Модели условных отклонений

Общее определение модели условного отклонения

Рассмотрим временные ряды

$_{yt} = λ_{} +$ αt,

где $_{αt} =_{}_{}$ starttzt. Здесь zt представляет собой независимый и одинаково распределенный ряд стандартизированных случайных величин. Econometrics Toolbox™ поддерживает стандартизированное гауссово и стандартизированное инновационное распределение Student's. Константный член $,$ λ, является средним смещением.

Модель условной дисперсии определяет динамическую эволюцию дисперсии инноваций.

$_{}^{startt2} = {Var}_{} (_{} αt 'Ht$ − 1),

где Ht-1 - история процесса. История включает в себя:

Прошлая дисперсия, $_{}^{start12},_{}^{} start22, . ._{.,}^{}$ startt − 12
Прошлые нововведения, $_{α1},_{} α2, . ._{.,}$ αt − 1

Модели условной дисперсии подходят для временных рядов, которые не демонстрируют значительной автокорреляции, но являются серийно зависимыми. Инновационный ряд $_{αt} =_{}_{}$ starttzt некоррелирован, поскольку:

E (_αt) = 0.
E (_{δ t-h}) = 0 для всех t и $h≠0$ .

Тем не менее, если $_{}^{startt2}$ зависит, $_{}^{}$ например, от startt − 12, то αt зависит от _αt-1, даже несмотря на то, что они некоррелированы. Этот вид зависимости проявляет себя как автокорреляция в квадрате инновационного ряда δ $_{}^{}$ t2.

Совет

Для моделирования временных рядов, которые являются автокоррелированными и последовательными, можно рассмотреть возможность использования составного условного среднего и модели дисперсии.

К двум характеристикам финансовых временных рядов, к которым относятся модели условных отклонений, относятся:

Кластеризация волатильности. Волатильность - это условное стандартное отклонение временного ряда. Автокорреляция в процессе условной дисперсии приводит к кластеризации волатильности. Модель GARCH и ее варианты моделируют авторегрессию в серии дисперсии.
Использование эффектов. Волатильность некоторых временных рядов больше реагирует на большие сокращения, чем на большие увеличения. Это асимметричное поведение кластеризации известно как эффект левериджа. Модели EGARCH и GJR имеют термины рычагов для моделирования этой асимметрии.

Модель GARCH

Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастическая модель (GARCH) является расширением модели ARCH Энгла для дисперсионной гетероскедастичности [1]. Если серия демонстрирует кластеризацию волатильности, это говорит о том, что прошлые отклонения могут быть предикторами текущей дисперсии.

Модель GARCH (P, Q) является авторегрессионной моделью скользящего среднего для условных дисперсий с коэффициентами P GARCH, связанными с запаздывающими дисперсиями, и коэффициентами Q ARCH, связанными с запаздывающими квадратичными нововведениями. Форма модели GARCH (P, Q) в Econometrics Toolbox

$_{yt} = λ_{} +$ αt,

$_{whelαt} =_{}_{}$ starttzt и

$_{}^{startt2} = {start+}_{}_{}^{} γ 1startt -_{} 12_{+ .}^{.} ._{+}_{}^{γ Pstartt} -_{P2}_{+}^{}$ α1αt − 12 +... + αQαt − Q2.

Примечание

Constant свойство garch модель соответствует, и Offset свойство соответствует

Для стационарности и позитивности модель GARCH имеет следующие ограничения:

$κ>0$
$_{} γi≥0,_{αj≥0}$
$_{}^{}_{}_{}^{}_{} ∑i=1Pγi+∑j=1Qαj<1$

Чтобы указать исходную модель ARCH (Q) Энгла, используйте эквивалентную спецификацию GARCH (0,Q).

Модель EGARCH

Экспоненциальная модель GARCH (EGARCH) - это вариант GARCH, моделирующий логарифм процесса условной дисперсии. В дополнение к моделированию логарифма модель EGARCH имеет дополнительные условия рычагов для захвата асимметрии в кластеризации волатильности.

Модель EGARCH (P, Q) имеет коэффициенты P GARCH, связанные с запаздывающими членами логарифмической дисперсии, коэффициенты Q ARCH, связанные с величиной запаздывающих стандартизированных инноваций, и коэффициенты Q рычагов, связанные со подписанными, запаздывающими стандартизированными инновациями. Форма модели EGARCH (P, Q) в Econometrics Toolbox

$_{yt} = λ_{} +$ αt,

, где $_{αt} =_{}_{}$ starttzt и

$_{}^{}_{}^{}_{}_{}^{}_{}^{}_{} \frac{_{}}{_{}} \frac{_{}}{_{logσt2=κ+∑i=1Pγilogσt−i2+∑j=1Qαj[|εt−j'σt−j−E{|εt−j'σt−j}}}]_{}^{}_{} +\sumj=1Qξj \frac{_{(αt}}{_{-}} jstartt$ − j).

Примечание

Constant свойство egarch модель соответствует, и Offset свойство соответствует

Форма членов ожидаемого значения, связанных с коэффициентами ARCH в уравнении EGARCH, зависит от распределения _zt:

Если инновационное распределение является гауссовым, то

$E \frac{{|_{αt}}{-_{}} j 't - j_{} =} E \sqrt{\frac{{}{|}}$ zt − j |} = 2δ.
Если инновационное распределение - это распределение Стьюдента с («Student's t») с («») > 2 степенями свободы, то

$E {\frac{|_{εt−j}}{_{'σt−j}}} =E {_{|zt−j} |} = \sqrt{\frac{}{}} \frac{ν−2πΓ \frac{}{}}{(ν−12) \frac{Γ}{}}$ (ν2).

Инструментарий рассматривает модель EGARCH (P, Q) как модель ARMA $_{}^{}$ forlogstartt2. Таким образом, для обеспечения стационарности все корни $многочлена$ коэффициента GARCH, (1 − γ1L −... − γ PLP), должны лежать вне единичной окружности.

Модель EGARCH уникальна для моделей GARCH и GJR, поскольку моделирует логарифм дисперсии. При моделировании логарифма ограничения позитива для параметров модели ослабляются. Однако прогнозы условных отклонений от модели EGARCH предвзяты, потому что неравенством Дженсена,

$E (_{}^{} startt2) ≥exp{E (_{}^{} logstartt2$ )}.

Спецификация EGARCH (1,1) будет достаточно сложной для большинства применений. Для модели EGARCH (1,1) коэффициенты GARCH и ARCH ожидаются положительными, а коэффициент левериджа - отрицательным; большие непредвиденные понижательные потрясения должны увеличить разницу. Если вы получите признаки, противоположные ожидаемым, вы можете столкнуться с трудностями при выводе последовательностей волатильности и прогнозировании (отрицательный коэффициент ARCH может быть особенно проблематичным). В этом случае модель EGARCH может оказаться не лучшим выбором для вашего приложения.

Модель GJR

Модель GJR - это вариант GARCH, который включает условия использования для моделирования кластеризации асимметричной волатильности. В формулировке GJR большие негативные изменения чаще группируются, чем положительные. Модель GJR названа по названиям Glosten, Jagannathan и Runkle [2]. Существует близкое сходство между моделью GJR и пороговой моделью GARCH (TGARCH) - модель GJR является рекурсивным уравнением для процесса дисперсии, а TGARCH является той же рекурсией, что и для процесса стандартного отклонения.

Модель GJR (P, Q) имеет коэффициенты P GARCH, связанные с запаздывающими дисперсиями, коэффициенты Q ARCH, связанные с запаздывающими квадратичными нововведениями, и коэффициенты Q рычагов, связанные с квадратом отрицательных запаздывающих нововведений. Форма модели GJR (P, Q) в Econometrics Toolbox

$_{yt} = λ_{} +$ αt,

$_{whelαt} =_{}_{}$ starttzt и

$_{}^{}_{}^{}_{}_{}^{}_{}^{}_{}_{}^{}_{}^{}_{}_{}_{}^{σt2=κ+∑i=1Pγiσt−i2+∑j=1Qαjεt−j2+∑j=1QξjI[εt−j<0]εt−j2} .$

Индикаторная функция $I [_{αt} - j$ < 0] равна ${1,}_{если}$ αt − j < 0, и 0 в противном случае. Таким образом, коэффициенты левериджа применяются к негативным инновациям, придавая отрицательным изменениям дополнительный вес.

Примечание

Constant свойство gjr модель соответствует, и Offset свойство соответствует

Для стационарности и позитивности модель GJR имеет следующие ограничения:

$κ>0$
$_{} γi≥0,_{αj≥0}$
$_{}_{} αj+ξj≥0$
$_{}^{}_{}_{}^{}_{} \frac{}{}_{}^{}_{} ∑i=1Pγi+∑j=1Qαj+12∑j=1Qξj<1$

Модель GARCH вложена в модель GJR. Если все коэффициенты левериджа равны нулю, то модель GJR сводится к модели GARCH. Это означает, что можно протестировать модель GARCH против модели GJR с помощью теста отношения правдоподобия.

Ссылки

[1] Энгл, Роберт Ф. «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Эконометрика. Том 50, 1982, стр. 987-1007.

[2] Glosten, L. R., Р. Джейгэннэзэн и Д. Э. Ранкл. «О связи между ожидаемой стоимостью и волатильностью номинальной избыточной доходности акций». Финансовый журнал. т. 48, № 5, 1993, с. 1779-1801.

Документация