Загрузите данные.

Загрузите австралийские данные ИПЦ. Возьмите сначала отличия, затем постройте график серии.

load Data_JAustralian
y = DataTable.PAU;
T = length(y);
dY = diff(y);

figure
plot(2:T,dY)
xlim([0,T])
title('Differenced Australian CPI')

Дифференцированный ряд выглядит относительно неподвижным.

Постройте график выборки ACF и PACF.

Постройте график функции автокорреляции образца (ACF) и функции частичной автокорреляции (PACF) для поиска автокорреляции в разностных сериях.

figure
subplot(2,1,1)
autocorr(dY)
subplot(2,1,2)
parcorr(dY)

Образец ACF распадается медленнее, чем образец PACF. Последний отрезается после запаздывания 2. Это, наряду с дифференциацией первой степени, предполагает модель ARIMA (2,1,0 ).

Оценка модели ARIMA (2,1,0

Укажите, а затем оцените модель ARIMA (2,1,0). Выведите остатки для диагностической проверки .

Mdl = arima(2,1,0);
EstMdl = estimate(Mdl,y);

 
    ARIMA(2,1,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value       StandardError    TStatistic      PValue  
                __________    _____________    __________    __________

    Constant      0.010072      0.0032802        3.0707       0.0021356
    AR{1}          0.21206       0.095428        2.2222        0.026271
    AR{2}          0.33728        0.10378        3.2499       0.0011543
    Variance    9.2302e-05     1.1112e-05        8.3066      9.8491e-17

[res,~,logL] = infer(EstMdl,y);

Обратите внимание, что модель соответствует исходной серии, а не разностной серии. Модель для подгонки, Mdl, имеет свойство D равно 1. Это приводит к одной степени дифференциации.

Эта спецификация предполагает распространение гауссовых инноваций. infer возвращает значение целевой функции loglikestive (logL) вместе с остатками (res).

Выполните остаточные диагностические проверки.

Стандартизируйте полученные остатки и проверьте нормальность и любую необъяснимую автокорреляцию.

stdr = res/sqrt(EstMdl.Variance);

figure
subplot(2,2,1)
plot(stdr)
title('Standardized Residuals')
subplot(2,2,2)
histogram(stdr,10)
title('Standardized Residuals')
subplot(2,2,3)
autocorr(stdr)
subplot(2,2,4)
parcorr(stdr)

Остатки кажутся некоррелированными и приблизительно нормально распределенными. Есть некоторые признаки того, что имеется избыток крупных остатков.

Измените распределение инноваций.

Чтобы исследовать возможный избыток куртоза в инновационном процессе, поместите модель ARIMA (2,1,0) с распределением Student's t в оригинальную серию. Возвращает значение целевой функции loglikeliquity, чтобы можно было использовать байесовский информационный критерий (BIC) для сравнения соответствия двух моделей.

MdlT = Mdl;
MdlT.Distribution = 't';
[EstMdlT,~,logLT] = estimate(MdlT,y);

 
    ARIMA(2,1,0) Model (t Distribution):
 
                  Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                _________    _____________    __________    __________

    Constant    0.0099745      0.0016152        6.1753      6.6057e-10
    AR{1}         0.32689       0.075503        4.3294       1.495e-05
    AR{2}         0.18719       0.074691        2.5063        0.012202
    DoF            2.2594        0.95562        2.3643        0.018064
    Variance    0.0002472     0.00074618       0.33129         0.74043

[~,bic] = aicbic([logLT,logL],[5,4],T)

bic = 1×2

 -492.5317 -479.4691

Модели с распределением t-инноваций (MdlT и EstMdlT) имеют один дополнительный параметр (степени свободы распределения t).

Согласно BIC, модель ARIMA (2,1,0) с распределением инноваций Стьюдента является лучшим выбором, поскольку она имеет меньшее (более отрицательное) значение BIC .