Логарифмически нормальное распределение

Обзор

Логарифмически нормальное распределение, иногда названное распределением Galton, является распределением вероятностей, логарифм которого имеет нормальное распределение. Логарифмически нормальное распределение применимо, когда количество интереса должно быть положительным, потому что журнал (x) существует только, когда x положителен.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с логарифмически нормальным распределением.

Создайте объект LognormalDistribution распределения вероятностей путем подбора кривой распределению вероятностей к выборочным данным (fitdist) или путем определения значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции, чтобы оценить распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с логарифмически нормальным распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (logncdf, lognpdf, logninv, lognlike, lognstat, lognfit, lognrnd) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких логарифмически нормальных дистрибутивов.
Используйте типичные функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Lognormal') и параметры.

Параметры

Логарифмически нормальное распределение использует эти параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`mu` (μ)	Среднее значение логарифмических значений	$- \infty < μ < \infty$
`sigma` (σ)	Стандартное отклонение логарифмических значений	$σ \geq 0$

Если X следует за логарифмически нормальным распределением с параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним µ и стандартным отклонением σ.

Оценка параметра

Чтобы соответствовать логарифмически нормальному распределению к данным и найти оценки параметра, используйте lognfit, fitdist или mle.

Для не прошедших цензуру данных lognfit и fitdist находят объективные оценки параметров распределения, и mle находит оценки наибольшего правдоподобия.
Для подвергнутых цензуре данных lognfit, fitdist и mle находят оценки наибольшего правдоподобия.

В отличие от lognfit и mle, который оценивает возвращаемый параметр, fitdist возвращает подходящий объект LognormalDistribution распределения вероятностей. Свойства объектов mu и sigma хранят оценки параметра.

Описательная статистика

Средний m и отклонение v логарифмически нормальной случайной переменной являются функциями логарифмически нормальных параметров распределения µ и σ:

$\begin{array}{l} m = \exp (μ + σ^{2} / 2) \\ v = \exp (2 μ + σ^{2}) (\exp (σ^{2}) - 1) \end{array}$

Кроме того, можно вычислить логарифмически нормальные параметры распределения µ и σ от среднего m и отклонения v:

$\begin{array}{l} μ = журнал (m^{2} / \sqrt{v + m^{2}}) \\ σ = \sqrt{журнал (v / m^{2} + 1)} \end{array}$

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) логарифмически нормального распределения

$y = f (x | μ, σ) = \frac{1}{x σ \sqrt{2 π}} \exp {\frac{- {(журнал x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, for для x > 0.$

Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) логарифмически нормального распределения

$p = F (x | μ, σ) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \exp {\frac{- {(журнал t - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}} d t, for для x > 0.$

Для примера смотрите, Вычисляют Логарифмически нормальное Распределение cdf.

Примеры

Вычислите Логарифмически нормальное Распределение PDF

Скрипт Open Live Script

Предположим, что доход семейства четыре в Соединенных Штатах следует за логарифмически нормальным распределением с mu = log(20,000) и sigma = 1. Вычислите и постройте доходную плотность.

Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',log(20000),'sigma',1)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 9.90349
    sigma =       1

Вычислите значения PDF.

x = (10:1000:125010)';
y = pdf(pd,x);

Постройте PDF.

plot(x,y)
h = gca;
h.XTick = [0 30000 60000 90000 120000];
h.XTickLabel = {'0','$30,000','$60,000',...
                    '$90,000','$120,000'};

Вычислите Логарифмически нормальное Распределение cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf значения, оцененные в значениях в x для логарифмически нормального распределения со средним mu и стандартным отклонением sigma.

x = 0:0.2:10;
mu = 0;
sigma = 1;
p = logncdf(x,mu,sigma);

Постройте cdf.

plot(x,p)
grid on
xlabel('x')
ylabel('p')

Отношение между нормальными и логарифмически нормальными дистрибутивами

Скрипт Open Live Script

Если X следует за логарифмически нормальным распределением с параметрами µ и σ, то регистрируйте (X), следует за нормальным распределением со средним значением µ и стандартное отклонение σ. Используйте объекты распределения, чтобы осмотреть отношение между нормальными и логарифмически нормальными дистрибутивами.

Создайте логарифмически нормальный объект распределения путем определения значений параметров.

pd = makedist('Lognormal','mu',5,'sigma',2)

pd = 
  LognormalDistribution

  Lognormal distribution
       mu = 5
    sigma = 2

Вычислите среднее значение логарифмически нормального распределения.

mean(pd)

ans = 1.0966e+03

Среднее значение логарифмически нормального распределения не равно параметру mu. Среднее значение логарифмических значений равно mu. Подтвердите это отношение путем генерации случайных чисел.

Сгенерируйте случайные числа от логарифмически нормального распределения и вычислите их логарифмические значения.

rng('default');  % For reproducibility
x = random(pd,10000,1);
logx = log(x);

Вычислите среднее значение логарифмических значений.

m = mean(logx)

m = 5.0033

Среднее значение журнала x близко к параметру mu x, потому что x имеет логарифмически нормальное распределение.

Создайте гистограмму logx с подгонкой нормального распределения.

histfit(logx)

График показывает, что логарифмические значения x нормально распределены.

histfit использует fitdist, чтобы соответствовать распределению к данным. Используйте fitdist, чтобы получить параметры, используемые в подборе кривой.

pd_normal = fitdist(logx,'Normal')

pd_normal = 
  NormalDistribution

  Normal distribution
       mu = 5.00332   [4.96445, 5.04219]
    sigma = 1.98296   [1.95585, 2.01083]

Предполагаемые параметры нормального распределения близко к логарифмически нормальным параметрам распределения 5 и 2.

Сравните Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs

Скрипт Open Live Script

Сравните логарифмически нормальный PDF с доходными данными об использовании PDF Берра, сгенерированными от логарифмически нормального распределения.

Сгенерируйте доходные данные.

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Соответствуйте распределению Шума.

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

Постройте и Шум и логарифмически нормальный pdfs поступивших данных по той же фигуре.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Связанные дистрибутивы

Нормальное распределение — логарифмически нормальное распределение тесно связано с нормальным распределением. Если X распределяется логарифмически нормально с параметрами μ и σ, то регистрируйте (x), обычно распределяется со средним μ и стандартным отклонением σ. Смотрите Отношение Между Нормальными и Логарифмически нормальными Дистрибутивами.
Подпилите Распределение Типа XII — распределение Шума является гибким семейством распределений, которое может выразить широкий спектр форм распределения. Это имеет как ограничивающий случай много обычно используемых дистрибутивов, таких как гамма, логарифмически нормальная, loglogistic, колоколообразные, и J-образные бета дистрибутивы (но не U-образное). Смотрите Выдерживают сравнение Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs.

Ссылки

[1] Abramowitz, M. и я. А. Стегун. Руководство математических функций. Нью-Йорк: Дувр, 1964.

[2] Эванс, M., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические Дистрибутивы. 2-й редактор, Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[3] Беззаконный, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Хобокен, NJ: Wiley-межнаука, 1982.

[4] Marsaglia, G. и В. В. Цанг. “Быстрый, Легко Реализованный метод для Выборки от Уменьшения или Симметричных Одномодовых Функций плотности”. SIAM Journal на Научном и Статистическом Вычислении. Издание 5, Номер 2, 1984, стр 349–359.

[5] Более кроткий, W. Q. и Л. А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.

[6] Настроение, утра, Ф. А. Грейбилл и Д. К. Боес. Введение в Теорию Статистики. 3-й редактор, Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1974. стр 540–541.

Документация