Документация

Прогнозирование

TSP и DSP дают различные прогнозы. В основном, толчки к TSP возвращаются к линии тренда $\mathit{c}+\mathit{}$δt по мере увеличения времени. Напротив, ударные воздействия на DSP могут быть постоянными с течением времени.

Например, рассмотрим простую стационарную модель тренда

и модель «разница-стационарность»

В этих моделях ${}_{\mathrm{\alpha 1},\mathit{}}$t и ${}_{\mathrm{}\alpha 2\mathit{,}}$ t являются независимыми инновационными процессами. Для этого примера нововведения являются независимыми и распределенными N (0,1).

Оба процесса растут со скоростью 0,2. Для расчета темпа роста для ТСП, имеющего линейный слагаемый $0\mathrm{.}\mathit{}$02t, установите ${}_{\mathrm{}\alpha 1\mathit{,}}\mathrm{t}$= 0. Затем решите ${\mathit{}}_{\mathrm{}модель\mathit{}}\mathit{y1},\mathit{t}$ = c $\mathit{+}$ δt $$для c и δ.

Раствор с $\mathit{}=\mathrm{}-\mathrm{}$1,8$,\mathrm{\delta }\mathrm{=}$0,2.

График для t = 1:1000 показывает, что TSP остается очень близко к линии тренда, в то время как DSP имеет постоянные отклонения от линии тренда.

T = 1000;   % Sample size
t = (1:T)'; % Period vector
rng(5);     % For reproducibility

randm = randn(T,2); % Innovations
y = zeros(T,2);     % Columns of y are data series

% Build trend stationary series
y(:,1) = .02*t + randm(:,1); 
for ii = 2:T
    y(ii,1) = y(ii,1) + y(ii-1,1)*.9;
end

% Build difference stationary series
y(:,2) = .2 + randm(:,2); 
y(:,2) = cumsum(y(:,2)); 

figure
plot(y(:,1),'b')
hold on
plot(y(:,2),'g')
plot((1:T)*0.2,'k--')
legend('Trend Stationary','Difference Stationary',...
    'Trend Line','Location','NorthWest')
hold off

Прогнозы, основанные на двух сериях, различны. Чтобы увидеть эту разницу, постройте график прогнозируемого поведения двух серий с помощью varm, estimate, и forecast. На следующем графике показаны последние 100 точек данных в двух сериях и предсказания следующих 100 точек, включая доверительные границы.

AR = {[NaN 0; 0 NaN]}; % Independent response series
trend = [NaN; 0];      % Linear trend in first series only
Mdl = varm('AR',AR,'Trend',trend);

EstMdl = estimate(Mdl,y);
EstMdl.SeriesNames = ["Trend stationary" "Difference stationary"];

[ynew,ycov] = forecast(EstMdl,100,y);
% This generates predictions for 100 time steps

seY = sqrt(diag(EstMdl.Covariance))'; % Extract standard deviations of y
CIY = zeros([size(y) 2]);             % In-sample intervals
CIY(:,:,1) = y - seY;
CIY(:,:,2) = y + seY;

extractFSE = cellfun(@(x)sqrt(diag(x))',ycov,'UniformOutput',false);
seYNew = cell2mat(extractFSE);
CIYNew = zeros([size(ynew) 2]); % Forecast intervals
CIYNew(:,:,1) = ynew - seYNew;
CIYNew(:,:,2) = ynew + seYNew;

tx = (T-100:T+100);
hs = 1:2;
figure;
for j = 1:Mdl.NumSeries
    hs(j) = subplot(2,1,j);
    hold on;
    h1 = plot(tx,tx*0.2,'k--');
    axis tight;
    ha = gca;
    h2 = plot(tx,[y(end-100:end,j); ynew(:,j)]);
    h3 = plot(tx(1:101),squeeze(CIY(end-100:end,j,:)),'r:');
    plot(tx(102:end),squeeze(CIYNew(:,j,:)),'r:');
    h4 = fill([tx(102) ha.XLim([2 2]) tx(102)],ha.YLim([1 1 2 2]),[0.7 0.7 0.7],...
        'FaceAlpha',0.1,'EdgeColor','none');
    title(EstMdl.SeriesNames{j});
    hold off;
end
legend(hs(1),[h1 h2 h3(1) h4],...
    {'Trend','Process','Interval estimate','Forecast horizon'},'Location','Best');

Проверьте установленные параметры, передав расчетную модель в summarize, и вы найдете estimate проделал отличную работу.

TSP имеет доверительные интервалы, которые не растут со временем, тогда как DSP имеет доверительные интервалы, которые растут. Кроме того, TSP быстро переходит к линии тренда, в то время как DSP не стремится к линии тренда $\mathit{y}\mathrm{=}\mathrm{}\mathit{}$0,2t асимптотически.

Ложная регрессия

Наличие единичных корней может привести к ложным выводам в регрессиях между временными рядами.

Предположим, _{что xt} и _yt являются корневыми процессами единиц с независимыми приращениями, такими как случайные прогулки с дрейфом

где _αi (t) являются независимыми инновационными процессами. Регрессия y на x приводит, в общем, к ненулевому коэффициенту регрессии и значимому коэффициенту определения ^R2. Этот результат сохраняется, несмотря на то, что _xt и _yt являются независимыми случайными прогулками.

Если оба процесса имеют тренды (_ci ≠ 0), существует корреляция между x и y из-за их линейных трендов. Однако даже если _ci = 0, наличие единичных корней в процессах _xt и _yt дает корреляцию. Дополнительные сведения о ложной регрессии см. в разделах Грейнджер и Ньюболд [1] и Регрессия временных рядов IV: Ложная регрессия.

Тесты Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона

adftest выполняет дополненный тест Дики-Фуллера. pptest выполняет тест Филлипса-Перрона. Эти два класса тестов имеют нулевую гипотезу корневого процесса единицы вида

какие функции проверяют на соответствие альтернативной модели

где γ < 1. Нулевые и альтернативные модели для теста Дики-Фуллера подобны моделям для теста Филлипса-Перрона. Разница в том, что adftest расширяет модель с дополнительными параметрами, учитывающими последовательную корреляцию между инновациями:

где

Филлипс-Перрон корректирует статистику теста для учета последовательной корреляции.

Существует три варианта того и другого. adftest и pptest, соответствующие следующим значениям 'model' параметр:

Для получения информации о том, как выбрать соответствующее значение 'model'см. раздел Выбор моделей для тестирования.

Испытание KPSS

Тест KPSS, kpsstest, является обратным критерию Филлипса-Перрона: он меняет нулевые и альтернативные гипотезы. В тесте KPSS используется модель:

Здесь _ut - стационарный процесс, а _vt - i.i.d. процесс со средним значением 0 и дисперсией start2. Нулевая гипотеза - то, что σ2  = 0, так, чтобы случайный термин прогулки _ct стал постоянной точкой пересечения. Альтернативой является start2  > 0, который вводит корень единицы в случайной ходьбе.

Тест коэффициента дисперсии

Тест коэффициента дисперсии, vratiotest, основан на том, что дисперсия случайной ходьбы линейно увеличивается со временем. vratiotest может также учитывать гетероскедастичность, где дисперсия увеличивается с переменной скоростью со временем. Тест имеет нулевые гипотезы случайной прогулки:

Преобразовать данные

Преобразуйте временной ряд, чтобы он был приблизительно линейным перед тестированием корня единицы. Если ряд имеет экспоненциальный рост, возьмите его логарифм. Например, ВВП и потребительские цены обычно имеют экспоненциальный рост, поэтому проверьте их логарифмы для единичных корней.

Если требуется преобразовать данные в стационарные, а не приблизительно линейные, тесты корня единиц измерения помогут определить, следует ли различать данные или вычитать линейный тренд. Обсуждение этой темы см. в разделе Что такое корневой тест устройства?

Выбор моделей для тестирования

Определить соответствующие задержки

Установка соответствующих лагов зависит от используемого теста:

Проведение корневых тестов блока на нескольких лагах

Одновременное выполнение нескольких тестов путем ввода вектора параметров для lags, alpha, model, или test. Все векторные параметры должны иметь одинаковую длину. Тест расширяет любой скалярный параметр до длины векторного параметра. Пример использования этого метода см. в разделе Проверка данных временных рядов для корня блока.