Линейное матричное неравенство (LMI) и методы LMI оказались мощными инструментами проекта в областях от проектирования систем управления до системы идентификации и структурных проектов. Три фактора делают методы LMI привлекательными:
Различные спецификации и ограничения проекта могут быть выражены как LMI.
После того, как сформулированная в терминах LMI, задача может быть решена в точности эффективными алгоритмами выпуклой оптимизации (см. LMI Solvers).
Хотя в большинстве задач с несколькими ограничениями или целями отсутствуют аналитические решения с точки зрения матричных уравнений, они часто остаются отслеживаемыми в среде LMI. Это делает основанную на LMI проект ценной альтернативой классическим «аналитическим» методам.
Хорошее введение в концепции LMI см. в разделе [9]. Программное обеспечение Robust Control Toolbox™ спроектировано как легкий и прогрессивный шлюз к новой и быстро развивающейся области LMI:
Для пользователей, которым изредка нужно решать LMI-задачи, Редактор и учебное введение к концепциям и решателям обеспечивают быстрое и простое решение задач.
Для более опытных пользователей LMI LMI Lab предлагает богатое гибкое и полностью программируемое окружение для разработки индивидуальных инструментов LMI.
Функциональность Robust Control Toolbox LMI служит двум целям:
Предоставление современных инструментов для основанного на LMI анализа и проекты устойчивых систем управления
Предлагайте гибкое и удобное окружение для определения и решения общих задач LMI (LMI Lab)
Примеры основанных на LMI инструментов анализа и проекта включают
Функции для анализа устойчивой устойчивости и эффективности неопределенных систем с различными параметрами (popov, quadstab, quadperf ...)
Функции для разработки устойчивого управления с сочетанием H2, H∞ и целей размещения полюсов (h2hinfsyn)
Функции для синтезирования устойчивых контроллеров H∞ по расписанию усиления (hinfgs)
Для пользователей, заинтересованных в разработке собственных приложений, LMI Lab предоставляет универсальное и полностью программируемое окружение для определения и решения фактически любой LMI задачи. Обратите внимание, что возможности этого средства никоим образом не ограничены управляемыми приложениями.
Примечание
Программное обеспечение Robust Control Toolbox реализует современные решатели LMI внутренней точки. Несмотря на то, что эти решатели значительно быстрее классических алгоритмов выпуклой оптимизации, следует иметь в виду, что сложность расчетов LMI может быстро расти с порядком задачи (количеством состояний). Для примера количество операций, необходимых для решения уравнения Риккати, составляет o (n3) где n - размерность состояния, в то время как стоимость решения эквивалентного «неравенства Риккати» LMI составляет o (n6).
Линейное матричное неравенство (LMI) является любым ограничением вида
| A (<reservedrangesplaceholder4>) : = <reservedrangesplaceholder3> 0 + <reservedrangesplaceholder2> 1 <reservedrangesplaceholder1> 1 +... + xNAN <0 | (1) |
где
x = (x1,..., x N) - вектор неизвестных скаляров (переменные решения или оптимизации)
A0,..., A N заданы симметричные матрицы
< 0 обозначает «отрицательное определенное», т.е. самое большое собственное значение A (x) отрицательное
Обратите внимание, что ограничения A (x) > 0 и A (x) < B (x) являются особыми случаями уравнения 1, поскольку они могут быть переписаны как -A (x) < 0 и A (x) - B (x) < 0, соответственно.
LMI уравнения 1 является выпуклым ограничением на x, поскольку A (y) < 0 и A (z) < 0 подразумевают, что. В результате,
Его набор решений, называемый допустимым множеством, является выпуклым подмножеством RN
Нахождение решения x для Уравнения 1, если оно имеется, является выпуклой задачей оптимизации.
Выпуклость имеет важное следствие: хотя Уравнение 1 не имеет аналитического решения в целом, оно может быть решено численно с гарантиями нахождения решения, когда оно существует. Обратите внимание, что система ограничений LMI может рассматриваться как один LMI, поскольку
эквивалентно
где diag (A1 (x),..., AK (x)) обозначает блок-диагональную матрицу с
A1 (x),..., AK (x) на своей диагонали. Следовательно, несколько ограничений LMI могут быть наложены на вектор переменных решения x, не разрушая выпуклость.
В большинстве приложений управления LMI естественно возникают не в канонической форме уравнения 1, а скорее в форме
L (X1,..., Xn) < R (X1,.., Xn)
где L (.) и R (.) являются аффинными функциями некоторых структурированных матричных переменных X1,..., Xn. Простой пример - неравенство Ляпунова
| ATX + XA < 0 | (2) |
где неизвестная X является симметричной матрицей. Определяя x1,..., xN как независимые скалярные значения X, этот LMI может быть переписан в форме Уравнения 1. Тем не менее, более удобно и эффективно описать его в своей естественной форме Уравнение 2, которое является подходом, принятым в LMI Lab.