Financial Instruments Toolbox™ вычисляет цены для лимитов, этажей и свопционов при моделировании отрицательных процентных ставок с использованием модели нормальной волатильности, сдвинутой черной модели или сдвинутой модели SABR:
Обычная модель волатильности (модель Холостого) для процентных опционов для обработки отрицательных ставок со следующим:
Сдвинутая черная модель и сдвинутая модель SABR для процентных опционов с использованием опциона Shift аргумент для обработки отрицательных ставок со следующим:
blackvolbysabr (Сдвинутый SABR)
optsensbysabr (Сдвинутый SABR)
swaptionbyblk (Сдвинутый черный)
capbyblk (Сдвинутый черный)
floorbyblk (Сдвинутый черный)
capvolstrip (Сдвинутый черный)
floorvolstrip (Сдвинутый черный)
Первоначальные авторы модели SABR предоставили приближенную форму подразумеваемой волатильности черного в терминах параметров модели SABR (известной как «формула Хагана»), чтобы цена опциона могла быть вычислена путем вставки вычисленной волатильности черного SABR в формулу черного:
,
Однако эти методы начали разрушаться с введением отрицательных процентных ставок, из-за предположения черной модели, что базовые ставки логнормально распределены (и поэтому не могут быть отрицательными).
Кроме того, даже когда базовая ставка положительна, известно, что приближенная форма SABR подразумевает волатильность черного (Hagan et al., 2002) становится все более неточной по мере приближения удара к нулю. Даже без пересечения границы нулевого удара подразумеваемая плотность вероятности базовой ставки по истечении опциона может стать отрицательной при низких положительных ударах, хотя плотности вероятности явно не должны быть отрицательными:
Варианты с негативными ударами не могут быть представлены волатильностью черного. Чтобы обойти эту проблему, рынок начал цитировать цены на кэп, пол и свопцион также с точки зрения нормальных волатильностей или смещенных волатильностей черного. Вместо модели Блэка оба типа волатильности происходят из альтернативных моделей, которые допускают отрицательные ставки.
Нормальные волатильности связаны с моделью Нормаль (также известной как модель Холостяка):
где предполагается, что базовые скорости нормально распределены. В отличие от логнормальной модели (где скорости имеют нижнюю границу), скорости в модели Normal могут быть как бесконечно положительными, так и бесконечно отрицательными.
Сдвинутые волатильности черного связаны с моделью сдвинутого черного (также известной как модель «смещенной диффузии» или «сдвинутой логнормальной»):
Модель сдвинутого черного по существу такая же, как модель черного, за исключением того, что она моделирует движения (F + Shift) в качестве базового актива, а не F (где F - форвардная ставка свопа в случае свопционов и форвардная ставка в случае кэплетов и флорлетов). Таким образом, модель сдвинутого черного допускает отрицательные скорости, с фиксированной отрицательной нижней границей, определяемой величиной сдвига, то есть нулевая нижняя граница модели черного была сдвинута.
Введение отрицательных процентных ставок также потребовало обновления метода интерполяции волатильности, котирующейся на рынке. Ниже показаны связи между волатильностью и моделями SABR:
Как показано на рисунке, аппроксимации волатильности Черный (Black) и Нормальный (Normal) позволяют использовать модель SABR с формулами расчета цены опционов Черный (Black) и Нормальный (Normal). Тем не менее, хотя сама модель Normal допускает отрицательные ставки, а модель SABR имеет подразумеваемую аппроксимацию нормальной волатильности, базовая динамика модели SABR не допускает отрицательных ставок, если β = 0. В модели Shaded SABR аппроксимация волатильности Shilded Black может использоваться, чтобы позволить отрицательные ставки с фиксированной отрицательной нижней границей, определяемой величиной сдвига.
Можно вычислить подразумеваемую нормальную волатильность с точки зрения параметров модели SABR либо для β = 0 (Normal SABR), либо для любого другого значения β, допустимого моделью SABR (0 ≤ β ≤ 1), используя normalvolbysabr.
normalvolbysabrвычисляет подразумеваемую нормальную волатильность λ N с точки зрения параметров модели SABR. Используя normalvolbysabr чтобы вычислить λ N, вы можете затем это сделать с другими функциями для расчета цен модели Normal (например, capbynormal, floorbynormal, и swaptionbyblk).
capbyblk | capbynormal | floorbyblk | floorbynormal | normalvolbysabr | swaptionbyblk | swaptionbynormal