Рассмотрим систему управления, установка которой содержит как параметрическую неопределенность, так и динамическую неопределенность. Создание модели завода с использованием неопределенных элементов.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.5*delta);

Создайте модель контроллера и создайте функцию передачи с замкнутым контуром.

C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

График ступенчатого ответа показывает, что система с замкнутым контуром номинально стабильна.

step(CL.NominalValue)

Проверьте надежность системы с замкнутым контуром.

[stabmarg,wcu] = robstab(CL);
stabmarg

stabmarg = struct with fields:
           LowerBound: 1.5960
           UpperBound: 1.5993
    CriticalFrequency: 4.8627

LowerBound и UpperBound поля stabmarg показать, что предел устойчивости системы с замкнутым контуром составляет около 1,6. Этот результат означает, что система может выдерживать примерно на 60% больше неопределенности, чем указано в неопределенных элементах, без неустойчивости.

Вы можете использовать uscale масштабировать системную неопределенность по пределу устойчивости, исследовать реакцию системы на весь диапазон безопасных неопределенностей. Масштабирование неопределенностей в CL с помощью надежного запаса устойчивости для создания системы с максимально допустимой величиной неопределенности.

CLmaxunc = uscale(CL,stabmarg.UpperBound);
CLmaxunc.Uncertainty.delta

ans = 
  Uncertain LTI dynamics "delta" with 1 outputs, 1 inputs, and gain less than 1.6.

CLmaxunc.Uncertainty.k

ans = 
  Uncertain real parameter "k" with nominal value 10 and variability [-64,64]%.

Неопределенные элементы в CLmaxunc имеют диапазоны, примерно в 1,6 раза превышающие диапазон исходной смоделированной неопределенности в CL.

Продукция wcu - структура, которая содержит наименьшее возмущение k и delta которые делают систему нестабильной. Проверьте нестабильность, подставив эти значения в модель с замкнутым контуром и изучив положение полюсов.

CLunst = usubs(CL,wcu);
pole(CLunst)

ans = 8×1 complex
102 ×

  -9.9314 + 0.0000i
  -0.1027 + 0.1009i
  -0.1027 - 0.1009i
  -0.0000 + 0.0486i
  -0.0000 - 0.0486i
  -0.0115 + 0.0000i
  -0.0216 + 0.0000i
  -0.0403 + 0.0000i

Полученная система имеет неразвернутую пару комплексных полюсов с собственной частотой 4,89, что делает её нестабильной. CriticalFrequency поле stabmarg содержит то же самое значение, которое является частотой, с которой CL ближе всего к нестабильности.

Проверьте относительную чувствительность запаса устойчивости к неопределенным элементам системы. Рассмотрим модель системы управления, содержащей неопределенные элементы.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.25*delta);
C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

Создание набора параметров для robstab что позволяет выполнить расчет чувствительности.

opts = robOptions('Sensitivity','On');

Рассчитайте запас устойчивости, указав info вывод для доступа к дополнительной информации о вычислении.

[stabmarg,wcu,info] = robstab(CL,opts);

Осмотрите Sensitivity поле info.

info.Sensitivity

ans = struct with fields:
    delta: 80
        k: 20

Значения в этом поле указывают, насколько изменение нормализованного возмущения на каждом элементе влияет на запас устойчивости. Например, чувствительность для k составляет 21. Это значение означает, что данное изменение dk в нормированном диапазоне неопределенностей k вызывает изменение примерно на 21% от этого, или 0.21*dk, в запас устойчивости. Маржа в этом случае гораздо чувствительнее к delta, для которого маржа изменяется примерно на 81% от изменения нормированного диапазона неопределенности.

Рассмотрим модель системы управления, содержащей неопределенные элементы.

k = ureal('k',10,'Percent',40);
delta = ultidyn('delta',[1 1]); 
G = tf(18,[1 1.8 k]) * (1 + 0.5*delta);
C = pid(2.3,3,0.38,0.001);
CL = feedback(G*C,1);

По умолчанию robstab вычисляет только самый слабый запас устойчивости по всем частотам. Чтобы увидеть, как запас устойчивости изменяется с частотой, используйте 'VaryFrequency' вариант robOptions. Например, вычислить запас устойчивости системы в частотных точках от 0,1 до 10 рад/с.

opts = robOptions('VaryFrequency','on');
[stabmarg,wcu,info] = robstab(CL,{0.1,10},opts);
info

info = struct with fields:
                Model: 1
            Frequency: [19x1 double]
               Bounds: [19x2 double]
    WorstPerturbation: [19x1 struct]
          Sensitivity: [1x1 struct]

robstab возвращает вектор частот в info выходные данные, в Frequencies поле. info.Bounds содержит верхнюю и нижнюю границы на границе устойчивости на каждой частоте. Эти значения используются для построения графика частотной зависимости запаса устойчивости.

semilogx(info.Frequency,info.Bounds)
title('Stability Margin vs. Frequency')
ylabel('Margin')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound')

При использовании 'VaryFrequency' опция, robstab автоматически выбирает точки частоты. Частоты, которые он выбирает, гарантированно включают частоту, при которой запас устойчивости является самым слабым (в пределах заданного диапазона). Просмотрите возвращенные значения частоты для подтверждения того, что они включают критическую частоту.

info.Frequency

ans = 19×1

    0.1000
    0.1061
    0.1425
    0.1914
    0.2572
    0.3455
    0.4642
    0.6236
    0.8377
    1.1253
      ⋮

stabmarg.CriticalFrequency

ans = 4.8280

Кроме того, вместо использования 'VaryFrequency', можно указать конкретные частоты, на которых вычисляются устойчивые пределы устойчивости. info.Bounds содержит поля на всех указанных частотах. Однако эти результаты не гарантируют включение самого слабого запаса, который может падать между указанными частотными точками.

w = logspace(-1,1,25); 
[stabmarg,wcu,info] = robstab(CL,w);
semilogx(w,info.Bounds)
title('Stability Margin vs. Frequency')
ylabel('Margin')
xlabel('Frequency')
legend('Lower bound','Upper bound')