Документация

h = waldtest(r,R,EstCov) возвращает логическое значение (h) с решением об отказе от проведения теста Уолда спецификации модели.

waldtest строит тестовую статистику, используя функцию ограничения и ее якобиан, и значение неограниченной модели ковариации оценщика, все оцениваемые по неограниченным оценкам параметра (r, R, и EstCov, соответственно).

Если любой входной параметр является вектором камеры длины k > 1, то другие входные параметры должны быть массивами ячеек длины k. waldtest(r, R, EstCov) обрабатывает каждую камеру как отдельный, независимый тест и возвращает вектор решений об отклонении.
Если любой входной параметр является вектор-строка, то программное обеспечение возвратов выводить аргументы следующими векторами-строками.

h = waldtest(r,R,EstCov,alpha) возвращает решение об отклонении теста Вальда, проведенного на уровне значимости alpha.

[h,pValue] = waldtest(___) возвращает решение об отклонении и p -значение (pValue) для проверки гипотезы, используя любой из входных параметров в предыдущих синтаксисах.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(___) дополнительно возвращает тестовую статистику (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

Оцените спецификации модели с помощью теста Уолда

Проверяйте на значительные эффекты задержки в регрессионой модели временных рядов.

Загрузите набор данных ВВП США.

load Data_GDP

Постройте график ВВП в зависимости от времени.

plot(dates,Data)
datetick

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Серия, кажется, увеличивается в геометрической прогрессии.

Преобразуйте данные с помощью натурального логарифма.

logGDP = log(Data);

logGDP увеличивается во времени, поэтому примите, что существует значительный эффект задержки 1. Чтобы использовать тест Wald, чтобы проверить, существует ли значительный эффект задержки 2, вам нужен:

Оценочные коэффициенты неограниченной модели
Функция ограничения, рассчитанная на неограниченных значениях коэффициентов модели
Якобиан функции ограничения, оцененный при неограниченных значениях коэффициентов модели
Оценочная, неограниченная ковариационная матрица параметра.

Неограниченная модель

$y_{t} = β_{0} + β_{1} y_{t - 1} + β_{2} y_{t - 2} + ε_{t} .$

Оцените коэффициенты неограниченной модели.

LagLGDP = lagmatrix(logGDP,1:2);
UMdl = fitlm(table(LagLGDP(:,1),LagLGDP(:,2),logGDP));

UMdl является установленным LinearModel модель. Он содержит, помимо прочего, подобранные коэффициенты неограниченной модели.

Ограничение $β_{2} = 0$ . Поэтому ограничительная функция (r) и якобиан (R) являются:

$r = β_{2}$
$R = [\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Задайте r, R и предполагаемую, неограниченную ковариационную матрицу параметра.

r = UMdl.Coefficients.Estimate(3);
R = [0 0 1];
EstParamCov = UMdl.CoefficientCovariance;

Тест на значительный эффект задержки 2 с использованием теста Уолда.

[h,pValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)

h = logical
   1

pValue = 1.2521e-07

h = 1 указывает, что нулевая, ограниченная гипотеза ( $β_{2} = 0$ ) должны быть отклонены в пользу альтернативной, неограниченной гипотезы. pValue довольно маленькая, что говорит о наличии убедительных доказательств этого результата.

Оцените условную гетероскедастичность с помощью теста Уолда

Проверьте, существуют ли значительные эффекты ARCH в симулированный отклик серии, используя waldtest.

Предположим, что модель для моделируемых данных является AR (1) с отклонением ARCH (1). Символически модель является

$y_{t} = 0.9 y_{t - 1} + ε_{t},$

где

$ε_{t} = w_{t} \sqrt{h_{t}}$
$h_{t} = 1 + 0.5 ε_{t - 1}^{2}$
$w_{t}$ является Гауссовым со средним 0 и отклонением 1.

Задайте модель для моделируемых данных.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной моделью AR (1) с отклонением ARCH (1).

Симулируйте предварительный образец и эффективные ответы на выборку от Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the Jacobian
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon - случайный путь инноваций из VarMdl. Программные фильтры epsilon через Mdl для получения пути случайного отклика y.

Задайте неограниченную модель, принимая, что условная средняя модель

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ε_{t},$

где $h_{t} = α_{0} + α_{1} ε_{t - 1}^{2}$ . Подгонка моделируемых данных (y) к неограниченной модели, используя предварительные наблюдения.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Variance',UVarMdl);
[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),...
    'E0',epsilon(psI),'V0',condVariance(psI),'Display','off');

UEstMdl является установленной, неограниченной моделью и UEstParamCov - оценочная ковариация параметра неограниченных параметров модели.

Нулевая гипотеза заключается в том, что $α_{1} = 0$ , то есть ограниченная модель является AR (1) с Гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянное отклонение. Поэтому функция ограничения $r (θ) = α_{1}$ , где $θ = [c, ϕ_{1}, α_{0}, α_{1}]^{'}$ . Компоненты теста Уолда:

Функция ограничения, оцененная при неограниченных оценках параметра, $r = {α_{}^{ˆ}}_{1}$ .
Якобиан r, оцененный по неограниченным параметрам модели, $R = [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .
Неограниченная модель оцененной ковариационной матрицы параметра UEstParamCov.

Задайте r и R.

r = UEstMdl.Variance.ARCH{1};
R = [0, 0, 0, 1];

Проверьте нулевую гипотезу, что $α_{1} = 0$ на уровне 1% значимости с помощью waldtest.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,UEstParamCov,0.01)

h = logical
   0

pValue = 0.0549

stat = 3.6846

cValue = 6.6349

h = 0 указывает, что null, ограниченная модель не должна быть отклонена в пользу альтернативной, неограниченной модели. Этот результат согласован с моделью для моделируемых данных.

Тест среди нескольких спецификаций вложенной модели

Оцените спецификации модели путем тестирования вниз среди нескольких ограниченных моделей с помощью моделируемых данных. Истинная модель является ARMA (2,1)

$y_{t} = 3 + 0.9 y_{t - 1} - 0.5 y_{t - 2} + ε_{t} + 0.7 ε_{t - 1},$

где $ε_{t}$ является Гауссовым со средним 0 и отклонением 1.

Задайте истинную модель ARMA (2,1) и симулируйте 100 значений отклика.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility 
y = simulate(TrueMdl,T);

Задайте неограниченную модель и имена моделей кандидатов для проверки вниз.

UMdl = arima(2,0,2);
RMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

UMdl является неограниченной, ARMA (2,2) моделью. RMdlNames - массив ячеек из строк, содержащий имена ограниченных моделей.

Подгонка неограниченной модели к моделируемым данным.

[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y,'Display','off');

UEstMdl является установленной, неограниченной моделью и UEstParamCov - оцененная ковариационная матрица параметра.

Неограниченная модель имеет шесть параметров. Чтобы создать функцию ограничения и ее якобиан, вы должны знать порядок параметров в UEstParamCov. Для этого arima модель, порядок $[c, ϕ_{1}, ϕ_{2}, θ_{1} θ_{2}, σ^{2}]$ .

Каждая модель кандидата соответствует функции ограничения. Поместите векторы ограничительной функции в отдельные камеры вектора камеры.

rf1 = UEstMdl.MA{2};                          % ARMA(2,1)
rf2 = cell2mat(UEstMdl.MA)';                  % AR(2)
rf3 = UEstMdl.AR{2};                          % ARMA(1,2)
rf4 = [UEstMdl.AR{2};UEstMdl.MA{2}]';         % ARMA(1,1)
rf5 = [UEstMdl.AR{2};cell2mat(UEstMdl.MA)'];  % AR(1)
rf6 = cell2mat(UEstMdl.AR)';                  % MA(2)
rf7 = [cell2mat(UEstMdl.AR)';UEstMdl.MA{2}];  % MA(1)
r = {rf1;rf2;rf3;rf4;rf5;rf6;rf7};

r является вектором камеры 7 на 1 векторов, соответствующим ограничительной функции для моделей кандидата.

Поместите якобиан каждой ограничительной функции в отдельные, соответствующие камеры вектора камеры. Порядок элементов в якобиане должен соответствовать порядку элементов в UEstParamCov.

J1 = [0 0 0 0 1 0];                           % ARMA(2,1)   
J2 = [0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % AR(2)      
J3 = [0 1 0 0 0 0];                           % ARMA(1,2)  
J4 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % ARMA(1,1)  
J5 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % AR(1)      
J6 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0];              % MA(2)      
J7 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % MA(1)      
R = {J1;J2;J3;J4;J5;J6;J7};

R является вектором камеры 7 на 1 векторов, соответствующим ограничительной функции для моделей кандидата.

Поместите оцененную ковариационную матрицу параметра в каждую камеру вектора камеры 7 на 1.

EstCov = cell(7,1); % Preallocate
for j = 1:length(EstCov)
    EstCov{j} = UEstParamCov;
end

Примените тест Wald на уровне значимости 1%, чтобы найти соответствующие ограниченные спецификации модели.

alpha = .01;
h = waldtest(r,R,EstCov,alpha);
RestrictedModels = RMdlNames(~h)

RestrictedModels = 1x5 cell
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}    {'MA(1)'}

RestrictedModels В перечислены наиболее подходящие модели с ограниченными возможностями.

Можно протестировать снова, но используйте ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Проведите тест Wald, используя нелинейные функции ограничения

Проверьте, имеют ли параметры вложенной модели нелинейную связь.

Загрузите набор данных двустороннего спот-курса Deutschmark/British Pound.

load Data_MarkPound

Набор данных (Data) содержит временные ряды цен.

Преобразуйте цены в возвраты и постройте график возвращаемой серии.

returns = price2ret(Data);

figure
plot(returns)
axis tight
ylabel('Returns')
xlabel('Days, 02Jan1984 - 31Dec1991')
title('{\bf Deutschmark/British Pound Bilateral Spot Exchange Rate}')

$Figure contains an axes. The axes with title {\bf Deutschmark/British Pound Bilateral Spot Exchange Rate} contains an object of type line.$

Серия возвратов показывает признаки гетероскедастичности.

Предположим, что модель GARCH (1,1) является подходящей моделью для данных. Подбор модели GARCH (1,1) к данным, включая константу.

Mdl = garch(1,1);
[EstMdl,EstParamCov] = estimate(Mdl,returns);

 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value       StandardError    TStatistic      PValue  
                __________    _____________    __________    __________

    Constant    1.0535e-06     3.5048e-07        3.0058       0.0026487
    GARCH{1}       0.80657        0.01291        62.478               0
    ARCH{1}        0.15436       0.011574        13.336      1.4293e-40

g1 = EstMdl.GARCH{1};
a1 = EstMdl.ARCH{1};

g1 - предполагаемый эффект GARCH, и a1 - предполагаемый эффект ARCH.

Следующее может представлять отношения между коэффициентами GARCH и ARCH:

$γ_{1} α_{1} = 1$
$γ_{1} + α_{1} = 1$

где $γ_{1}$ является эффектом GARCH и $α_{1}$ - эффект ARCH. Задайте эти отношения как функцию ограничения $r (θ) = 0$ , оцененный в оценках параметров неограниченной модели. Эта спецификация задает вложенную, ограниченную модель.

r = [g1*a1; g1+a1] - 1;

Задайте якобиан вектора функции ограничения.

R = [0, a1, g1;0, 1, 1];

Проведите тест Уолда, чтобы оценить, есть ли достаточные доказательства, чтобы отклонить ограниченную модель.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)

h = logical
   1

pValue = 0

stat = 1.4595e+04

cValue = 5.9915

h = 1 указывает, что существует достаточное количество доказательств, чтобы отклонить ограниченную модель в пользу неограниченной модели. pValue = 0 указывает, что доказательства отклонения ограниченной модели сильны.

Входные параметры

`r` - Функции ограничения
скалярный вектор | | вектор камеры скаляров или векторов

Функции ограничения, соответствующие ограниченным моделям, заданные как скаляр, вектор или вектор камеры скаляров или векторов.

Если r является q -вектором или массивом одиночных ячеек, содержащим q -вектор, затем программное обеспечение проводит один тест Уолда. q должны быть меньше, чем количество неограниченных параметров модели.
Если r является камера вектором длины k > 1, и камера j содержит _qj -вектор, j = 1,..., k, затем программное обеспечение проводит k независимых тестов Уолда. Каждый qj должен быть меньше, чем количество неограниченных параметров модели.

Типы данных: double | cell

`R` - Функция ограничения Якобианы
вектор-строка | матрица | вектор-ячейка из векторов-строк или матриц

Функция ограничения Якобианы, заданная как вектор-строка, матрица или камера вектор векторов-строк или матриц.

Предположим r 1,..., rq являются q функциями ограничения, и неограниченные параметры модели θ 1,.._., θp. Затем, функция ограничения Якобиан является

$R = (\begin{matrix} \frac{\partial r_{1}}{\partial θ_{1}} & \dots & \frac{\partial r_{1}}{\partial θ_{p}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial r_{q}}{\partial θ_{1}} & \dots & \frac{\partial r_{q}}{\partial θ_{p}} \end{matrix}) .$
Если R является q -by- p матрицей или массивом одиночных ячеек, содержащим q -by- p матрицу, затем программное обеспечение проводит один тест Уолда. q должно быть меньше p, что является количеством неограниченных параметров модели.
Если R является камера вектором длины k > 1, и камера j содержит _qj матрицу -by- pj, j = 1,..., k, затем программное обеспечение проводит k независимых тестов Уолда. _Каждый qj должен быть меньше pj, что является количеством неограниченных параметров в j модели.

Типы данных: double | cell

`EstCov` - Неограниченная ковариационная оценка параметра модели
матрица | вектор камер матриц

Неограниченные оценки ковариации параметра модели, заданные как матрица или камера вектор матриц.

Если EstCov является p -by- p матрицей или массивом одиночных ячеек, содержащим p -by- p матрицу, затем программное обеспечение проводит один тест Уолда. p - количество неограниченных параметров модели.
Если EstCov является камера вектором длины k > 1, и камера j содержит _pj матрицу -by- pj, j = 1,..., k, затем программное обеспечение проводит k независимых тестов Уолда. _Каждый pj является количеством неограниченных параметров в j модели.

Типы данных: double | cell

`alpha` - Номинальные уровни значимости
0,05 (по умолчанию) | скалярный вектор |

Номинальные уровни значимости для тестов гипотезы, заданные в виде скаляра или вектора.

Каждый элемент alpha должно быть больше 0 и меньше 1.

При проведении k > 1 тестов,

Если alpha является скаляром, затем программное обеспечение расширяет его до вектора k -by-1.
Если alpha является вектором, тогда он должен иметь k длины.

Типы данных: double

Выходные аргументы

`h` - Решения об отклонении теста
логический | вектор логических элементов

Решения об отклонении теста, возвращенные как логическое значение или вектор логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

h = 1 указывает на отказ от нулевой, ограниченной модели в пользу альтернативной, неограниченной модели.
h = 0 указывает на отказ отклонить нулевую ограниченную модель.

`pValue` - Тестируйте статистические p -значения
скалярный вектор |

Тестируйте статистические p - значения, возвращенные как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`stat` - Тестовая статистика
скалярный вектор |

Тестовая статистика, возвращенная как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`cValue` - Критические значения
скалярный вектор |

Критические значения, определяемые alpha, возвращенный как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Подробнее о