normalbvarm

Модель авторегрессии байесовского вектора (VAR) с нормальной сопряженной предшествующей и фиксированной ковариацией для правдоподобия данных

развернуть все на странице

Описание

Объект модели Bayesian VAR normalbvarm задает предварительное распределение массива модельных коэффициентов Λ в модели m-D VAR (p), где новшества ковариационной матрицы Λ известны и фиксированы. Предварительное распределение Λ является нормальной сопряженной предшествующей моделью.

Как правило, при создании байесовского объекта модели VAR задается совместное предварительное распределение и характеристики только модели VARX. То есть объект модели является шаблоном, предназначенным для дальнейшего использования. В частности, для включения данных в модель для последующего анализа распределения передайте объект модели и данные соответствующей функции объекта.

Создание

Синтаксис

PriorMdl = normalbvarm (numseries, numlags)

PriorMdl = normalbvarm (numseries, numlags, Имя, Стоимость)

Описание

Создание normalbvarm объект, используйте либо normalbvarm функция (описана здесь) или bayesvarm функция. Синтаксы для каждой функции схожи, но опции различаются. bayesvarm позволяет легко установить предыдущие значения гиперпараметров для Миннесоты до [1] регуляризации, тогда какnormalbvarm требует полной спецификации предыдущих гиперпараметров распределения.

пример

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags) создает numseries-D Байесовский VAR (numlags) объект модели PriorMdl, которая определяет размерности и предыдущие допущения для всех коэффициентов λ $= vec (Λ) = {\begin{matrix} _{} & {vec}_{} & ( & [_{} \end{matrix}}^{}$ Φ1Φ2⋯ΦpcδΒ] ′) модели, где:

numseries = m, число переменных временного ряда ответа.
numlags = p, порядок многочленов AR.
Предварительное распределение λ является нормальной сопряженной предшествующей моделью.
Фиксированная новшества ковариантность Λ является матрицей тождества m-by-m.

пример

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,Name,Value) задает свойства, доступные для записи (кроме NumSeries и P) с использованием аргументов пары имя-значение. Заключите каждое имя свойства в кавычки. Например, normalbvarm(3,2,'Sigma',4*eye(3),'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]) задает имена трех переменных ответа в байесовской модели VAR (2) и фиксирует ковариационную матрицу инноваций в4*eye(3).

Входные аргументы

развернуть все

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

Число временных рядов m, указанное как положительное целое число. numseries определяет размерность переменной многомерного ответа _yt и innovation _αt.

numseries устанавливает NumSeries собственность.

Типы данных: double

`numlags` - Количество отложенных ответов
неотрицательное целое число

Количество запаздывающих ответов в каждом уравнении yt, указанное как неотрицательное целое число. Полученная модель является VAR (numlags) модель; каждое отставание имеет numseriesоколо-numseries матрица коэффициентов.

numlags устанавливает P собственность.

Типы данных: double

Свойства

развернуть все

Значения свойств, доступные для записи, можно задать при создании объекта модели с помощью синтаксиса аргумента пара имя-значение или после создания объекта модели с помощью точечной нотации. Например, чтобы создать 3D модель Bayesian VAR (1) и маркировать первое через третьи переменные ответа и затем включать линейный термин тенденции времени, войдите:

PriorMdl = normalbvarm(3,1,'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]);
PriorMdl.IncludeTrend = true;

Характеристики модели и размерность

`Description` - Описание модели
строковый скалярный | символьный вектор

Описание модели, указанное как строковый скалярный или символьный вектор. Значение по умолчанию описывает размерность модели, например '2-Dimensional VAR(3) Model'.

Пример: "Model 1"

Типы данных: string | char

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Число временных рядов m, указанное как положительное целое число. NumSeries определяет размерность переменной многомерного ответа _yt и innovation αt_.

Типы данных: double

`P` - Многомерный авторегрессивный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Многомерный авторегрессивный полиномиальный порядок, заданный как неотрицательное целое число. P - максимальное отставание, имеющее ненулевую матрицу коэффициентов.

P указывает количество предварительных наблюдений, необходимых для инициализации модели.

Типы данных: double

`SeriesNames` - Имена серий ответов
строковый вектор | массив ячеек символьных векторов

Имена серий ответов, указанные как NumSeries вектор строки длины. Значение по умолчанию: ['Y1' 'Y2' ... 'YNumSeries']. normalbvarm магазины SeriesNames в виде строкового вектора.

Пример: ["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]

Типы данных: string

`IncludeConstant` - Флаг для включения константы модели c
`true` (по умолчанию) | `false`

Флаг для включения константы модели c, указанной как значение в этой таблице.

Стоимость	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают константу модели.
`true`	Все уравнения отклика содержат константу модели.

Типы данных: logical

`IncludeTrend` - Флаг для включения термина линейного временного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

Флаг для включения члена линейного временного тренда δt, указанного в качестве значения в этой таблице.

Стоимость	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают член линейного временного тренда.
`true`	Все уравнения отклика содержат член линейного временного тренда.

Типы данных: logical

`NumPredictors` - Количество экзогенных переменных предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Число экзогенных переменных предиктора в компоненте регрессии модели, указанное как неотрицательное целое число. normalbvarm включает все переменные предиктора симметрично в каждое уравнение ответа.

Гиперпараметры распределения

`Mu` - Среднее значение многомерной нормы до λ
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

Среднее значения многомерного нормального значения до λ, указанного как NumSeries*k-по-1 числовой вектор, где k = NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Mu(1:k) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(1), Mu((k + 1):(2*k)) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(2)и так далее. Для набора индексов, соответствующих уравнению:

Элементы 1 через NumSeries соответствуют коэффициентам AR с запаздыванием 1 для переменных ответа, упорядоченных по SeriesNames.
Элементы NumSeries + 1 через 2*NumSeries соответствуют коэффициентам AR с запаздыванием 2 для переменных ответа, упорядоченных по SeriesNames.
В общем, элементы (q – 1)*NumSeries + 1 через q*NumSeries соответствует запаздыванию q Коэффициенты AR переменных ответа упорядочены по SeriesNames.
Если IncludeConstant является true, элемент NumSeries*P + 1 - константа модели.
Если IncludeTrend является true, элемент NumSeries*P + 2 - коэффициент линейного временного тренда.
Если NumPredictors > 0, элементы NumSeries*P + 3 через k составляют вектор коэффициентов регрессии экзогенных переменных.

На этом рисунке показана структура транспонирования Mu для модели 2-D VAR (3), которая содержит постоянный вектор и четыре экзогенных предиктора:

$[\overset{_{ϕ1,11ϕ1,12ϕ2,11ϕ2,12ϕ3,11ϕ3,12c1β11β12β13β14︷y1,t}}{\overset{}{\begin{matrix} _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} \end{matrix}}} \overset{_{ϕ1,21ϕ1,22ϕ2,21ϕ2,22ϕ3,21ϕ3,22c2β21β22β23β24︷y2,t}}{\overset{}{\begin{matrix} _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} & _{} \end{matrix}}}],$

где

β q_{, jk} - элемент (j, k) матрицы коэффициентов lag q AR.
cj - константа модели в уравнении переменной отклика j.
Bju - коэффициент регрессии экзогенной переменной u в уравнении переменной ответа j.

Совет

bayesvarm позволяет указать Mu легко с использованием метода регуляризации Миннесоты. Определить Mu непосредственно:

Установите отдельные переменные для предыдущего среднего значения каждой матрицы коэффициентов и вектора.
Горизонтально соединить все коэффициенты означает в следующем порядке:

$\begin{matrix} _{} & _{} & _{} & Coeff=[Φ1Φ2⋯ΦpcδΒ \end{matrix}].$
Векторизируйте транспонирование матрицы среднего коэффициента.
```
Mu = Coeff.';
Mu = Mu(:);
```

Типы данных: double

`V` - Условная ковариационная матрица многомерной нормы до λ
`eye(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors))` (по умолчанию) | симметричная, положительная определенная числовая матрица

Условная ковариационная матрица многомерного нормаля, предшествующая λ, заданная как NumSeries*kоколо-NumSeries*k симметричная, положительная определенная матрица, где k = NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Индексы строк и столбцов соответствуют коэффициентам модели так же, как Mu. Например, рассмотрим модель 3-D VAR (2), содержащую константу и четыре экзогенные переменные.

V(1,1) является Var (_{δ 1,11}).
V(5,6) является Cov (_{δ 2,12}, _{δ 2,13}).
V(8,9) является Cov (_β11, _β12).

Совет

bayesvarm позволяет создать любую предшествующую модель Bayesian VAR и указать V легко с использованием метода регуляризации Миннесоты.

Типы данных: double

`Sigma` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
`eye(NumSeries)` (по умолчанию) | положительная определенная числовая матрица

Фиксированная инновационная ковариационная матрица NumSeries нововведения в каждый момент времени t = 1,...,T, указанные как NumSeriesоколо-NumSeries положительная определенная числовая матрица. Строки и столбцы соответствуют нововведениям в уравнениях переменных ответа, упорядоченных по SeriesNames.

Sigma устанавливает Covariance собственность.

Типы данных: double

Параметры модели VAR, полученные из гиперпараметров распределения

`AR` - Среднее распределение матриц авторегрессивных коэффициентов _Φ1,...,Φp
вектор ячейки числовых матриц

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение матриц авторегрессионных коэффициентов _Φ1,...,Φp связанных с запаздывающими откликами, указанное как P-D клеточный вектор NumSeriesоколо-NumSeries числовые матрицы.

AR{j} является Start_j, матрица коэффициентов запаздывания j . Строки соответствуют уравнениям, а столбцы - переменным с запаздыванием ответа; SeriesNames определяет порядок переменных ответа и уравнений. Знаки коэффициентов - это знаки модели VAR, выраженные в нотации «разность-уравнение».

Если P = 0, AR является пустой ячейкой. В противном случае AR - совокупность значений коэффициента AR, извлеченных из Mu.

Типы данных: cell

`Constant` - Среднее распределение константы модели c
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее значение распределения константы модели c (или перехвата), указанное как NumSeries-по-1 числовой вектор. Constant(j) - константа в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeConstant = false, Constant является пустым массивом. В противном случае Constant - среднее значение постоянного вектора модели, извлеченное из Mu.

Типы данных: double

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение линейного временного тренда δ, указанного как NumSeries-по-1 числовой вектор. Trend(j) - линейный временной тренд в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeTrend = false (по умолчанию), Trend является пустым массивом. В противном случае Trend - среднее значение коэффициента тренда линейного времени, извлеченное из Mu.

Типы данных: double

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициентов регрессии Β
числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение матрицы коэффициентов регрессии B, связанной с переменными экзогенного предиктора, указанное как NumSeriesоколо-NumPredictors числовая матрица.

Beta(j,:) содержит коэффициенты регрессии каждого предиктора в уравнении переменной отклика j y_j, т .Beta(:,k) содержит коэффициент регрессии в каждом уравнении предсказателя _xk. По умолчанию все переменные предиктора находятся в регрессионной составляющей всех уравнений ответа. Можно уменьшить вес предиктора из уравнения, указав для соответствующего коэффициента предыдущее среднее значение 0 в Mu и небольшая разница в V.

При создании модели переменные предиктора являются гипотетическими. Данные предиктора задаются при работе с моделью (например, при оценке задних значений с помощью estimate). Столбцы данных предиктора определяют порядок столбцов Beta.

Типы данных: double

`Covariance` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Фиксированная инновационная ковариационная матрица NumSeries нововведения в каждый момент времени t = 1,...,T, указанные как NumSeriesоколо-NumSeries симметричная, положительная определенная числовая матрица. Строки и столбцы соответствуют нововведениям в уравнениях переменных ответа, упорядоченных по SeriesNames.

Sigma наборы свойств Covariance.

Типы данных: double

Функции объекта

`estimate`	Оценить апостериорное распределение параметров модели авторегрессии байесовского вектора (VAR)
`forecast`	Прогнозные ответы из модели авторегрессии байесовского вектора (VAR)
`simsmooth`	Моделирование более плавной модели авторегрессии байесовского вектора (VAR)
`simulate`	Моделирование коэффициентов и инноваций ковариационной матрицы байесовской векторной авторегрессионной (VAR) модели
`summarize`	Сводная статистика распределения байесовской векторной модели авторегрессии (VAR)

Примеры

свернуть все

Создание нормальной сопряженной предыдущей модели

Открыть сценарий в реальном времени

Рассмотрим модель 3-D VAR (4) для инфляции в США (INFL), безработица (UNRATE) и федеральные средства (FEDFUNDS) ставки.

$[\begin{array}{llllllllllllllllllll} _{} \\ _{} \\ _{} \end{array}_{}^{}_{} \begin{array}{llllllllllllllllllll} _{} \\ _{} \\ _{} \end{array} \begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{} \\ _{} \\ _{INFLtUNRATEtFEDFUNDSt]=c+∑j=14Φj[INFLt-jUNRATEt-jFEDFUNDSt-j]+[ε1,tε2,tε3,t} \end{array}].$

Для всех $t$ $_{δ t}$ - это ряд независимых 3-D нормальных нововведений со средним значением 0 и фиксированной ковариацией $Λ$ = $I$ , 3-D единичной матрицей. Предположим, что предшествующее распределение $vec {([_{} Object1, . . .,_{} Φ4,}^{} c]_{′)} \simΝ39$ (λ, V), где λ - вектор средства 39 на 1, а V - ковариационная матрица 39 на 39.

Создайте нормальную сопряженную предыдущую модель для параметров модели 3-D VAR (4).

numseries = 3;
numlags = 4;
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

PriorMdl является normalbvarm Объект байесовской модели VAR, представляющий предыдущее распределение коэффициентов модели 3-D VAR (4). В командной строке отображаются свойства модели. Свойства можно отобразить с помощью точечной нотации.

Отображение предыдущих средних матриц четырех коэффициентов AR путем установки переменной для каждой матрицы в ячейке.

AR1 = PriorMdl.AR{1}

AR1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR2 = PriorMdl.AR{2}

AR2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR3 = PriorMdl.AR{3}

AR3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR4 = PriorMdl.AR{4}

AR4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

normalbvarm центрирует все коэффициенты AR при 0 по умолчанию. AR свойство доступно только для чтения, но является производным от записываемого свойства Mu.

Отобразите фиксированную новшества ковариантность $Λ$ .

PriorMdl.Covariance

ans = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Covariance является свойством, доступным только для чтения. Для установки значения $Λ$ используйте 'Sigma' аргумент пары имя-значение или укажите Sigma с помощью точечной нотации. Например:

PriorMdl.Sigma = 4*eye(PriorMdl.NumSeries);

Определение ковариационной матрицы инноваций

Открыть сценарий в реальном времени

Рассмотрим модель 3-D VAR (4) для создания нормальной сопряженной предыдущей модели.

Предположим, эконометрическая теория диктует, что

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ^{} & ^{} \\ ^{} \end{array} Σ=[10-5010-400.1-0.210-4-0.21.6].$

Создайте нормальную сопряженную предыдущую модель для коэффициентов модели VAR. Задайте значение, равное

numseries = 3;
numlags = 4;
Sigma = [10e-5 0 10e-4; 0 0.1 -0.2; 10e-4 -0.2 1.6]; 

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'Sigma',Sigma)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Потому что $Λ$ фиксирован для normalbvarm предыдущие модели, PriorMdl.Sigma и PriorMdl.Covariance равны.

PriorMdl.Sigma

ans = 3×3

    0.0001         0    0.0010
         0    0.1000   -0.2000
    0.0010   -0.2000    1.6000

PriorMdl.Covariance

ans = 3×3

    0.0001         0    0.0010
         0    0.1000   -0.2000
    0.0010   -0.2000    1.6000

Создание байесовской модели AR (2) с нормальным коэффициентом сопряжения

Открыть сценарий в реальном времени

Рассмотрите 1-D модель Bayesian AR (2) для ежедневной прибыли NASDAQ с 2 января 1990 до 31 декабря 2001 .

$_{yt} = c_{} +_{}_{} {δ 1yt-1}_{+}_{}$ δ 2yt-1 + αt.

Коэффициент, который предшествующее распределение $\begin{array}{cccccccccccccccccccc} _{} & _{} \end{array} {[ϕ1ϕ2c]}^{'} |^{}_{σ2∼N3} (μ, V$ ), где μ - вектор содействующих средств 3 на 1 и V, является ковариационной матрицей 3 на 3. Предположим, что Var $(_{}$ αt) равно 2.

Создайте нормальную сопряженную предыдущую модель для параметров модели AR (2).

numseries = 1;
numlags = 2;
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'Sigma',2)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "1-Dimensional VAR(2) Model"
          NumSeries: 1
                  P: 2
        SeriesNames: "Y1"
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [3x1 double]
                  V: [3x3 double]
              Sigma: 2
                 AR: {[0]  [0]}
           Constant: 0
              Trend: [1x0 double]
               Beta: [1x0 double]
         Covariance: 2

Укажите высокую герметичность для лагов и имен ответов

Открыть сценарий в реальном времени

В модели 3-D VAR (4) «Создать нормальную сопряженную предыдущую модель» рассмотрите возможность исключения из модели сегментов 2 и 3.

Нельзя исключить матрицы коэффициентов из моделей, но для коэффициентов, которые необходимо исключить, можно задать высокую предварительную герметичность на нуле.

Создайте нормальную сопряженную предыдущую модель для параметров модели 3-D VAR (4). Укажите имена переменных ответа.

По умолчанию предшествующие значения коэффициента AR равны нулю. Задайте высокие значения плотности для лагов 2 и 3, установив их предыдущие отклонения как 1e-6. Оставьте значения всех остальных коэффициентов герметичности по умолчанию:

1 для отклонений коэффициентов ПР
1e3 для постоянных векторных отклонений
0 для всех ковариаций коэффициентов

numseries = 3;
numlags = 4;
seriesnames = ["INFL"; "UNRATE"; "FEDFUNDS"];
vPhi1 = ones(numseries,numseries);
vPhi2 = 1e-6*ones(numseries,numseries);
vPhi3 = 1e-6*ones(numseries,numseries);
vPhi4 = ones(numseries,numseries);
vc = 1e3*ones(3,1);
Vmat = [vPhi1 vPhi2 vPhi3 vPhi4 vc]';
V = diag(Vmat(:));
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames,...
    'V',V)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["INFL"    "UNRATE"    "FEDFUNDS"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Установить предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Открыть сценарий в реальном времени

normalbvarm опции позволяют задавать значения гиперпараметров коэффициента непосредственно, но bayesvarm варианты хорошо подходят для настройки гиперпараметров по методу регуляризации Миннесоты.

Рассмотрим модель 3-D VAR (4) для создания нормальной сопряженной предыдущей модели. Модель содержит 39 коэффициентов. Для коэффициента разреженности создайте нормальную сопряженную байесовскую модель VAR с помощью bayesvarm. Укажите следующее, априори:

Каждый ответ представляет собой модель AR (1) в среднем с коэффициентом запаздывания 1 0,75.
Предшествующие коэффициенты самозапаздывания имеют дисперсию 100. Эта большая настройка дисперсии позволяет данным влиять на заднюю сторону больше, чем предыдущая.
Предшествующие коэффициенты перекрестного запаздывания имеют дисперсию 1. Эта небольшая настройка дисперсии ужесточает коэффициенты перекрестного запаздывания до нуля во время оценки.
Предшествующие ковариации коэффициентов распадаются с возрастающим запаздыванием со скоростью 2 (то есть более низкие запаздывания важнее более высоких запаздываний).
Новшества ковариантны $Λ$ = $I$ .

numseries = 3;
numlags = 4;
seriesnames = ["INFL"; "UNRATE"; "FEDFUNDS"];
Sigma = eye(numseries);
PriorMdl = bayesvarm(numseries,numlags,'ModelType','normal','Sigma',Sigma,...
    'Center',0.75,'SelfLag',100,'CrossLag',1,'Decay',2,'SeriesNames',seriesnames)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["INFL"    "UNRATE"    "FEDFUNDS"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Отобразить все предыдущие значения коэффициентов.

Phi1 = PriorMdl.AR{1}

Phi1 = 3×3

    0.7500         0         0
         0    0.7500         0
         0         0    0.7500

Phi2 = PriorMdl.AR{2}

Phi2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi3 = PriorMdl.AR{3}

Phi3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi4 = PriorMdl.AR{4}

Phi4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Отображение тепловой карты ковариаций предшествующих коэффициентов для каждого уравнения отклика.

numexocoeffseqn = PriorMdl.IncludeConstant + ...
    PriorMdl.IncludeTrend + PriorMdl.NumPredictors;             % Number of exogenous coefficients per equation
numcoeffseqn = PriorMdl.NumSeries*PriorMdl.P + numexocoeffseqn; % Total number of coefficients per equation
arcoeffnames = strings(numseries,numlags,numseries);
for j = 1:numseries         % Equations
    for r = 1:numlags
        for k = 1:numseries % Response Variables
            arcoeffnames(k,r,j) = "\phi_{"+r+","+j+k+"}";
        end
    end
    arcoeffseqn = arcoeffnames(:,:,j);
    idx = ((j-1)*numcoeffseqn + 1):(numcoeffseqn*j) - numexocoeffseqn;
    Veqn = PriorMdl.V(idx,idx);
    figure
    heatmap(arcoeffseqn(:),arcoeffseqn(:),Veqn);
    title(sprintf('Equation of %s',seriesnames(j)))
end

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of INFL.

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of UNRATE.

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of FEDFUNDS.

Работа с предыдущими и задними распределениями

Открыть сценарий в реальном времени

Рассмотрим модель 3-D VAR (4) для создания нормальной сопряженной предыдущей модели. Оцените апостериорное распределение и создайте прогнозы из соответствующего апостериорного прогностического распределения.

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузить набор макроэкономических данных США. Вычислите уровень инфляции. Постройте график всех серий ответов.

load Data_USEconModel
seriesnames = ["INFL" "UNRATE" "FEDFUNDS"];
DataTable.INFL = 100*[NaN; price2ret(DataTable.CPIAUCSL)];

figure 
plot(DataTable.Time,DataTable{:,seriesnames})
legend(seriesnames)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent INFL, UNRATE, FEDFUNDS.

Стабилизировать ставки по безработице и федеральным фондам, применяя первую разницу к каждой серии.

DataTable.DUNRATE = [NaN; diff(DataTable.UNRATE)];
DataTable.DFEDFUNDS = [NaN; diff(DataTable.FEDFUNDS)];
seriesnames(2:3) = "D" + seriesnames(2:3);

Удалите все отсутствующие значения из данных.

rmDataTable = rmmissing(DataTable);

Создать предыдущую модель

Создайте нормальную сопряженную байесовскую модель VAR (4) для трех рядов ответов. Укажите имена переменных ответа. Предположим, что инновационная ковариация является единичной матрицей.

numseries = numel(seriesnames);
numlags = 4;

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames);

Оценка заднего распределения

Оцените апостериорное распределение, передав предыдущую модель и весь ряд данных в estimate.

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,rmDataTable{:,seriesnames},'Display','equation');

Bayesian VAR under normal priors and fixed Sigma
Effective Sample Size:          197
Number of equations:            3
Number of estimated Parameters: 39
                                                                                 VAR Equations                                                                                
           | INFL(-1)  DUNRATE(-1)  DFEDFUNDS(-1)  INFL(-2)  DUNRATE(-2)  DFEDFUNDS(-2)  INFL(-3)  DUNRATE(-3)  DFEDFUNDS(-3)  INFL(-4)  DUNRATE(-4)  DFEDFUNDS(-4)  Constant 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 INFL      |  0.1260     -0.4400        0.1049      0.3176     -0.0545        0.0440      0.4173      0.2421        0.0515      0.0247     -0.1639        0.0080      0.1064  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 DUNRATE   | -0.0236      0.4440        0.0350      0.0900      0.2295        0.0520     -0.0330      0.0567        0.0010      0.0298     -0.1665        0.0104     -0.0536  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 DFEDFUNDS | -0.1514     -1.3408       -0.2762      0.3275     -0.2971       -0.3041      0.2609     -0.6971        0.0130     -0.0692      0.1392       -0.1341     -0.3902  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 
     Innovations Covariance Matrix    
           | INFL  DUNRATE  DFEDFUNDS 
--------------------------------------
 INFL      |  1      0         0      
           |  (0)    (0)       (0)    
 DUNRATE   |  0      1         0      
           |  (0)    (0)       (0)    
 DFEDFUNDS |  0      0         1      
           |  (0)    (0)       (0)

Поскольку предшествующий является сопряженным для вероятности данных, задний является аналитически отслеживаемым. По умолчанию estimate использует первые четыре наблюдения в качестве предварительного примера для инициализации модели.

Генерировать прогнозы из апостериорного прогностического распределения

Из заднего прогностического распределения генерируйте прогнозы на двухлетнем горизонте. Поскольку выборка из заднего прогностического распределения требует всего набора данных, укажите предыдущую модель в forecast вместо задней.

fh = 8;
rng(1); % For reproducibility
FY = forecast(PriorMdl,fh,rmDataTable{:,seriesnames});

FY является матрицей прогнозов 8 на 3.

Постройте график конца набора данных и прогнозов.

fp = rmDataTable.Time(end) + calquarters(1:fh);
figure
plotdata = [rmDataTable{end - 10:end,seriesnames}; FY];
plot([rmDataTable.Time(end - 10:end); fp'],plotdata)
hold on
plot([fp(1) fp(1)],ylim,'k-.')
legend(seriesnames)
title('Data and Forecasts')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Data and Forecasts contains 4 objects of type line. These objects represent INFL, DUNRATE, DFEDFUNDS.

Вычислить импульсные отклики

Постройте график функций импульсной реакции, передав апостериорные оценки armairf.

armairf(PosteriorMdl.AR,[],'InnovCov',PosteriorMdl.Covariance)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 2 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 3 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Подробнее

развернуть все

Модель авторегрессии байесовского вектора (VAR)

Байесовская модель VAR рассматривает все коэффициенты и инновационную ковариационную матрицу как случайные величины в m-мерной стационарной модели VARX (p). Модель имеет одну из трех форм, описанных в этой таблице.

Модель	Уравнение
VAR (p) редуцированной формы в нотации разностного уравнения	$_{yt} =_{}_{Φ1yt} − 1 +_{.} ._{. +} Фpyt -_{p} +_{} c$ + δt + Βxt + αt.
Многомерная регрессия	$_{yt} =_{} {Ztλ}_{} +$ αt.
Регрессия матрицы	$_{}^{}_{}^{}_{yt=Λ′zt′+εt} .$

Для каждого времени t = 1,...,T:

_yt - m-мерный наблюдаемый вектор отклика, где m = numseries.
_Φ1,...,Φp - матрицы коэффициентов m-by-m AR лагов 1-p, где p =numlags.
c - вектор m-by-1 констант модели, если IncludeConstant является true.
δ - вектор m-на-1 коэффициентов линейного тренда времени, если IncludeTrend является true.
Β - матрица коэффициентов регрессии вектора r-by-1 наблюдаемых экзогенных предикторов xt, где r = NumPredictors. Все переменные предиктора появляются в каждом уравнении.
$_{} \begin{matrix} _{}^{} & _{}^{} & _{}^{} & _{zt=[yt−1′yt−2′⋯yt−p′1txt}^{} \end{matrix}']$ , который является вектором 1-by- (mp + r + 2), а Zt является диагональной матрицей m-by-m (mp + r + 2)

$\begin{matrix} _{} & _{} & _{} \\ _{} & _{} & _{} \\ _{} & _{} & _{} & _{} \end{matrix} [zt0z0z0zzt0z 0z0z0zzt],$
где _0z - 1-по- (мп + r + 2) вектор нулей.
${\begin{matrix} _{} & _{} & _{} & Λ=[Φ1Φ2⋯ΦpcδΒ \end{matrix}]}^{}$ ′, которая является случайной матрицей коэффициентов (mp + r + 2) -by-m, а m (mp + r + 2) -by-1 вектором λ = vec (Λ).
_{δ t} - вектор m-на-1 случайных, последовательно некоррелированных, многомерных нормальных нововведений с нулевым вектором для среднего и матрицей m-на-м для ковариации. Это предположение подразумевает, что вероятность данных

$ℓ (Λ,Σ'y, x)_{=}^{} {∏t=1Tf}_{} (yt; Λ_{,Σ},$ zt),
где f - m-мерная многомерная нормальная плотность со средним значением ztΛ и ковариацией

Прежде, чем рассмотреть данные, Вы налагаете совместное предшествующее предположение распределения на (Λ,Σ), которым управляет распределение π (Λ,Σ). В байесовском анализе распределение параметров обновляется информацией о параметрах, полученных из правдоподобия данных. В результате получается совместное заднее распределение λ (Λ, Λ 'Y, X, _Y0), где:

Y представляет собой матрицу T-на-m, содержащую весь ответный ряд {yt}, t = 1,...,T.
X представляет собой матрицу T-на-m, содержащую весь экзогенный ряд {xt}, t = 1,...,T.
Y0 является p-by-m матрицей предварительных данных, используемых для инициализации модели VAR для оценки.

Нормальная сопряженная предыдущая модель

Нормальная сопряженная предшествующая модель, обрисованная в общих чертах в [1], является m-D моделью Bayesian VAR, в которой инновационная ковариационная матрица Σ известна и фиксируется, в то время как у содействующего вектора λ = vec (Λ) есть предшествующее распределение

$λ ~_{Nm (mp_{+} r_{} +} 1c +$ 1δ) (λ, V),

где:

r = NumPredictors.
_1с равно 1, если IncludeConstant true и 0 в противном случае.
_1δ равно 1, если IncludeTrend true и 0 в противном случае.

Заднее распределение правильное и аналитически прослеживаемое.

$_{λ 'yt},_{} xt_{~ Nm (mp)_{} +_{r}} \overset{}{+} \overset{}{1c} +$ 1δ (δ, V),

где:

$\overset{}{λ} пр {=^{(}_{}^{}_{}^{}^{}_{}}^{V−1+∑t=1TZt′Σ−1Zt})^{-} 1 (_{}^{}_{}^{}^{}_{}$ V−1μ+∑t=1TZt′Σ−1yt).
$\overset{}{V} пр {=^{(}_{}^{}_{}^{}^{}_{}}^{V−1+∑t=1TZt′Σ−1Zt})$ − 1.

Ссылки

[1] Литтерман, Роберт Б. «Прогнозирование с помощью байесовских векторных авторегрессий: пятилетний опыт». Журнал деловой и экономической статистики 4, № 1 (январь 1986 года): 25-38. https://doi.org/10.2307/1391384.

Документация

normalbvarm

Описание

Создание

Синтаксис

Описание

Входные аргументы

numseries - Количество временных рядов m 1 (по умолчанию) | положительное целое число

numlags - Количество отложенных ответов неотрицательное целое число

Свойства

Характеристики модели и размерность

Description - Описание модели строковый скалярный | символьный вектор

NumSeries - Количество временных рядов m положительное целое число

P - Многомерный авторегрессивный полиномиальный порядок неотрицательное целое число

SeriesNames - Имена серий ответов строковый вектор | массив ячеек символьных векторов

IncludeConstant - Флаг для включения константы модели c true (по умолчанию) | false

IncludeTrend - Флаг для включения термина линейного временного тренда δt false (по умолчанию) | true

NumPredictors - Количество экзогенных переменных предиктора в компоненте регрессии модели 0 (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Гиперпараметры распределения

Mu - Среднее значение многомерной нормы до λ zeros(NumSeries*(NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1) (по умолчанию) | числовой вектор

Sigma - Фиксированная инновационная ковариационная матрица eye(NumSeries) (по умолчанию) | положительная определенная числовая матрица

Параметры модели VAR, полученные из гиперпараметров распределения

AR - Среднее распределение матриц авторегрессивных коэффициентов Φ1,...,Φp вектор ячейки числовых матриц

Constant - Среднее распределение константы модели c числовой вектор

Trend - Среднее распределение линейного временного тренда δ числовой вектор

Beta - Среднее распределение матрицы коэффициентов регрессии Β числовая матрица

Covariance - Фиксированная инновационная ковариационная матрица положительная определенная числовая матрица

Функции объекта

Примеры

Создание нормальной сопряженной предыдущей модели

Определение ковариационной матрицы инноваций

Создание байесовской модели AR (2) с нормальным коэффициентом сопряжения

Укажите высокую герметичность для лагов и имен ответов

Установить предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Работа с предыдущими и задними распределениями

Подробнее

Модель авторегрессии байесовского вектора (VAR)

Нормальная сопряженная предыдущая модель

Ссылки

См. также

Функции

Объекты

Документация по инструментарию Econometrics

Поддержка

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

`numlags` - Количество отложенных ответов
неотрицательное целое число

`Description` - Описание модели
строковый скалярный | символьный вектор

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

`P` - Многомерный авторегрессивный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

`SeriesNames` - Имена серий ответов
строковый вектор | массив ячеек символьных векторов

`IncludeConstant` - Флаг для включения константы модели c
`true` (по умолчанию) | `false`

`IncludeTrend` - Флаг для включения термина линейного временного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

`NumPredictors` - Количество экзогенных переменных предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

`Mu` - Среднее значение многомерной нормы до λ
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

`Sigma` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
`eye(NumSeries)` (по умолчанию) | положительная определенная числовая матрица

`AR` - Среднее распределение матриц авторегрессивных коэффициентов _Φ1,...,Φp
вектор ячейки числовых матриц

`Constant` - Среднее распределение константы модели c
числовой вектор

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициентов регрессии Β
числовая матрица

`Covariance` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица