Exponenta Banner
exponenta event banner

норма

Норма линейной модели

свернуть все на странице

Синтаксис

n = норма (sys)
n = норма (sys, 2)
n = норма (sys, Inf)
[n, fpeak] = норма (sys, Inf)
[n, fpeak] = норма (sys, Inf, tol)

Описание

пример

n = norm(sys) или n = norm(sys,2) возвращает среднеквадратичные значения импульсной характеристики модели линейной динамической системы sys. Это значение эквивалентно H2 норме sys.

n = norm(sys,Inf) возвращает L∞ норму sys, который является пиковым усилением частотной характеристики sys по частотам. Для систем MIMO эта величина является пиковым усилением на всех частотах и всех направлениях ввода, что соответствует пиковому значению наибольшего сингулярного значения sys. Для устойчивых систем норма L∞ эквивалентна норме H∞. Дополнительные сведения см. в разделе hinfnorm (Надёжная панель инструментов управления).

пример

[n,fpeak] = norm(sys,Inf) также возвращает частоту fpeak при котором коэффициент усиления достигает своего пикового значения.

[n,fpeak] = norm(sys,Inf,tol) устанавливает относительную точность нормы L∞ в tol.

Примеры

свернуть все

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите H2 и L∞ нормы следующей дискретно-временной передаточной функции с временем выборки 0,1 секунды.

sys (z) = z3-2.841z2 + 2 .875z-1.004z3-2.417z2 + 2 .003z-0.5488.

Вычислите норму H2 передаточной функции. Нормой H2 является среднеквадратичное значение импульсной характеристики sys.

sys = tf([1 -2.841 2.875 -1.004],[1 -2.417 2.003 -0.5488],0.1);
n2 = norm(sys)
n2 = 1.2438

Вычислите норму L∞ передаточной функции.

[ninf,fpeak] = norm(sys,Inf)
ninf = 2.5721

fpeak = 3.0178

Поскольку sys является стабильной системой, ninf - пиковый коэффициент усиления частотной характеристики sys, и fpeak - частота, при которой происходит пиковое усиление. Подтвердите эти значения с помощью getPeakGain.

[gpeak,fpeak] = getPeakGain(sys)
gpeak = 2.5721

fpeak = 3.0178

Входные аргументы

свернуть все

Входная динамическая система, заданная как линейная динамическая системная модель или массив модели SISO или MIMO. sys может быть непрерывным или дискретным.

Относительная точность H∞ нормы, заданная как положительное действительное скалярное значение.

Выходные аргументы

свернуть все

H2 норма или L∞ норма sys, возвращается как скаляр или массив.

  • Если sys является единственной моделью, то n является скалярным значением.

  • Если sys является массивом модели, то n - массив того же размера, что и sys, где n(k) = norm(sys(:,:,k)).

Частота, при которой коэффициент усиления достигает пикового значения gpeak, возвращается как неотрицательное вещественное скалярное значение или массив неотрицательных вещественных значений. Частота выражается в единицах рад/TimeUnit, относительно TimeUnit имущество sys.

  • Если sys является единственной моделью, то fpeak является скаляром.

  • Если sys является массивом модели, то fpeak - массив того же размера, что и sys, где fpeak(k) - пиковая частота усиления sys(:,:,k).

Подробнее

свернуть все

H2 норма

Нормой H2 стабильной системы H является среднеквадратичное значение импульсной характеристики системы. Норма H2 измеряет установившуюся ковариацию (или мощность) выходного отклика y = Hw на входы белого шума блока w:

‖ H‖22=limEt→∞{y (t) Ty ( t ) } ,  E (w (t) w (

Норму H2 системы непрерывного времени с передаточной функцией H (s) задают:

‖H‖2=12π ∫− ∞∞ След [H (jω) ГД  (jω)] dω.

Для дискретно-временной системы с передаточной функцией H (z) H2 норма задаётся:

‖ H‖2=12π∫−ππTrace[H (ejλ) HH (ejü)] dλ.

Норма H2 бесконечна в следующих случаях:

  • sys нестабильно.

  • sys является непрерывным и имеет ненулевой проход (то есть ненулевой коэффициент усиления на частоте λ = ∞).

Используя norm(sys) дает тот же результат, что и sqrt(trace(covar(sys,1))).

Норма L-бесконечности

Нормой L∞ линейной системы SISO является пиковый коэффициент усиления частотной характеристики. Для системы MIMO L∞ нормой является пиковый коэффициент усиления для всех каналов ввода/вывода.

Для системы непрерывного времени H (s) это определение означает:

‖ H (s) ‖ L∞=maxω∈R'H  (  jλ )  |  (    SISO )  ‖  H  (s) ‖ L∞=maxω∈Rσmax (H (jλ)) ( MIMO )      

где startmax (·) обозначает наибольшее сингулярное значение матрицы.

Для дискретно-временной системы H (z) определение означает:

‖H (z) ‖L ∞ = maxθ ∈ [0,2π] | H   (ejθ)  |       (SISO)   ‖H    (z) ‖L ∞ = maxθ ∈ [0,2π]σmax (H (ejθ)) (MIMO)

Для устойчивых систем норма L∞ эквивалентна норме H∞. Дополнительные сведения см. в разделе hinfnorm (Надёжная панель инструментов управления). Для системы с неустойчивыми полюсами H∞ норма бесконечна. Для всех систем, norm возвращает L∞ норму, которая является пиковым коэффициентом усиления без учета стабильности системы.

Алгоритмы

После преобразования sys в модель пространства состояния, norm использует тот же алгоритм, что и covar для H2 нормы. Для L∞ нормы, norm использует алгоритм [1]. norm вычисляет пиковый коэффициент усиления с помощью библиотеки SLICOT. Дополнительные сведения о библиотеке SLICOT см. в разделе http://slicot.org.

Ссылки

[1] Bruisma, N.A. и M. Steinbuch, «Быстрый алгоритм для вычисления H∞-Norm матрицы передаточной функции», System Control Letters, 14 (1990), стр. 287-293.

См. также

| | | (инструментарий надежного управления)

Представлен до R2006a

Документация по панели инструментов системы управления

Поддержка