Модель ARIMA, включающая экзогенные ковариаты

Модель ARIMAX (p, D, q)

Авторегрессивная модель движущегося среднего значения, включающая экзогенные ковариаты, ARMAX (p, q), расширяет модель ARMA (p, q), включая линейный эффект, который один или несколько экзогенных рядов оказывают на yt стационарного _ряда реакций. Общая форма модели ARMAX (p, q)

y_{t} = \sum_{i = 1}^{p} ϕ_{i} y_{t - i} + \sum_{k = 1}^{r} β_{k} x_{t k} + ε_{t} + \sum_{j = 1}^{q} θ_{j} ε_{t - j},

(1)

и имеет следующую конденсированную форму в обозначении оператора задержки:

ϕ (L) y_{t} = c + x_{t}^{'} β + θ (L) ε_{t} .

(2)

В уравнении 2 вектор

x_{t}^{'}

содержит значения r экзогенных, изменяющихся во времени предикторов в t времени с коэффициентами, обозначенными β.

Можно использовать эту модель, чтобы проверить, имеет ли набор экзогенных переменных эффектов на линейных временных рядах. Например, предположим, что вы хотите измерить, как средняя цена нефти на предыдущей неделе, _xt, влияет на _yt обменного курса США на этой неделе. Обменный курс и цена нефти являются временными рядами, поэтому модель ARMAX может быть подходящей для изучения их отношений.

Соглашения и расширения модели ARIMAX

Модели ARMAX имеют те же требования к стационарности, что и модели ARMA. В частности, серия откликов стабильна, если корни однородного характеристического уравнения $ϕ (L) = L^{p} - ϕ_{1} L^{p - 1} - ϕ_{2} L^{p - 2} - ... - ϕ_{p} L^{p} = 0$ лежать вне модуля круга согласно Wold's Decomposition [2].
Если _yt серии откликов не является стабильным, то можно различить его, чтобы сформировать стационарную модель ARIMA. Сделайте это, задав степени интегрирования D. Econometrics Toolbox™ обеспечивает стабильность AR- полинома. Когда вы задаете AR- модели, используя arimaпрограмма отображает ошибку, если вы вводите коэффициенты, которые не соответствуют стабильному полиному. Точно так же estimate накладывает ограничения стационарности во время оценки.
Программа различает ряд откликов, _yt перед включением экзогенных ковариат, если вы задаете степень интегрирования D. Другими словами, экзогенные ковариаты входят в модель со стационарным ответом. Поэтому модель ARIMAX (p, D, q) является
$ϕ (L) y_{t} = c^{*} + x_{t}^{'} β + θ^{*} (L) ε_{t},$ (3)
где c^* = c / (1 – L)^D и^*(L) = θ(L)/( 1 - L)^D. Впоследствии интерпретация β изменилась на ожидаемый эффект, который модулю увеличение предиктора оказывает на различие между текущими и отстающими значениями отклика (обусловленное этими отстающими значениями).
Вы должны оценить, являются ли _xt ряда предикторов стационарными. Различие всех рядов предикторов, которые не являются стационарными diff на этапе предварительной обработки данных. Если _xt нестационарна, то тест на значимость β может привести к ложному отрицанию. Практическая интерпретация β изменяется, если вы различаете ряд предикторов.
Программное обеспечение использует максимальную оценку правдоподобия для условных средних моделей, таких как модели ARIMAX. Для распределения нововведений можно задать t Гауссова или Студента.
Можно включать сезонные компоненты в модель ARIMAX (см. Мультипликативная модель ARIMA), которая создает модель SARIMAX (p, D, q₎ (_ps, _Ds, qs) s. Принимая, что последовательный yt отклика является стационарным, модель имеет вид

$ϕ (L) Φ (L) y_{t} = c + x_{t}^{'} β + θ (L) Θ (L) ε_{t},$
где Φ(L) и Θ(L) являются сезонными полиномами задержки. Если _yt не является стационарным, то можно задать степени несезонного или сезонного интегрирования с помощью arima. Если вы задаете Seasonality ≥ 0, программное обеспечение применяет к ответу степень одно сезонное дифференцирование (_Ds = 1). В противном случае _Ds = 0. Программное обеспечение включает экзогенные ковариаты после того, как оно различает ответ.
Программа обрабатывает экзогенные ковариаты как фиксированные во время оценки и вывода.

Ссылки

[1] Box, G. E. P., G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel. Анализ временных рядов: прогнозирование и управление. 3-й эд. Englewood Cliffs, Нью-Джерси: Prentice Hall, 1994.

[2] Wold, H. A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.

См. также

arima

Документация