное воспроизведение сигнала к в числовой точности. Можно реализовать обратный CWT, но часто имеет место, что реконструкция не совершенна. Восстановление сигнала от коэффициентов CWT является намного менее стабильной числовой операцией.
Более прекрасная выборка шкал в CWT обычно приводит к анализу сигнала более высокой точности. Можно локализовать переходные процессы в сигнале или охарактеризовать колебательное поведение лучше с CWT, чем с дискретным вейвлетом, преобразовывает.
Поскольку дополнительная информация о вейвлете преобразовывает и приложения, смотрите
На основе предыдущего раздела вот некоторые основные инструкции для выбора, использовать ли дискретный или непрерывный вейвлет, преобразовывают.
Если ваше приложение должно получить самое разреженное представление сигнала для сжатия, шумоподавления или передачи сигнала, используйте DWT с wavedec.
Если ваше приложение требует ортонормированного преобразования, используйте DWT с одним из ортогональных фильтров вейвлета. Ортогональные семейства в Wavelet Toolbox™ назначены как вейвлеты типа 1 в менеджере по вейвлету, wavemngr. Допустимыми встроенными ортогональными семействами вейвлетов является 'haar', 'dbN', 'fkN', 'coifN' или 'symN', где N является номером исчезающих моментов для всех семейств except 'fk'. Для 'fk' N является количеством коэффициентов фильтра. Смотрите waveinfo для большего количества детали.
Если ваше приложение требует, чтобы shift-invariant преобразовал, но вам все еще нужны совершенная реконструкция и некоторая мера вычислительной эффективности, попытка, неподкошенный дискретный вейвлет преобразовывает как modwt или двойное древовидное преобразование как dddtree.
Если вашей первичной целью является подробная частота времени (шкала) анализ или точная локализация переходных процессов сигнала, используйте cwt. Для примера анализа частоты времени с CWT смотрите Анализ Частоты Времени с Непрерывным Преобразованием Вейвлета.
Для шумоподавления сигнал коэффициентами вейвлета пороговой обработки используйте функцию wdenoise или приложение Wavelet Signal Denoiser. wdenoise и Wavelet Signal Denoiser обеспечивают настройки по умолчанию, которые могут быть применены к вашим данным, а также простому интерфейсу ко множеству методов шумоподавления. С приложением можно визуализировать и сигналы denoise и сравнить результаты. Для примеров шумоподавления сигнал см. Denoise Сигнал Используя Default Values и Denoise Сигнал с Wavelet Signal Denoiser. Для изображений шумоподавления используйте wdencmp. Для примера смотрите Сигналы Шумоподавления и Изображения.
Если ваше приложение требует, чтобы у вас было основательное понимание статистических свойств коэффициентов вейвлета, использование, дискретный вейвлет преобразовывает. Существует активная работа в понимании статистических свойств CWT, но в настоящее время существует намного больше дистрибутивных результатов для дискретного вейвлета, преобразовывает. Успех DWT в шумоподавлении происходит в основном из-за нашего понимания его статистических свойств. Для примера оценки и тестирования гипотезы с помощью неподкошенного дискретного вейвлета преобразовывают, смотрите Анализ Вейвлета Финансовых данных.