Создайте квадратную матрицу 3 на 3, A.

A = [1 -2 4; -5 2 0; 1 0 3]

A = 3×3

     1    -2     4
    -5     2     0
     1     0     3

Вычислим определяющего A.

d = det(A)

d = -32

Рассмотрим, почему определяющий не является точной мерой особенности.

Создайте матрицу 10 на 10 путем умножения матрицы тождеств, eye(10), малым числом.

A = eye(10)*0.0001;

Матрица A имеет очень маленькие значения на основной диагонали. Однако A не сингулярна, потому что она является произведением матрицы тождеств.

Вычислим определяющего A.

d = det(A)

d = 1.0000e-40

Определяющий чрезвычайно мал. Проверочный тест формы abs(det(A)) < tol вероятно отметит эту матрицу как сингулярную. Несмотря на то, что определяющий матрицы близок к нулю, A на самом деле не является плохо обусловленной. Поэтому A не близка к тому, чтобы быть сингулярной. Определяющий матрицы может быть произвольно близок к нулю, не передавая информацию о особенности.

Чтобы выяснить, A ли сингулярно, используйте либо cond или rcond функций.

Вычислим число обусловленности A.

c = cond(A)

c = 1

Результат подтверждает, что A не является плохо обусловленной.

Исследуйте матрицу, которая в точности сингулярна, но имеет большой ненулевой определяющего. В теории определяющий любой сингулярной матрицы равен нулю, но из-за особенностей расчетов с плавающей точкой, этот идеал не всегда достижим.

Создадим диагонально доминирующую сингулярную матрицу A и просмотрите расположение ненулевых элементов.

A = diag([24 46 64 78 88 94 96 94 88 78 64 46 24]);
S = diag([-13 -24 -33 -40 -45 -48 -49 -48 -45 -40 -33 -24],1);
A = A + S + rot90(S,2);
spy(A)

A сингулярна, потому что строки линейно зависимы. Для образца, sum(A) создает нулевой вектор.

Вычислим определяющего A.

d = det(A)

d = 1.0597e+05

Определяющий A довольно велик, несмотря на то, что A сингулярно. На самом деле, определяющий A должен быть в точности нулем! Неточность d обусловлено накоплением ошибок округления в реализации MATLAB ® LU-разложения, что det используется для вычисления определяющего. Этот результат демонстрирует несколько важных аспектов вычисления числовых определяющих. Для получения дополнительной информации см. раздел «Ограничения».