Документация

h = waldtest(r,R,EstCov) возвращает логическое значение (h) с решением об отказе от проведения теста Wald спецификации модели.

waldtest строит тестовую статистику с использованием рестрикционной функции и ее якобиана, а также значения неограниченной модели ковариационной оценки, все оцененные при неограниченных оценках параметров (r, R, и EstCovсоответственно).

Если какой-либо входной аргумент является вектором ячейки длиной k > 1, то другими входными аргументами должны быть массивы ячеек длиной k. waldtest(r,R,EstCov) рассматривает каждую ячейку как отдельный независимый тест и возвращает вектор решений об отказе.
Если какой-либо входной аргумент является вектором строки, то программа возвращает выходные аргументы в виде векторов строк.

h = waldtest(r,R,EstCov,alpha) возвращает решение об отклонении теста Вальда, проведенного на уровне значимости alpha.

[h,pValue] = waldtest(___) возвращает решение об отклонении и значение p (pValue) для проверки гипотезы, используя любой из входных аргументов в предыдущих синтаксисах.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(___) дополнительно возвращает статистику теста (stat) и критическое значение (cValue) для теста гипотезы.

Примеры

Оценка спецификаций модели с помощью теста Wald

Проверка значительных эффектов запаздывания в регрессионной модели временного ряда.

Загрузите набор данных ВВП США.

load Data_GDP

Постройте график ВВП по времени.

plot(dates,Data)
datetick

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Сериал, кажется, увеличивается в геометрической прогрессии.

Преобразуйте данные с помощью натурального логарифма.

logGDP = log(Data);

logGDP увеличивается во времени, поэтому предположим, что есть значительный эффект задержки 1. Чтобы использовать тест Вальда для проверки наличия значительного эффекта запаздывания 2, необходимо:

Оценочные коэффициенты неограниченной модели
Функция ограничения, оцениваемая при неограниченных значениях коэффициентов модели
Якобиан функции ограничения, оцениваемой при неограниченных значениях коэффициентов модели
Оценочная, неограниченная ковариационная матрица параметров.

Неограниченная модель:

$_{yt} =_{} {β0}_{} +_{}_{} {β1yt-1}_{+}_{}$ β2yt-2 + αt.

Оцените коэффициенты неограниченной модели.

LagLGDP = lagmatrix(logGDP,1:2);
UMdl = fitlm(table(LagLGDP(:,1),LagLGDP(:,2),logGDP));

UMdl является встроенным LinearModel модель. Он содержит, среди прочего, соответствующие коэффициенты неограниченной модели.

Ограничение β2 $_{} =$ 0. Следовательно, рестрикционная функция (r) и якобиан (R) являются:

$r =_{}$ β2
$R = \begin{array}{c} [ \end{array}$ 001]

Укажите r, R и расчетную ковариационную матрицу неограниченного параметра.

r = UMdl.Coefficients.Estimate(3);
R = [0 0 1];
EstParamCov = UMdl.CoefficientCovariance;

Тест на значительный эффект запаздывания 2 с использованием теста Вальда.

[h,pValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)

h = logical
   1

pValue = 1.2521e-07

h = 1 указывает, что нулевая ограниченная гипотеза ( $_{β2} =$ 0) должна быть отвергнута в пользу альтернативной неограниченной гипотезы.pValue довольно мал, что говорит о наличии веских доказательств такого результата.

Оценка условной гетероскедастичности с помощью теста Вальда

Проверка наличия значительных эффектов ARCH в моделируемой серии ответов с использованием waldtest.

Предположим, что моделью для моделируемых данных является AR (1) с дисперсией ARCH (1). Символично, что модель

$_{yt} = 0_{.}_{9yt-1}$ + αt,

где

$_{αt} =_{} \sqrt{_{}}$ wtht
$_{ht} = 1 +_{0 .}^{}$ 5αt-12
$_{wt}$ - гауссов со средним значением 0 и дисперсией 1.

Укажите модель для моделируемых данных.

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной моделью AR (1) с дисперсией ARCH (1).

Смоделировать предварительную выборку и эффективные примеры ответов из Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the Jacobian
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon - случайный путь инноваций из VarMdl. Фильтры программного обеспечения epsilon через Mdl для получения случайного пути отклика y.

Укажите неограниченную модель, предполагая, что условная средняя модель равна

$_{yt} = c_{} +_{}_{} δ 1yt-1$ + αt,

где $_{ht} =_{} {α0}_{} +_{}^{}$ α1αt-12. Подогнать смоделированные данные (y) к неограниченной модели с использованием предварительных наблюдений.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Variance',UVarMdl);
[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),...
    'E0',epsilon(psI),'V0',condVariance(psI),'Display','off');

UEstMdl является установленной, неограниченной моделью, и UEstParamCov - оценочная ковариация параметров неограниченной модели.

Нулевая гипотеза состоит в том, что $_{α1} =$ 0, т.е. ограниченная модель является AR (1) с гауссовыми инновациями, которые имеют среднюю 0 и постоянную дисперсию. Таким образом, ограничительная функция $представляет собой r (_{start}$ ) = α1, $где_{start=} =_{} [c_{,}^{}$ δ 1, α0, α1] ′. Компоненты теста Вальда:

Функция ограничения, оцениваемая при неограниченных оценках параметров, является ${_{}^{}}_{r=αˆ1}$ .
Якобиан r, оцененный при неограниченных параметрах модели, равен $R = \begin{array}{c} [ \end{array}$ 0001].
Неограниченная модель оценивает ковариационную матрицу параметра UEstParamCov.

Укажите r и R.

r = UEstMdl.Variance.ARCH{1};
R = [0, 0, 0, 1];

Проверьте нулевую гипотезу, что $_{α1} =$ 0 на уровне значимости 1%, используяwaldtest.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,UEstParamCov,0.01)

h = logical
   0

pValue = 0.0549

stat = 3.6846

cValue = 6.6349

h = 0 указывает, что нулевая ограниченная модель не должна отклоняться в пользу альтернативной неограниченной модели. Этот результат согласуется с моделью для смоделированных данных.

Проверка нескольких спецификаций вложенных моделей

Оценка спецификаций модели путем тестирования нескольких ограниченных моделей с использованием моделируемых данных. Истинной моделью является ARMA (2,1)

$_{yt} = 3 +_{0 .}_{}_{} 9yt-1-0.5yt-2 +_{αt} +$ 0 .7αt-1,

где $_{αt}$ - гауссов со средним значением 0 и дисперсией 1.

Укажите истинную модель ARMA (2,1) и смоделируйте 100 значений отклика.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility 
y = simulate(TrueMdl,T);

Укажите неограниченную модель и имена моделей-кандидатов для тестирования.

UMdl = arima(2,0,2);
RMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

UMdl является неограниченной моделью ARMA (2,2 ).RMdlNames является массивом ячеек строк, содержащих имена ограниченных моделей.

Поместите неограниченную модель в смоделированные данные.

[UEstMdl,UEstParamCov] = estimate(UMdl,y,'Display','off');

UEstMdl является установленной, неограниченной моделью, и UEstParamCov - матрица ковариации оцененного параметра.

Неограниченная модель имеет шесть параметров. Для построения функции ограничения и ее якобиана необходимо знать порядок параметров в UEstParamCov. Для этого arima модель, заказ $[c,_{ϕ1},_{ϕ2},_{}_{θ1θ2},^{σ2}$ ].

Каждая модель-кандидат соответствует функции ограничения. Поместите векторы рестрикционной функции в отдельные ячейки клеточного вектора.

rf1 = UEstMdl.MA{2};                          % ARMA(2,1)
rf2 = cell2mat(UEstMdl.MA)';                  % AR(2)
rf3 = UEstMdl.AR{2};                          % ARMA(1,2)
rf4 = [UEstMdl.AR{2};UEstMdl.MA{2}]';         % ARMA(1,1)
rf5 = [UEstMdl.AR{2};cell2mat(UEstMdl.MA)'];  % AR(1)
rf6 = cell2mat(UEstMdl.AR)';                  % MA(2)
rf7 = [cell2mat(UEstMdl.AR)';UEstMdl.MA{2}];  % MA(1)
r = {rf1;rf2;rf3;rf4;rf5;rf6;rf7};

r является клеточным вектором векторов 7 на 1, соответствующим функции рестрикции для моделей-кандидатов.

Поместить якобиан каждой рестрикционной функции в отдельные соответствующие клетки клеточного вектора. Порядок элементов в якобиане должен соответствовать порядку элементов в UEstParamCov.

J1 = [0 0 0 0 1 0];                           % ARMA(2,1)   
J2 = [0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % AR(2)      
J3 = [0 1 0 0 0 0];                           % ARMA(1,2)  
J4 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0];              % ARMA(1,1)  
J5 = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % AR(1)      
J6 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0];              % MA(2)      
J7 = [1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0]; % MA(1)      
R = {J1;J2;J3;J4;J5;J6;J7};

R является клеточным вектором векторов 7 на 1, соответствующим функции рестрикции для моделей-кандидатов.

Поместите матрицу ковариации оцененного параметра в каждую ячейку вектора ячейки 7 на 1.

EstCov = cell(7,1); % Preallocate
for j = 1:length(EstCov)
    EstCov{j} = UEstParamCov;
end

Примените тест Wald на уровне значимости 1%, чтобы найти соответствующие ограниченные спецификации модели.

alpha = .01;
h = waldtest(r,R,EstCov,alpha);
RestrictedModels = RMdlNames(~h)

RestrictedModels = 1x5 cell
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}    {'MA(1)'}

RestrictedModels перечисляет наиболее подходящие модели с ограниченным доступом.

Можно снова протестировать, но использовать ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Проведение теста Wald с использованием нелинейных функций ограничения

Проверьте, имеют ли параметры вложенной модели нелинейное отношение.

Загрузите набор данных двустороннего спотового валютного курса Deutschmark/British Pound.

load Data_MarkPound

Набор данных (Data) содержит временной ряд цен.

Преобразуйте цены в возвраты и постройте график серии возвращений.

returns = price2ret(Data);

figure
plot(returns)
axis tight
ylabel('Returns')
xlabel('Days, 02Jan1984 - 31Dec1991')
title('{\bf Deutschmark/British Pound Bilateral Spot Exchange Rate}')

$Figure contains an axes. The axes with title {\bf Deutschmark/British Pound Bilateral Spot Exchange Rate} contains an object of type line.$

Возвращаемый ряд показывает признаки гетероскедастичности.

Предположим, что модель GARCH (1,1) является подходящей моделью для данных. Поместите модель GARCH (1,1) в данные, включая константу.

Mdl = garch(1,1);
[EstMdl,EstParamCov] = estimate(Mdl,returns);

 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                  Value       StandardError    TStatistic      PValue  
                __________    _____________    __________    __________

    Constant    1.0535e-06     3.5048e-07        3.0058       0.0026487
    GARCH{1}       0.80657        0.01291        62.478               0
    ARCH{1}        0.15436       0.011574        13.336      1.4293e-40

g1 = EstMdl.GARCH{1};
a1 = EstMdl.ARCH{1};

g1 - оценочный эффект GARCH, и a1 - оценочный эффект ARCH.

Следующее может представлять взаимосвязи между коэффициентами GARCH и ARCH:

$_{}_{} γ1α1=1$
$_{}_{} γ1+α1=1$

где $_{γ 1}$ - эффект GARCH, а $_{α1}$ - эффект ARCH. Задайте эти отношения как ограничительную функцию $r (start)$ = 0, вычисленную при неограниченных оценках параметров модели. Эта спецификация определяет вложенную модель с ограниченным доступом.

r = [g1*a1; g1+a1] - 1;

Укажите якобиан вектора функции ограничения.

R = [0, a1, g1;0, 1, 1];

Проведите тест Вальда, чтобы оценить, достаточно ли доказательств для отклонения модели с ограниченным доступом.

[h,pValue,stat,cValue] = waldtest(r,R,EstParamCov)

h = logical
   1

pValue = 0

stat = 1.4595e+04

cValue = 5.9915

h = 1 указывает, что имеется достаточно доказательств, чтобы отклонить ограниченную модель в пользу неограниченной модели. pValue = 0 указывает, что доказательства отклонения модели с ограниченным доступом являются убедительными.

Входные аргументы

`r` - Функции ограничения
скаляр | вектор | вектор клетки скаляров или векторы

Функции ограничения, соответствующие ограниченным моделям, заданным как скаляр, вектор или вектор ячейки скаляров или векторов.

Если r представляет собой q-вектор или одноэлементный клеточный массив, содержащий q-вектор, затем программное обеспечение проводит один тест Вальда. q должно быть меньше числа неограниченных параметров модели.
Если r является вектором ячейки длиной k > 1, а ячейка j содержит _{qj-вектор}, j = 1,..., k, то программное обеспечение проводит k независимых тестов Вальда. Каждый _qj должен быть меньше числа неограниченных параметров модели.

Типы данных: double | cell

`R` - Функция ограничения якобинцы
вектор строки | матрица | вектор ячейки векторов строк или матриц

Рестрикционная функция Jacobians, заданная как вектор строки, матрица или вектор ячейки векторов строки или матриц.

Предположим, что r1,..., _rq - это функции ограничения q, а неограниченные параметры модели - Затем функция ограничения Jacobian

$R = \begin{matrix} \frac{(_{}}{_{}} & \frac{\partialr1\partialθ1 ._{.}}{._{}} \\ \frac{_{}}{_{}} & \frac{_{}}{_{}} \end{matrix}$ ∂r1∂θp⋮⋱⋮∂rq∂θ1⋯∂rq∂θp).
Если R представляет собой матрицу q-by-p или матрицу одиночных ячеек, содержащую матрицу q-by-p, затем программное обеспечение проводит один тест Вальда. q должно быть меньше p, что является числом неограниченных параметров модели.
Если R является вектором ячейки длиной k > 1, и ячейка j содержит матрицу _qj-by-pj, j = 1,..., k, затем программное обеспечение проводит k независимых тестов Вальда. Каждый _qj должен быть меньше _pj, что является количеством неограниченных параметров в модели j.

Типы данных: double | cell

`EstCov` - Неограниченная оценка ковариации параметра модели
матрица | клеточный вектор матриц

Неограниченные оценки ковариации параметра модели, определенные как матрица или вектор ячейки матриц.

Если EstCov представляет собой матрицу p-by-p или матрицу одиночных ячеек, содержащую матрицу p-by-p, затем программное обеспечение проводит один тест Вальда. p - количество неограниченных параметров модели.
Если EstCov является вектором ячейки длиной k > 1, и ячейка j содержит матрицу _pj-by-pj, j = 1,..., k, затем программное обеспечение проводит k независимых тестов Вальда. Каждый _pj - это количество неограниченных параметров в модели j.

Типы данных: double | cell

`alpha` - Номинальные уровни значимости
0,05 (по умолчанию) | скаляр | вектор

Номинальные уровни значимости для тестов гипотезы, определенные как скаляр или вектор.

Каждый элемент alpha должно быть больше 0 и меньше 1.

При проведении k > 1 испытаний,

Если alpha является скаляром, то программное обеспечение расширяет его до вектора k-by-1.
Если alpha является вектором, то он должен иметь длину k.

Типы данных: double

Выходные аргументы

`h` - Решения об отказе от тестирования
логический | вектор логикалов

Решения об отклонении теста, возвращаемые как логическое значение или вектор логических значений с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

h = 1 указывает на отклонение нулевой ограниченной модели в пользу альтернативной неограниченной модели.
h = 0 указывает на отказ отклонить нулевую ограниченную модель.

`pValue` - Тестовые статистические значения p
скаляр | вектор

Проверка статистических значений p, возвращаемых в виде скаляра или вектора с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`stat` - Статистика испытаний
скаляр | вектор

Статистика тестов, возвращаемая в виде скаляра или вектора с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

`cValue` - Критические значения
скаляр | вектор

Критические значения, определенные alpha, возвращаемый как скаляр или вектор с длиной, равной количеству тестов, которые проводит программное обеспечение.

Подробнее