gapmetric

Метрика погрешности и метрика Винникомба (nu-gap) для расстояния между двумя системами

Описание

пример

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2) вычисляет погрешность и метрики Винникомба (ν -gap) для расстояния между динамическими системами P1 и P2. Значения метрики погрешности удовлетворяют 0 ≤ nugapgap ≤ 1. Значения, близкие к нулю, подразумевают, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol) задает относительную точность для вычисления погрешностей.

Примеры

свернуть все

Создайте две модели объекта управления. Один объект, P1, является нестабильной системой первого порядка с передаточной функцией 1/( s-0,001). Другой объект, P2, стабильна, с передаточной функцией 1/( s + 0,001).

P1 = tf(1,[1 -0.001]); 
P2 = tf(1,[1 0.001]);

Несмотря на то, что один объект нестабилен, а другое стабильно, эти объекты близки по измерению gap и nugap метрики.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.0021
nugap = 0.0020

Зазор очень мал по сравнению с 1. Таким образом, контроллер, который приводит к стабильной системе с обратной связью с P2 также имеет тенденцию к стабилизации P1. Например, контроллер обратной связи C = 1 стабилизирует оба объекта и делает почти одинаковые усиления с обратной связью. Чтобы увидеть это, исследуйте функции чувствительности двух систем с обратной связью.

C = 1; 
H1 = loopsens(P1,C); 
H2 = loopsens(P2,C); 
subplot(2,2,1); bode(H1.Si,'-',H2.Si,'r--'); 
subplot(2,2,2); bode(H1.Ti,'-',H2.Ti,'r--'); 
subplot(2,2,3); bode(H1.PSi,'-',H2.PSi,'r--'); 
subplot(2,2,4); bode(H1.CSo,'-',H2.CSo,'r--');

Figure contains 8 axes. Axes 1 with title From: du To: u contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 3 with title From: du To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 4 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 5 with title From: du To: yP contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 6 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 7 with title From: dy To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 8 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2.

Затем рассмотрим две стабильные модели объекта управления, которые отличаются системой первого порядка. Один объект, P3, является передаточной функцией 50/( s + 50) и другим объектом, P4, - передаточная функция [50/( s + 50)] * 8/( s + 8).

P3 = tf(50,[1 50]); 
P4 = tf(8,[1 8])*P3;
figure
bode(P3,P4)

Figure contains 2 axes. Axes 1 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4.

Хотя две системы имеют сходную высокочастотную динамику и тот же коэффициент усиления единства на низкой частоте, gap и nugap метрики, объекты довольно далеко друг от друга.

[gap,nugap] = gapmetric(P3,P4)
gap = 0.6148
nugap = 0.6147

Рассмотрим объект и стабилизирующий контроллер.

P1 = tf([1 2],[1 5 10]);
C = tf(4.4,[1 0]);

Вычислите запас устойчивости для этого объекта управления и контроллера.

b1 = ncfmargin(P1,C)
b1 = 0.1961

Затем вычислите погрешность между P1 и возмущенный объект, P2.

P2 = tf([1 1],[1 3 10]);
[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.1391
nugap = 0.1390

Потому что запас устойчивости b1 = b(P1,C) больше, чем зазор между двумя объектами, C также стабилизирует P2. Как обсуждалось в Gap Metrics и Запасы устойчивости, запас устойчивости b2 = b(P2,C) удовлетворяет неравенству asin(b(P2,C)) ≥ asin(b1)-asin(gap). Подтвердите этот результат.

b2 = ncfmargin(P2,C);
[asin(b2) asin(b1)-asin(gap)]
ans = 1×2

    0.0997    0.0579

Входные параметры

свернуть все

Входы системы, заданные как динамическая система модели. P1 и P2 должны иметь одинаковые входные и выходные размерности. Если P1 или P2 - обобщенная модель пространства состояний (genss или uss) затем gapmetric использует текущее или номинальное значение всех блоков проекта системы управления.

Относительная точность для вычисления метрик погрешности, заданная как положительная скалярная величина. Если gapactual является истинным значением погрешности (или погрешности Винникомба), возвращаемое значение gap (или nugap) гарантированно удовлетворяет

|1 – gap/ gapactual | <tol.

Выходные аргументы

свернуть все

Зазор между P1 и P2, возвращенный как скаляр в области значений [0,1]. Значение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны.

Vinnicombe зазор (ν -gap) между P1 и P2, возвращенный как скалярное значение в области значений [0,1]. Как и в случае gapзначение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны. Потому что 0 ≤ nugapgap ≤ 1 ν-gap может обеспечить более строгий тест на робастность, как описано в Gap Metrics and Stability Margins.

Подробнее о

свернуть все

Метрика погрешности

Для объектов P 1 и P 2, позвольтеP1=N1M11 и P2=N2M21 будьте нормированы общие факторизации (см. rncf). Затем метрическая δg погрешности задается:

δg(P1,P2)=max{δg(P1,P2),δg(P2,P1)}.

Вот, δg(P1,P2) является directed gap, заданным

δg(P1,P2)=minстабильный Q(s)[M1N1][M2N2]Q.

Для получения дополнительной информации см. [1] и главу 17 [2].

Метрика разрыва Винникомба

Для P 1 и P 2, метрика погрешности Винникомба задается как

δν(P1,P2)=maxω(I+P2P2*)1/2(P1P2)(I+P1P1*)1/2,

при условии, что det(I+P2*P1) имеет номер правой обмотки. Здесь * обозначает сопряженный (см. ctranspose). Это выражение является взвешенной разницей между двумя частотными характеристиками P 1 (jω) и P 2 (jω). Для получения дополнительной информации см. главу 17 [2].

Метрики разрыва и запасы устойчивости

Метрики gap и ν-gap дают числовое значение δ (P 1 P 2) для расстояния между двумя системами LTI. Для обеих метрик удерживается следующий устойчивый результат эффективности:

arcsin <reservedrangesplaceholder9> (P 2, <reservedrangesplaceholder7> 2) ≥ arcsin <reservedrangesplaceholder6> (P 1, <reservedrangesplaceholder4> 1) - arcsin δ (P 1, <reservedrangesplaceholder2> 2) - arcsin δ (C 1, <reservedrangesplaceholder0> 2),

где b запас устойчивости (см. ncfmargin), принимая архитектуру отрицательной обратной связи, дается

b(P,C)=[IC](I+PC)1[IP]1=[IP](I+CP)1[IC]1.

Чтобы интерпретировать этот результат, предположим, что номинальное устройство P 1 стабилизировано контроллером C 1 с запасом устойчивости b (P 1, C 1). Затем, если P 1 возмущается P 2 и C 1 возмущается C 2, запас устойчивости ухудшается не более чем по вышеуказанной формуле. Для получения примера смотрите Вычисление метрики погрешности и Запас устойчивости.

ν -gap всегда меньше или равен разрыву, поэтому его предсказания с использованием вышеописанного результата робастности более жесткие.

Количество в b (P, C)–1 - коэффициент усиления сигнала от нарушений порядка на входе и выходе объекта на вход и выход контроллера.

Метрики разрыва в робастном проекте

Чтобы использовать метрики погрешности в устойчивом проекте, вы должны ввести функции взвешивания. В устойчивой формуле производительности замените P на W 2 P W 1 и замените C наW11CW21. Можно сделать подобные замены для P 1, P 2, C 1 и C 2. Эта форма делает функции взвешивания совместимыми с структурой взвешивания в процедуре системы управления формирования контура H ∞, используемой такими функциями, какloopsyn и ncfsyn.

Ссылки

[1] Georgiou, Tryphon T. «On the Computation of the Gap Metric». Системы и буквы 11, № 4 (октябрь 1988): 253-57. https://doi.org/10.1016/0167-6911 (88) 90067-9.

[2] Zhou, K., Doyle, J.C., Essentials of Robust Control. Лондон, Великобритания: Пирсон, 1997.

Представлено до R2006a
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте