Документация

Вычислительные факторы

Одной из важнейших задач в технических вычислениях является решение систем одновременных линейных уравнений.

В матричном обозначении общая проблема принимает следующую форму: Учитывая две матрицы A и b, действительно там существует уникальная матрица x, так, чтобы <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4>   = b или <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> = b?

Поучительно рассматривать пример 1 на 1. Для примера делает уравнение

есть уникальное решение?

Ответ, конечно, да. Уравнение имеет уникальное решение x = 3. Решение легко получить путем деления:

Решение обычно не получается путем вычисления обратной переменной 7, то есть 7^–1= 0,142857..., а затем умножение 7^–1 по 21. Это было бы больше работы и, если бы 7^–1 представлен конечным числом цифр, менее точным. Подобные факторы применяются к наборам линейных уравнений с более чем одним неизвестным; MATLAB^® решает такие уравнения, не вычисляя обратную матрицу.

Несмотря на то, что это не стандартное математическое обозначение, MATLAB использует известную в скалярном случае терминологию деления, чтобы описать решение общей системы одновременных уравнений. Два символа деления, косая черта ,/, и обратная косая черта,\, соответствуют двум функциям MATLAB mrdivide и mldivide. Эти операторы используются для двух ситуаций, когда неизвестная матрица появляется слева или справа от матрицы коэффициентов:

Думайте о «делении» обеих сторон уравнения Ax = b или xA = b A. Матрица коэффициентов A всегда находится в «знаменателе».

Условия совместимости размерностей для x = A\b требуется две матрицы A и b иметь одинаковое число строк. Решение x затем имеет одинаковое число столбцов как b и его строка размерности равна размерности столбца A. Для x = b/Aроли строк и столбцов взаимозаменяются.

На практике линейные уравнения вида Ax = b происходят чаще, чем уравнения вида xA = b. Следовательно, обратная косая черта используется гораздо чаще, чем косая черта. Остальная часть этого раздела сконцентрирована на операторе обратной косой черты; соответствующие свойства оператора косой черты могут быть выведены из тождеств:

(b/A)' = (A'\b').

Матрица коэффициентов A не должен быть квадратным. Если A имеет размер m -by - n, затем три случая:

Общее решение

Общее решение системы линейных уравнений Ax = b описывает все возможные решения. Вы можете найти общее решение по:

Затем можно записать любое решение в Ax = b как сумму конкретного решения в Ax = b, с шага 2, плюс линейная комбинация базисных векторов с шага 1.

В остальной части этого раздела описывается, как использовать MATLAB для поиска конкретного решения проблемы Ax = b, как на шаге 2.

Квадратные системы

Наиболее распространенная ситуация связана с квадратной матрицей коэффициентов A и один правый вектор-столбец b.

A = pascal(3);
u = [3; 1; 4];
x = A\u

x =
      10
     -12
       5

b = magic(3);
X = A\b

X =
      19    -3    -1
     -17     4    13
       6     0    -6

P = pinv(A)*b

A = [ 1     3     7
     -1     4     4
      1    10    18 ]

rank(A)

ans =

     2

pinv(A)*b

ans =
    0.3850
   -0.1103
    0.7066

A*pinv(A)*b

ans =
    5.0000
    2.0000
   12.0000

A*pinv(A)*b

ans =
   -1.0000
    4.0000
    2.0000

rref([A b])
ans =
    1.0000         0    2.2857         0
         0    1.0000    1.5714         0
         0         0         0    1.0000

Переопределенные системы

Этот пример показов, как переопределенные системы часто встречаются в различных видах аппроксимирования кривыми к экспериментальным данным.

Количество y измеряется в нескольких разных значениях времени t для получения следующих наблюдений. Можно ввести данные и просмотреть их в таблице со следующими операторами.

t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
y = [.82 .72 .63 .60 .55 .50]';
B = table(t,y)

B=6×2 table
     t      y  
    ___    ____

      0    0.82
    0.3    0.72
    0.8    0.63
    1.1     0.6
    1.6    0.55
    2.3     0.5

Попробуйте смоделировать данные с распадающейся экспоненциальной функцией

$y(t)=c_1+c_2{e}^{-t}$.

Предыдущее уравнение говорит, что вектор y должно быть аппроксимировано линейной комбинацией двух других векторов. Один является постоянным вектором, содержащим все таковые, а другой - вектор с компонентами exp(-t). Неизвестные коэффициенты, $$c_1$$ и $$c_2$$, может быть вычислено путем выполнения аппроксимации методом наименьших квадратов, которая минимизирует сумму квадратов отклонений данных от модели. Существует шесть уравнений в двух неизвестных, представленных матрицей 6 на 2.

E = [ones(size(t)) exp(-t)]

E = 6×2

    1.0000    1.0000
    1.0000    0.7408
    1.0000    0.4493
    1.0000    0.3329
    1.0000    0.2019
    1.0000    0.1003

Используйте оператор обратной косой черты, чтобы получить решение методом наименьших квадратов.

c = E\y

c = 2×1

    0.4760
    0.3413

Другими словами, методом наименьших квадратов к данным является

Следующие операторы оценивают модель с регулярно разнесенными шагами в t, а затем постройте график результата вместе с исходными данными:

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;
plot(T,Y,'-',t,y,'o')

E*c не точно равно y, но различие может быть меньше, чем ошибки измерения в исходных данных.

Прямоугольная матрица A имеет неполный ранг, если он не имеет линейно независимых столбцов. Если A имеет неполный ранг, затем решение методом наименьших квадратов для AX = B не является уникальным. A\B выдает предупреждение, если A имеет неполный ранг и создает решение методом наименьших квадратов. Можно использовать lsqminnorm чтобы найти решение X который имеет минимальную норму среди всех решений.

Недоопределенные системы

Этот пример показывает, как решение для недостаточно определенных систем не является уникальным. Недоопределенные линейные системы включают больше неизвестных, чем уравнений. Матричная операция левого деления в MATLAB находит базовое решение методом наименьших квадратов, которое имеет самое большее m ненулевые компоненты для m-by- n матрица коэффициентов.

Вот небольшой, случайный пример:

R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]
rng(0);
b = randi(8,2,1)

R =

       6              8              7              3       
       3              5              4              1       


b =

       7       
       8      

Линейная система Rp = b включает два уравнения в четырех неизвестных. Поскольку матрица коэффициентов содержит маленькие целые числа, уместно использовать format команда для отображения решения в рациональном формате. Конкретное решение получают с

format rat
p = R\b

p =

       0       
      17/7     
       0       
     -29/7    

Один из ненулевых компонентов p(2) потому что R(:,2) - столбец R с самой большой нормой. Другой ненулевой компонент p(4) потому что R(:,4) доминирует после R(:,2) устраняется.

Полное общее решение для недоопределенной системы может быть охарактеризовано добавлением p к произвольной линейной комбинации векторов ядра, которую можно найти с помощью null функция с опцией, запрашивающей рациональный базис.

Z = null(R,'r')

Z =

      -1/2           -7/6     
      -1/2            1/2     
       1              0       
       0              1       

Можно подтвердить, что R*Z равен нулю, и что остаточное R*x - b является маленьким для любого вектора x, где

x = p + Z*q

Начиная с столбцов Z являются векторами ядра, продуктом Z*q является линейной комбинацией этих векторов:

Чтобы проиллюстрировать, выберите произвольную q и создайте x.

q = [-2; 1];
x = p + Z*q;

Вычислим норму невязки.

format short
norm(R*x - b)

ans =

   2.6645e-15

Когда доступно бесконечно много решений, решение с минимальной нормой представляет особый интерес. Вы можете использовать lsqminnorm для вычисления решения методом наименьших квадратов с минимальной нормой. Это решение имеет наименьшее возможное значение для norm(p).

p = lsqminnorm(R,b)

p =

    -207/137   
     365/137   
      79/137   
    -424/137  

Решение для нескольких правых сторон

Некоторые задачи связаны с решением линейных систем, которые имеют ту же матрицу коэффициентов A, но разные правые стороны b. Когда различные значения b доступны в то же время, можно создавать b как матрица с несколькими столбцами и решить все системы уравнений одновременно с помощью одной команды обратной косой черты: X = A\[b1 b2 b3 …].

Однако иногда различные значения b не все доступны одновременно, что означает, что вам нужно решить несколько систем уравнений последовательно. Когда вы решаете одну из этих систем уравнений, используя slash (/) или backslash (\), оператор факторизирует матрицу коэффициентов A и использует это матричное разложение, чтобы вычислить решение. Однако каждый последующий раз вы решаете подобную систему уравнений с другим bоператор вычисляет то же разложение A, что является избыточным расчетом.

Решение этой задачи состоит в том, чтобы предварительно вычислить разложение A, а затем повторно используйте факторы для решения различных значений b. На практике, однако, предварительное вычисление разложения таким образом может оказаться трудным, поскольку вы должны знать, какое разложение вычислить (LU, LDL, Cholesky и так далее), а также как умножить факторы, чтобы решить проблему. Для примера с LU-разложением необходимо решить две линейные системы, чтобы решить Ax = b исходной системы:

[L,U] = lu(A);
x = U \ (L \ b);

Вместо этого рекомендуемый метод решения линейных систем с несколькими последовательными правыми сторонами состоит в том, чтобы использовать decomposition объекты. Эти объекты позволяют вам использовать преимущества эффективности при предварительном вычислении матричного разложения, но они не требуют знаний о том, как использовать матричные множители. Можно заменить предыдущее LU-разложение на:

dA = decomposition(A,'lu');
x = dA\b;

Если вы не уверены, какое разложение использовать, decomposition(A) выбирает правильный тип на основе свойств A, подобно тому, что делает обратная косая черта.

Вот простой тест возможных преимуществ этого подхода для эффективности. Тест решает ту же разреженную линейную систему 100 раз, используя и обратную косую черту (\), и decomposition.

n = 1e3;
A = sprand(n,n,0.2) + speye(n);
b = ones(n,1);

% Backslash solution
tic
for k = 1:100
    x = A\b;
end
toc

Elapsed time is 9.006156 seconds.

% decomposition solution
tic
dA = decomposition(A);
for k = 1:100
    x = dA\b;
end
toc

Elapsed time is 0.374347 seconds.

Для этой задачи, decomposition решение намного быстрее, чем использование только обратной косой черты, но синтаксис остается простым.

Итерационные методы

Если матрица коэффициентов A большая и разреженная, методы факторизации обычно неэффективны. Iterative methods сгенерируйте ряд приблизительных решений. MATLAB предоставляет несколько итерационные методы для обработки больших, разреженных входных матриц.

Многопоточные расчеты

MATLAB поддерживает многопоточные расчеты для ряда линейных алгебр и поэлементных числовых функций. Эти функции автоматически выполняются в нескольких потоках. Чтобы функция или выражение выполнялись быстрее на нескольких центральных процессорах, ряд условий должен быть true:

inv, lscov, linsolve, и mldivide показать значительное увеличение скорости на больших массивах двойной точности (порядка 10 000 элементов или более), когда включена многопоточность.