Для случайной величины yt безусловным средним является просто ожидаемое значение ). В противоположность этому, условное среднее yt является ожидаемым значением yt при условии, что имеется набор кондиционирующих переменных Startt. Условная средняя модель определяет функциональную форму для )..
Для статической условной средней модели набор переменных кондиционирования измеряется одновременно с зависимой переменной yt. Примером статической модели условного среднего является обычная модель линейной регрессии. Учитывая вектор строки экзогенных ковариат, измеренных в момент времени t, и β, вектор столбца коэффициентов, условное среднее yt выражается как линейная комбинация
xtβ
(то есть кондиционирующий набор равен
В эконометрике временных рядов часто возникает интерес к динамическому поведению переменной во времени. Динамическая условная средняя модель определяет ожидаемое значение yt как функцию исторической информации. Пусть Ht-1 обозначает историю процесса, доступную в момент времени T. Динамическая условная средняя модель определяет эволюцию условного среднего, 1). Примерами исторической информации являются:
Прошлые наблюдения, y1, y2,..., yt-1
Векторы прошлых экзогенных переменных, xt − 1
Прошлые нововведения, αt − 1
По определению, ковариационный стационарный стохастический процесс имеет безусловное среднее значение, которое является постоянным по отношению ко времени. То есть, если yt является стационарным стохастическим процессом, то = λ для всех времен t.
Постоянное среднее предположение о стационарности не исключает возможности динамического процесса условного ожидания. Последовательная автокорреляция между запаздывающими наблюдениями, проявляемая многими временными рядами, предполагает, что ожидаемое значение yt зависит от исторической информации. Разложением Wold [2] можно записать условное среднее любого стационарного процесса yt как
| =μ+∑i=1∞ψiεt−i, | (1) |
Любая модель общей линейной формы, заданная уравнением 1, является действительной спецификацией для динамического поведения стационарного стохастического процесса. Специальными случаями стационарных стохастических процессов являются авторегрессионная (AR) модель, модель скользящего среднего (MA) и модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA).
[1] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.
[2] Wold, H. Исследование в анализе стационарных временных рядов. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.