gapmetric

Метрика погрешности и метрика Винникомба (nu-gap) для расстояния между двумя системами

Синтаксис

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol)

Описание

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2) вычисляет погрешность и метрики Винникомба (ν -gap) для расстояния между динамическими системами P1 и P2. Значения метрики погрешности удовлетворяют 0 ≤ nugap ≤ gap ≤ 1. Значения, близкие к нулю, подразумевают, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol) задает относительную точность для вычисления погрешностей.

Примеры

свернуть все

Вычисление метрики погрешности для стабильных и нестабильных моделей объекта управления

Попробовать в MATLAB

Создайте две модели объекта управления. Один объект, P1, является нестабильной системой первого порядка с передаточной функцией 1/( s-0,001). Другой объект, P2, стабильна, с передаточной функцией 1/( s + 0,001).

P1 = tf(1,[1 -0.001]); 
P2 = tf(1,[1 0.001]);

Несмотря на то, что один объект нестабилен, а другое стабильно, эти объекты близки по измерению gap и nugap метрики.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

gap = 0.0021

nugap = 0.0020

Зазор очень мал по сравнению с 1. Таким образом, контроллер, который приводит к стабильной системе с обратной связью с P2 также имеет тенденцию к стабилизации P1. Например, контроллер обратной связи C = 1 стабилизирует оба объекта и делает почти одинаковые усиления с обратной связью. Чтобы увидеть это, исследуйте функции чувствительности двух систем с обратной связью.

C = 1; 
H1 = loopsens(P1,C); 
H2 = loopsens(P2,C); 
subplot(2,2,1); bode(H1.Si,'-',H2.Si,'r--'); 
subplot(2,2,2); bode(H1.Ti,'-',H2.Ti,'r--'); 
subplot(2,2,3); bode(H1.PSi,'-',H2.PSi,'r--'); 
subplot(2,2,4); bode(H1.CSo,'-',H2.CSo,'r--');

Затем рассмотрим две стабильные модели объекта управления, которые отличаются системой первого порядка. Один объект, P3, является передаточной функцией 50/( s + 50) и другим объектом, P4, - передаточная функция [50/( s + 50)] * 8/( s + 8).

P3 = tf(50,[1 50]); 
P4 = tf(8,[1 8])*P3;
figure
bode(P3,P4)

Figure contains 2 axes. Axes 1 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4.

Хотя две системы имеют сходную высокочастотную динамику и тот же коэффициент усиления единства на низкой частоте, gap и nugap метрики, объекты довольно далеко друг от друга.

[gap,nugap] = gapmetric(P3,P4)

gap = 0.6148

nugap = 0.6147

Вычисление метрики погрешности и запаса устойчивости

Попробовать в MATLAB

Рассмотрим объект и стабилизирующий контроллер.

P1 = tf([1 2],[1 5 10]);
C = tf(4.4,[1 0]);

Вычислите запас устойчивости для этого объекта управления и контроллера.

b1 = ncfmargin(P1,C)

b1 = 0.1961

Затем вычислите погрешность между P1 и возмущенный объект, P2.

P2 = tf([1 1],[1 3 10]);
[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)

gap = 0.1391

nugap = 0.1390

Потому что запас устойчивости b1 = b(P1,C) больше, чем зазор между двумя объектами, C также стабилизирует P2. Как обсуждалось в Gap Metrics и Запасы устойчивости, запас устойчивости b2 = b(P2,C) удовлетворяет неравенству asin(b(P2,C)) ≥ asin(b1)-asin(gap). Подтвердите этот результат.

b2 = ncfmargin(P2,C);
[asin(b2) asin(b1)-asin(gap)]

ans = 1×2

    0.0997    0.0579

Входные параметры

свернуть все

`P1,P2` - Входные системы
Динамическая система модели

Входы системы, заданные как динамическая система модели. P1 и P2 должны иметь одинаковые входные и выходные размерности. Если P1 или P2 - обобщенная модель пространства состояний (genss или uss) затем gapmetric использует текущее или номинальное значение всех блоков проекта системы управления.

`tol` - Относительная точность
0,001 (по умолчанию) | положительная скалярная величина

Относительная точность для вычисления метрик погрешности, заданная как положительная скалярная величина. Если _gapactual является истинным значением погрешности (или погрешности Винникомба), возвращаемое значение gap (или nugap) гарантированно удовлетворяет

|1 – gap/ _gapactual | <tol.

Выходные аргументы

свернуть все

`gap` - Зазор между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

Зазор между P1 и P2, возвращенный как скаляр в области значений [0,1]. Значение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны.

`nugap` - Vinnicombe зазор (ν -gap) между `P1` и P2
скаляр в [0,1]

Vinnicombe зазор (ν -gap) между P1 и P2, возвращенный как скалярное значение в области значений [0,1]. Как и в случае gapзначение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями с обратной связью. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны. Потому что 0 ≤ nugap ≤ gap ≤ 1 ν-gap может обеспечить более строгий тест на робастность, как описано в Gap Metrics and Stability Margins.

Подробнее о

свернуть все

Метрика погрешности

Для объектов P 1 и _P 2, позвольте $P_{1} = N_{1} M_{1}^{- 1}$ и $P_{2} = N_{2} M_{2}^{- 1}$ будьте нормированы общие факторизации (см. rncf). Затем метрическая _δg погрешности задается:

$δ_{g} (P_{1}, P_{2}) = \max {{\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2}), {\vec{δ}}_{g} (P_{2}, P_{1})} .$

Вот, ${\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2})$ является directed gap, заданным

${\vec{δ}}_{g} (P_{1}, P_{2}) = \min_{стабильный Q (s)} {‖ [\begin{matrix} M_{1} \\ N_{1} \end{matrix}] - [\begin{matrix} M_{2} \\ N 2 \end{matrix}] Q ‖}_{\infty} .$

Для получения дополнительной информации см. [1] и главу 17 [2].

Метрика разрыва Винникомба

Для P 1 и _P 2, метрика погрешности Винникомба задается как

$δ_{ν} (P_{1}, P_{2}) = \max_{ω} {‖ {(I + P_{2} P_{2}^{*})}^{- 1 / 2} (P_{1} - P_{2}) {(I + P_{1} P_{1}^{*})}^{- 1 / 2} ‖}_{\infty},$

при условии, что $\det (I + P_{2}^{*} P_{1})$ имеет номер правой обмотки. Здесь * обозначает сопряженный (см. ctranspose). Это выражение является взвешенной разницей между двумя частотными характеристиками P 1 (jω) и P 2 (jω). Для получения дополнительной информации см. главу 17 [2].

Метрики разрыва и запасы устойчивости

Метрики gap и ν-gap дают числовое значение δ ₍P ₁ P 2) для расстояния между двумя системами LTI. Для обеих метрик удерживается следующий устойчивый результат эффективности:

arcsin <reservedrangesplaceholder9> (P 2, <reservedrangesplaceholder7> 2) ≥ arcsin <reservedrangesplaceholder6> (P 1, <reservedrangesplaceholder4> 1) - arcsin δ (P 1, <reservedrangesplaceholder2> 2) - arcsin δ (C 1, <reservedrangesplaceholder0> 2),

где b запас устойчивости (см. ncfmargin), принимая архитектуру отрицательной обратной связи, дается

$b (P, C) = {‖ [\begin{matrix} I \\ C \end{matrix}] {(I + P C)}^{- 1} [\begin{matrix} I & P \end{matrix}] ‖}_{\infty}^{- 1} = {‖ [\begin{matrix} I \\ P \end{matrix}] {(I + C P)}^{- 1} [\begin{matrix} I & C \end{matrix}] ‖}_{\infty}^{- 1} .$

Чтобы интерпретировать этот результат, предположим, что номинальное устройство P 1 стабилизировано контроллером _C 1 с запасом устойчивости b (P 1, C 1). Затем_, если P 1 возмущается P 2 и C 1 возмущается C 2, запас устойчивости ухудшается не более чем по вышеуказанной формуле. Для получения примера смотрите Вычисление метрики погрешности и Запас устойчивости.

ν -gap всегда меньше или равен разрыву, поэтому его предсказания с использованием вышеописанного результата робастности более жесткие.

Количество в b (P, C)^–1 - коэффициент усиления сигнала от нарушений порядка на входе и выходе объекта на вход и выход контроллера.

Метрики разрыва в робастном проекте

Чтобы использовать метрики погрешности в устойчивом проекте, вы должны ввести функции взвешивания. В устойчивой формуле производительности замените P на W 2 _P W 1 и замените C на $W_{1}^{- 1} C W_{2}^{- 1}$ . Можно сделать подобные замены для P 1, _P 2, C 1 и C 2. Эта форма делает функции взвешивания совместимыми с структурой взвешивания в процедуре системы управления формирования контура H ∞, используемой такими функциями, какloopsyn и ncfsyn.

Ссылки

[1] Georgiou, Tryphon T. «On the Computation of the Gap Metric». Системы и буквы 11, № 4 (октябрь 1988): 253-57. https://doi.org/10.1016/0167-6911 (88) 90067-9.

[2] Zhou, K., Doyle, J.C., Essentials of Robust Control. Лондон, Великобритания: Пирсон, 1997.

См. также

Представлено до R2006a

Документация по Robust Control Toolbox

Поддержка

Сообщество Экспонента

Документация

gapmetric

Синтаксис

Описание

Примеры

Вычисление метрики погрешности для стабильных и нестабильных моделей объекта управления

Вычисление метрики погрешности и запаса устойчивости

Входные параметры

P1,P2 - Входные системы Динамическая система модели

tol - Относительная точность 0,001 (по умолчанию) | положительная скалярная величина

Выходные аргументы

gap - Зазор между P1 и P2 скаляр в [0,1]

nugap - Vinnicombe зазор (ν -gap) между P1 и P2 скаляр в [0,1]

Подробнее о

Метрика погрешности

Метрика разрыва Винникомба

Метрики разрыва и запасы устойчивости

Метрики разрыва в робастном проекте

Ссылки

См. также

Документация по Robust Control Toolbox

Поддержка

`P1,P2` - Входные системы
Динамическая система модели

`tol` - Относительная точность
0,001 (по умолчанию) | положительная скалярная величина

`gap` - Зазор между `P1` и `P2`
скаляр в [0,1]

`nugap` - Vinnicombe зазор (ν -gap) между `P1` и P2
скаляр в [0,1]