Биномиальное распределение

Обзор

Биномиальное распределение представляет собой двухпараметрическое семейство кривых. Биномиальное распределение используется для моделирования общего числа успехов в фиксированном количестве независимых испытаний, которые имеют одинаковую вероятность успеха, таких как моделирование вероятности заданного числа головок в десяти оборотах справедливой монеты.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с биномиальным распределением.

Создание объекта распределения вероятностей BinomialDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки (fitdistили путем указания значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работа с биномиальным распределением в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (binocdf, binopdf, binoinv, binostat, binofit, binornd) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких биномиальных распределений.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Binomial') и параметры.

Параметры

Биномиальное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
N	Число судебных разбирательств	Положительное целое число
p	Вероятность успеха в одном испытании	$0≤p≤1$

Сумма двух биномиальных случайных величин, которые имеют один и тот же параметр p, также является биномиальной случайной величиной с N, равной сумме числа испытаний.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) биномиального распределения

$f (x 'N, p) \begin{matrix} = \end{matrix} (^{} {Nx) px}^{(1} - p) N - x; x =$ 0,1,2,..., N,

где x - число успехов в N испытаниях процесса Бернулли с вероятностью успеха. Результатом является вероятность ровно x успехов в N испытаниях. Для дискретных распределений pdf также известен как функция вероятностной массы (pmf).

Пример см. в разделе Расчет биномиального распределения pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) биномиального распределения

$F (x 'N, p)_{}^{} \begin{matrix} =∑i=0x \end{matrix} (^{} {Ni) pi}^{(1} - p) N - i; x =$ 0,1,2,..., N,

где x - число успехов в N испытаниях процесса Бернулли с вероятностью успеха. Результатом является вероятность не более x успехов в N испытаниях.

Пример см. в разделе Compute Binomial Distribution cdf.

Описательная статистика

Среднее биномиальное распределение - Np.

Дисперсия биномиального распределения равна Np (1 - p).

Пример

Соответствие биномиального распределения данным

Открыть сценарий в реальном времени

Создать биномиальное случайное число, которое подсчитывает число успехов в 100 испытания с вероятностью успеха 0.9 в каждом испытании.

x = binornd(100,0.9)

x = 85

Подгонка биномиального распределения к данным с помощью fitdist.

pd = fitdist(x,'Binomial','NTrials',100)

pd = 
  BinomialDistribution

  Binomial distribution
    N =  100
    p = 0.85   [0.764692, 0.913546]

fitdist возвращает BinomialDistribution объект. Интервал рядом с p - оценка 95% доверительного интервала p.

Оценка параметра p с использованием функций распределения.

[phat,pci] = binofit(x,100) % Distribution-specific function

phat = 0.8500

pci = 1×2

    0.7647    0.9135

[phat2,pci2] = mle(x,'distribution','Binomial',"NTrials",100) % Generic distribution function

phat2 = 0.8500

pci2 = 2×1

    0.7647
    0.9135

Вычислить биномиальное распределение pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычисление pdf биномиального распределения с помощью 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binopdf(x,10,0.5);

Печать PDF с полосами ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычислить биномиальное распределение cdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdf биномиального распределения с помощью 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binocdf(x,10,0.5);

Постройте график cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Сравнение Binomial и Normal Distribution pdfs

Открыть сценарий в реальном времени

Когда N большой, биномиальное распределение с параметрами N и p может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним N*p и расхождение N*p*(1–p) при условии, что p не слишком велик или слишком мал.

Вычислите pdf биномиального распределения, подсчитывая количество успехов в 50 испытания с вероятностью 0.6 в одном испытании.

N = 50;
p = 0.6;
x1 = 0:N;
y1 = binopdf(x1,N,p);

Вычислите pdf соответствующего нормального распределения.

mu = N*p;
sigma = sqrt(N*p*(1-p));
x2 = 0:0.1:N;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте график pdfs на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Normal pdfs')
legend('Binomial Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Binomial Distribution, Normal Distribution.

Pdf нормального распределения близко приближается к pdf биномиального распределения.

Сравнить файлы PDFS для биномиального распределения и распределения Пуассона

Открыть сценарий в реальном времени

Когда p мал, биномиальное распределение с параметрами N и p может быть аппроксимировано распределением Пуассона со средним N*p, при условии, что N*p также мал.

Вычислите pdf биномиального распределения, подсчитывая количество успехов в 20 испытания с вероятностью успеха 0.05 в одном испытании.

N = 20;
p = 0.05;
x = 0:N;
y1 = binopdf(x,N,p);

Вычислите pdf соответствующего дистрибутива Пуассона.

mu = N*p;
y2 = poisspdf(x,mu);

Постройте график pdfs на той же оси.

figure
bar(x,[y1; y2])
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Poisson pdfs')
legend('Binomial Distribution','Poisson Distribution','location','northeast')

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Poisson pdfs contains 2 objects of type bar. These objects represent Binomial Distribution, Poisson Distribution.

Pdf распределения Пуассона близко аппроксимирует pdf распределения бинома.

Связанные распределения

Распределение Бернулли (Bernoulli Distribution) - распределение Бернулли является однопараметрическим дискретным распределением, которое моделирует успех одного испытания и встречается как биномиальное распределение с N = 1.
Полиномиальное распределение - полиномиальное распределение является дискретным распределением, которое обобщает биномиальное распределение, когда каждое исследование имеет более двух возможных результатов.
Нормальное распределение (Normal Distribution) - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры (среднее) и (стандартное отклонение). По мере увеличения N биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением, при том, что λ = Np и start2 = Np (1 - p). См. раздел Сравнение Binomial и Normal Distribution pdfs.
Распределение Пуассона - распределение Пуассона является однопараметрическим дискретным распределением, которое принимает неотрицательные целочисленные значения. Параметр λ является как средним, так и дисперсией распределения. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, где N приближается к бесконечности и p переходит к нулю, в то время как Np = λ. См. раздел Сравнение PDFS для биномиального распределения и распределения Пуассона.

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[3] Грузчик, Кэтрин. Быстрое и точное вычисление биномиальных вероятностей. 9 июля 2000 года.

См. также

Документация