conjugatebvarm

Байесовская модель вектора авторегрессии (VAR) с сопряженной предшествующей для вероятности данных

Описание

Объект модели Bayesian VAR conjugatebvarm определяет совместное предшествующее или следующее распределение массива коэффициентов модели Λ и инновационная ковариационная матрица Σ вара <reservedrangesplaceholder1>-D (<reservedrangesplaceholder0>) модель. Априорное распределение соединений (И, И) является зависимой, матричной-нормальной-обратной-Wishart сопряженной моделью.

В целом, когда вы создаете объект модели Bayesian VAR, он задает совместное предшествующее распределение и характеристики только модели VARX. То есть объект модели является шаблоном, предназначенным для дальнейшего использования. В частности, чтобы включить данные в модель для апостериорного анализа распределения, передайте объект модели и данные в соответствующую функцию объекта.

Создание

Синтаксис

PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags,Name,Value)

Описание

Как создать conjugatebvarm объект используйте либо conjugatebvarm функцию (описанную здесь) или bayesvarm функция. Синтаксисы для каждой функции схожи, но опции различаются. bayesvarm позволяет вам легко установить предыдущие значения гиперзначений параметров для Миннесоты до [1] регуляризации, в то время какconjugatebvarm требует полной спецификации предшествующих гиперпараметров распределения.

пример

PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags) создает numseries-D Bayesian VAR (numlags) объект модели PriorMdl, который задает размерности и предыдущие допущения для всех коэффициентов модели $Λ = {[\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}]}^{'}$ и инновации ковариация, где:

numseries = m, количество переменных временных рядов откликов.
numlags = p, полином AR порядка.
Совместное априорное распределение (И, И) является зависимой, матричной-нормальной-обратной-Wishart сопряженной моделью.

пример

PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags,Name,Value) устанавливает свойства, доступные для записи (кроме NumSeries и P) с использованием аргументов пары "имя-значение". Заключайте каждое имя свойства в кавычки. Для примера, conjugatebvarm(3,2,'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]) задает имена трех переменных отклика в модели Bayesian VAR (2).

Входные параметры

расширить все

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

Количество m временных рядов, заданное как положительное целое число. numseries задает размерность многомерной переменной отклика _yt и инновационных _εt.

numseries устанавливает NumSeries свойство.

Типы данных: double

`numlags` - Количество откликов с отставанием
неотрицательное целое число

Количество отстающих ответов в каждом уравнении y t, заданное в виде неотрицательного целого числа. Получившаяся модель является VAR (numlags) модель; каждая задержка имеет numseries-by- numseries матрица коэффициентов.

numlags устанавливает P свойство.

Типы данных: double

Свойства

расширить все

Можно задать значения свойств записи, когда вы создаете объект модели с помощью синтаксиса аргумента пары "имя-значение" или после того, как вы создаете объект модели с помощью записи через точку. Например, чтобы создать 3-D модель Bayesian VAR (1) и пометить переменные первой-третьей характеристики, а затем включить линейный временной термин тренда, введите:

PriorMdl = conjugatebvarm(3,1,'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]);
PriorMdl.IncludeTrend = true;

Характеристики модели и размерность

`Description` - Описание модели
строковый скаляр | вектор символов

Описание модели, заданное как строковый скаляр или вектор символов. Значение по умолчанию описывает размерность модели, например '2-Dimensional VAR(3) Model'.

Пример: "Model 1"

Типы данных: string | char

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Количество m временных рядов, заданное как положительное целое число. NumSeries задает размерность многомерной переменной отклика _yt и инновационных εt_.

Типы данных: double

`P` - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Многомерный авторегрессионный полином порядка, заданный как неотрицательное целое число. P - это максимальная задержка, которая имеет ненулевую матрицу коэффициентов.

P задает количество предварительных наблюдений, необходимых для инициализации модели.

Типы данных: double

`SeriesNames` - Имена рядов ответов
вектор строка | массив ячеек из векторов символов

Имена рядов ответов, заданные как NumSeries длина строки вектор. Значение по умолчанию является ['Y1' 'Y2'... 'Y <reservedrangesplaceholder0>']. conjugatebvarm хранит SeriesNames как строковый вектор.

Пример: ["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]

Типы данных: string

`IncludeConstant` - Флаг включения модели константы c
`true` (по умолчанию) | `false`

Флаг для включения постоянной c модели, заданный как значение в этой таблице.

Значение	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают константу модели.
`true`	Все уравнения отклика содержат константу модели.

Типы данных: logical

`IncludeTrend` - Флаг включения терминов линейного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

Флаг для включения линейного временного термина тренда δt, заданный как значение в этой таблице.

Значение	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают линейный срок тренда времени.
`true`	Все уравнения отклика содержат линейный срок тренда времени.

Типы данных: logical

`NumPredictors` - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели, заданное в виде неотрицательного целого числа. conjugatebvarm включает все переменные предиктора симметрично в каждое уравнение отклика.

Гиперпараметры Распределения

`Mu` - Среднее значение векторизованной матрицы normal previous на
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

Среднее значение векторизованной матрицы normal on, заданное как NumSeries * k-by-1 числовой вектор, где k = NumSeries * P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Му (1: k) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(1), Му ((k + 1): (2* k)) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(2)и так далее. Для набора индексов, соответствующих уравнению:

Элементы 1 через NumSeries соответствуют задержке 1 AR коэффициентов переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
Элементы NumSeries + 1 через 2*NumSeries соответствуют задержке 2 коэффициентов AR переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
В целом элементы (q - 1) * NumSeries + 1 через q* NumSeries соответствует задержке q Коэффициенты AR переменных отклика, упорядоченные по SeriesNames.
Если IncludeConstant является true, элемент NumSeries*P + 1 является моделью постоянной.
Если IncludeTrend является true, элемент NumSeries*P + 2 - линейный коэффициент тренда времени.
Если NumPredictors > 0, элементы NumSeries*P + 3 через k составляют вектор коэффициентов регрессии экзогенных переменных.

Этот рисунок показывает структуру транспонирования Mu для 2-D модели VAR (3), которая содержит постоянный вектор и четыре экзогенных предиктора:

$[\overset{y_{1, t}}{\overset{︷}{\begin{matrix} ϕ_{1, 11} & ϕ_{1, 12} & ϕ_{2, 11} & ϕ_{2, 12} & ϕ_{3, 11} & ϕ_{3, 12} & c_{1} & β_{11} & β_{12} & β_{13} & β_{14} \end{matrix}}} \overset{y_{2, t}}{\overset{︷}{\begin{matrix} ϕ_{1, 21} & ϕ_{1, 22} & ϕ_{2, 21} & ϕ_{2, 22} & ϕ_{3, 21} & ϕ_{3, 22} & c_{2} & β_{21} & β_{22} & β_{23} & β_{24} \end{matrix}}}],$

где

ϕ _qjk является элементом (j, k) матрицы коэффициентов AR q задержки.
c j является моделью, константой в уравнении переменной j отклика.
B _j u является коэффициентом регрессии экзогенной переменной, u в уравнении переменной отклика j.

Совет

bayesvarm позволяет вам задавать Mu легко при использовании метода регуляризации Миннесоты. Чтобы задать Mu непосредственно:

Установите отдельные переменные для предыдущего среднего значения каждой матрицы коэффициентов и вектора.
Горизонтально конкатенируйте все средства коэффициентов в этом порядке:

$C o e f f = [\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}] .$
Векторизация транспонирования средней матрицы коэффициентов.
```
Mu = Coeff.';
Mu = Mu(:);
```

Типы данных: double

`V` - Масштабированная условная ковариационная матрица векторизованной матрицы normal previous on
`eye(NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors)` (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

Масштабированная условная ковариационная матрица векторизованной матрицы normal pormal on, заданная как k-by- k симметричная, положительно определенная матрица, где k = NumSeries * P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Индексы строка и столбец соответствуют всем коэффициентам модели относительно коэффициентов в уравнении первой переменной отклика y _1, t (для получения дополнительной информации см. «Алгоритмы»).

Элементы 1 через NumSeries соответствуют задержке 1 AR коэффициентов переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
Элементы NumSeries + 1 через 2*NumSeries соответствуют задержке 2 коэффициентов AR переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
В целом элементы (q - 1) * NumSeries + 1 через q* NumSeries соответствуют задержке q Коэффициенты AR переменных отклика, упорядоченные по SeriesNames.
Элементный NumSeries*P + 1 является моделью постоянной.
Элементный NumSeries*P + 2 - линейный коэффициент тренда времени.
Элементный NumSeries*P + 3 через k составляют вектор коэффициентов регрессии экзогенных переменных.

Например, рассмотрим 3-D модель VAR (2), содержащую постоянную и четыре экзогенные переменные.

V(1,1) является Var (_{ϕ 1,11}), Var _(ϕ 1,21) и Var ₍ϕ 1,31).
V(1,4) Co (_{ϕ 1,11}_{, ϕ} 2,11), Co ₍ϕ _1,21, ϕ 2,21) и _Co _(ϕ 1,31, ϕ 2,31).
V(8,9) является Cov (_β 11_, β 12), Co (_β 21, β 22) и Co (β 31, β 32), которые являются ковариациями коэффициентов регрессии первой и второй экзогенных переменных для всех уравнений.

Совет

bayesvarm позволяет вам создать любую предшествующую модель Bayesian VAR и задать V легко при использовании метода регуляризации Миннесоты.

Типы данных: double

`Omega` - Матрица шкалы обратного желания
`eye(numseries)` (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

Матрица шкалы Обратного Желания, заданная как NumSeries-by- NumSeries положительная определенная числовая матрица.

Типы данных: double

`DoF` - Обратные степени свободы Wishart
`numseries + 10` (по умолчанию) | положительный числовой скаляр

Обратные степени свободы Wishart, заданные как положительный числовой скаляр.

Для правильного распределения задайте значение, которое больше numseries – 1. Для распределения с конечным средним задайте значение, которое больше numseries + 1.

Типы данных: double

Параметры модели VAR, выведенные из распределительных гиперпараметров

`AR` - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1_..., Φ <reservedrangesplaceholder0>
вектор камеры числовых матриц

Это свойство доступно только для чтения.

Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1..., Φ <reservedrangesplaceholder1> связался с изолированными ответами, определенными как P-D вектор камеры NumSeries-by- NumSeries числовые матрицы.

AR {j} is, _j, матрица коэффициентов задержки j . Строки соответствуют уравнениям, а столбцы соответствуют отстающим переменным отклика; SeriesNames определяет порядок переменных отклика и уравнений. Знаки коэффициентов являются знаками модели VAR, выраженными в обозначении разностного уравнения.

Если P = 0, AR - пустая камера. В противном случае AR - набор средств коэффициентов AR, извлеченных из Mu.

Типы данных: cell

`Constant` - Среднее распределение постоянных c модели
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение модели константы c (или точки пересечения), заданное как NumSeries-by-1 числовой вектор. Константа (j) - константа в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeConstant = false, Constant - пустой массив. В противном случае Constant - модель среднего вектора константы, извлеченная из Mu.

Типы данных: double

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение линейного временного δ тренда, заданное как NumSeries-by-1 числовой вектор. Тренд (j) - линейный временной тренд в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeTrend = false (по умолчанию), Trend - пустой массив. В противном случае Trend - среднее значение коэффициента линейного временного тренда, извлеченное из Mu.

Типы данных: double

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β
числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии B, сопоставленной с переменными экзогенного предиктора, заданное как NumSeries-by- NumPredictors числовая матрица.

Бета (j,:) содержит коэффициенты регрессии каждого предиктора в уравнении переменной отклика j y j_, т. Бета (:, k) содержит коэффициенты регрессии в каждом уравнении предиктора _xk. По умолчанию все переменные предиктора находятся в регрессионном компоненте всех уравнений отклика. Можно уменьшить вес предиктора из уравнения, задав, для соответствующего коэффициента, предшествующее среднее значение 0 в Mu и небольшое отклонение в V.

Когда вы создаете модель, переменные предиктора являются гипотетическими. Вы задаете данные предиктора, когда вы работаете с моделью (для примера, когда вы оцениваете апостериор при помощи estimate). Столбцы данных предиктора определяют порядок столбцов Beta.

Типы данных: double

`Covariance` - Среднее распределение инноваций ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение ковариационной матрицы NumSeries инновации в каждый момент времени t = 1,..., T, заданные как NumSeries-by- NumSeries положительная определенная числовая матрица. Строки и столбцы соответствуют инновациям в уравнениях переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.

Типы данных: double

Функции объекта

`estimate`	Оцените апостериорное распределение параметров модели Байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`forecast`	Прогнозные отклики из модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`simsmooth`	Сглаживание симуляции модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`simulate`	Симулируйте коэффициенты и инновации ковариационной матрицы модели Байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`summarize`	Сводная статистика распределения модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)

Примеры

свернуть все

Создайте Матрицу -Normal-Inverse-Wishart Сопряженную Предшествующую Модель

Открыть Live Script

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) для инфляции в США (INFL), безработица (UNRATE), и федеральные фонды (FEDFUNDS) ставки.

$[\begin{array}{llllllllllllllllllll} {INFL}_{t} \\ {UNRATE}_{t} \\ {FEDFUNDS}_{t} \end{array}] = c + \sum_{j = 1}^{4} Φ_{j} [\begin{array}{llllllllllllllllllll} {INFL}_{t - j} \\ {UNRATE}_{t - j} \\ {FEDFUNDS}_{t - j} \end{array}] + [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ε_{1, t} \\ ε_{2, t} \\ ε_{3, t} \end{array}] .$

Для всех $t$ , $ε_{t}$ - серия независимых 3-D нормальных инноваций со средним значением 0 и ковариацией $Σ$ . Примите следующие предыдущие распределения:

${[Φ_{1}, . . ., Φ_{4}, c]}^{'} | Σ \sim Ν_{13 \times 3} (Μ, V, Σ)$ , где M является матрицей средств 13 на 3 и $V$ - матрица шкалы между коэффициентами 13 на 13. Эквивалентно, $vec ({[Φ_{1}, . . ., Φ_{4}, c]}^{'}) | Σ \sim Ν_{39} (vec (Μ), Σ \otimes V)$ .
$Σ \sim I n v e r s e W i s h a r t (Ω, ν)$ , где $Ω$ является матрицей шкалы 3 на 3 и $ν$ - степени свободы.

Создайте сопряженную предшествующую модель для параметров модели 3-D VAR (4).

numseries = 3;
numlags = 4;
PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [13x13 double]
              Omega: [3x3 double]
                DoF: 13
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

PriorMdl является conjugatebvarm Байесовский объект модели VAR, представляющий предшествующее распределение коэффициентов и инноваций ковариации модели 3-D VAR (4). На отображении командной строки показаны свойства модели. Можно отобразить свойства при помощи записи через точку.

Отобразите предыдущие средние матрицы четырех коэффициентов AR путем установки каждой матрицы в камере на переменную.

AR1 = PriorMdl.AR{1}

AR1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR2 = PriorMdl.AR{2}

AR2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR3 = PriorMdl.AR{3}

AR3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR4 = PriorMdl.AR{4}

AR4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

conjugatebvarm центрируют все коэффициенты AR в 0 по умолчанию. The AR свойство доступно только для чтения, но определяется из свойства writable Mu.

Создайте сопряженную байесовскую модель AR (2)

Открыть Live Script

Рассмотрим 1-D байесовскую модель AR (2) для ежедневных возвратов NASDAQ со 2 января 1990 года по 31 декабря 2001 года .

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 1} + ε_{t} .$

Априорными являются:

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ϕ_{1} & ϕ_{2} & c \end{array}]^{'} | σ^{2} \sim N_{3} (μ, σ^{2} V)$ , где $μ$ является вектором коэффициентных средств 3 на 1 и $V$ является масштабированной ковариационной матрицей 3 на 3.
$σ^{2} \sim IG (α, β)$ , где $α = \frac{ν}{2}$ является степенями свободы и $β = \frac{Ω}{2}$ - шкала.

Создайте сопряженную предшествующую модель для параметров модели AR (2).

numseries = 1;
numlags = 2;
PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "1-Dimensional VAR(2) Model"
          NumSeries: 1
                  P: 2
        SeriesNames: "Y1"
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [3x1 double]
                  V: [3x3 double]
              Omega: 1
                DoF: 11
                 AR: {[0]  [0]}
           Constant: 0
              Trend: [1x0 double]
               Beta: [1x0 double]
         Covariance: 0.1111

conjugatebvarm интерпретирует ковариационную матрицу инноваций как обратную случайную переменную Wishart. Поскольку шкалы и степени свободы гиперпараметров среди обратного Wishart и обратных гамма- распределений не равны, можно настроить их с помощью записи через точку. Для примера, чтобы достичь 10 степеней свободы для обратной гамма интерпретации, установите обратные степени свободы Wishart равными 20.

PriorMdl.DoF = 20

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "1-Dimensional VAR(2) Model"
          NumSeries: 1
                  P: 2
        SeriesNames: "Y1"
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [3x1 double]
                  V: [3x3 double]
              Omega: 1
                DoF: 20
                 AR: {[0]  [0]}
           Constant: 0
              Trend: [1x0 double]
               Beta: [1x0 double]
         Covariance: 0.0556

Задайте имена плотности и отклика коэффициента высокой задержки

Открыть Live Script

В модели 3-D VAR (4) Create Matrix-Normal-Inverse-Wishart Conjugate Private Model рассмотрите исключение лагов 2 и 3 из модели.

Вы не можете исключить матрицы коэффициентов из моделей, но можно задать высокую предшествующую герметичность на нуле для коэффициентов, которые вы хотите исключить.

Создайте сопряженную предшествующую модель для параметров модели 3-D VAR (4). Задайте имена переменных отклика.

По умолчанию предшествующие средства коэффициента AR равны нулю. Задайте значения высокой герметичности для лагов 2 и 3 путем установки их предыдущих отклонений на 1e-6. Оставьте все другие значения плотности коэффициентов по умолчанию:

1 для отклонений коэффициентов AR
1e3 для отклонений постоянных векторов
0 для всех ковариаций коэффициентов

Кроме того, только для сопряженных байесовских моделей VAR, MATLAB ® принимает, что отклонения коэффициентов пропорциональны между уравнениями отклика. Поэтому задайте отклонения относительно первого уравнения.

numseries = 3;
numlags = 4;
seriesnames = ["INFL"; "UNRATE"; "FEDFUNDS"];
vPhi1 = ones(1,numseries);
vPhi2 = 1e-6*ones(1,numseries);
vPhi3 = 1e-6*ones(1,numseries);
vPhi4 = ones(1,numseries);
vc = 1e3;
V = diag([vPhi1 vPhi2 vPhi3 vPhi4 vc]);
PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames,...
    'V',V)

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["INFL"    "UNRATE"    "FEDFUNDS"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [13x13 double]
              Omega: [3x3 double]
                DoF: 13
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Подготовьте предшествующее для переменных экзогенного предиктора

Открыть Live Script

Рассмотрим 2-D модель VARX (1) для реального ВВП США (RGDP) и инвестиции (GCE) тарифы, которые лечат личное потребление (PCEC) скорость как экзогенная:

$[\begin{array}{llllllllllllllllllll} {RGDP}_{t} \\ {GCE}_{t} \end{array}] = c + Φ [\begin{array}{llllllllllllllllllll} {RGDP}_{t - 1} \\ {GCE}_{t - 1} \end{array}] + {PCEC}_{t} β + ε_{t} .$

Для всех $t$ , $ε_{t}$ - серия независимых 2-D нормальных инноваций со средним значением 0 и ковариацией $Σ$ . Примите следующие предыдущие распределения:

${[\begin{array}{c} Φ & c & β \end{array}]}^{'} | Σ \sim Ν_{4 \times 2} (Μ, V, Σ)$ , где M является матрицей средств 4 на 2 и $V$ - матрица шкалы между коэффициентами 4 на 4. Эквивалентно, $vec ({[\begin{array}{c} Φ & c & β \end{array}]}^{'}) | Σ \sim Ν_{8} (vec (Μ), Σ \otimes V)$ .
$Σ \sim I n v e r s e W i s h a r t (Ω, ν)$ , где И является матрицей шкалы 2 на 2 и $ν$ - степени свободы.

Создайте сопряженную предшествующую модель для параметров модели 2-D VARX (1).

numseries = 2;
numlags = 1;
numpredictors = 1;
PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags,'NumPredictors',numpredictors)

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "2-Dimensional VAR(1) Model"
          NumSeries: 2
                  P: 1
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 1
                 Mu: [8x1 double]
                  V: [4x4 double]
              Omega: [2x2 double]
                DoF: 12
                 AR: {[2x2 double]}
           Constant: [2x1 double]
              Trend: [2x0 double]
               Beta: [2x1 double]
         Covariance: [2x2 double]

Отобразите среднее значение коэффициентов Mu с соответствующими коэффициентами.

coeffnames = ["phi(11)"; "phi(12)"; "c(1)"; "beta(1)"; "phi(21)"; "phi(22)"; "c(2)"; "beta(2)"];
array2table(PriorMdl.Mu,'VariableNames',{'PriorMean'},'RowNames',coeffnames)

ans=8×1 table
               PriorMean
               _________

    phi(11)        0    
    phi(12)        0    
    c(1)           0    
    beta(1)        0    
    phi(21)        0    
    phi(22)        0    
    c(2)           0    
    beta(2)        0

Установите предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Открыть Live Script

conjugatebvarm опции позволяют вам задавать предыдущие значения гиперзначений параметров непосредственно, но bayesvarm опции хорошо подходят для настройки гиперпараметров по методу регуляризации Миннесоты.

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) Create Matrix-Normal-Inverse-Wishart Сопряженная предыдущая модель. Модель содержит 39 коэффициентов. Для разреженности коэффициентов создайте сопряженную байесовскую модель VAR при помощи bayesvarm. Задайте следующее, априори:

Каждый ответ является моделью AR (1), в среднем с коэффициентом задержки 1 0,75.
Предшествующие ковариации масштабных коэффициентов распадаются с увеличением задержки со скоростью 2 (то есть более низкие лаги важнее, чем более высокие лаги).

numseries = 3;
numlags = 4;
PriorMdl = bayesvarm(numseries,numlags,'ModelType','conjugate',...
    'Center',0.75,'Decay',2)

PriorMdl = 
  conjugatebvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [13x13 double]
              Omega: [3x3 double]
                DoF: 13
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Отобразите предшествующее средство коэффициента в уравнении первой характеристики.

Phi1 = PriorMdl.AR{1}

Phi1 = 3×3

    0.7500         0         0
         0    0.7500         0
         0         0    0.7500

Phi2 = PriorMdl.AR{2}

Phi2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi3 = PriorMdl.AR{3}

Phi3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi4 = PriorMdl.AR{4}

Phi4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Отобразите тепловую карту предыдущих масштабированных ковариаций коэффициентов в первом уравнении отклика.

% Create labels for the chart.
numARCoeffMats = PriorMdl.NumSeries*PriorMdl.P;
arcoeffnames = strings(numARCoeffMats,1);
for r = numlags:-1:1
    arcoeffnames(((r-1)*numseries+1):(numseries*r)) = ["\phi_{"+r+",11}" "\phi_{"+r+",12}" "\phi_{"+r+",13}"];
end

heatmap(arcoeffnames,arcoeffnames,PriorMdl.V(1:end-1,1:end-1));

Figure contains an object of type heatmap.

Для сопряженных байесовских моделей VAR масштабные ковариации пропорциональны среди уравнений.

Работа с предыдущими и апостериорными распределениями

Открыть Live Script

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) Create Matrix-Normal-Inverse-Wishart Сопряженная предыдущая модель. Оцените апостериорное распределение и сгенерируйте прогнозы из соответствующего апостериорного прогнозного распределения.

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите набор макроэкономических данных США. Вычислите уровень инфляции. Постройте график всех ответных рядов.

load Data_USEconModel
seriesnames = ["INFL" "UNRATE" "FEDFUNDS"];
DataTable.INFL = 100*[NaN; price2ret(DataTable.CPIAUCSL)];

figure
plot(DataTable.Time,DataTable{:,seriesnames})
legend(seriesnames)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent INFL, UNRATE, FEDFUNDS.

Стабилизировать показатели безработицы и федеральных средств путем применения первого различия к каждой серии.

DataTable.DUNRATE = [NaN; diff(DataTable.UNRATE)];
DataTable.DFEDFUNDS = [NaN; diff(DataTable.FEDFUNDS)];
seriesnames(2:3) = "D" + seriesnames(2:3);

Удалите все отсутствующие значения из данных.

rmDataTable = rmmissing(DataTable);

Создайте предыдущую модель

Создайте сопряженную предшествующую модель Bayesian VAR (4) для трех рядов откликов. Задайте имена переменных отклика.

numseries = numel(seriesnames);
numlags = 4;

PriorMdl = conjugatebvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames);

Оценка апостериорного распределения

Оцените апостериорное распределение путем передачи предыдущей модели и целого ряда данных в estimate.

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,rmDataTable{:,seriesnames},'Display','equation');

Bayesian VAR under conjugate priors
Effective Sample Size:          197
Number of equations:            3
Number of estimated Parameters: 39
                                                                                 VAR Equations                                                                                
           | INFL(-1)  DUNRATE(-1)  DFEDFUNDS(-1)  INFL(-2)  DUNRATE(-2)  DFEDFUNDS(-2)  INFL(-3)  DUNRATE(-3)  DFEDFUNDS(-3)  INFL(-4)  DUNRATE(-4)  DFEDFUNDS(-4)  Constant 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 INFL      |  0.1260     -0.4400        0.1049      0.3176     -0.0545        0.0440      0.4173      0.2421        0.0515      0.0247     -0.1639        0.0080      0.1064  
           | (0.0713)    (0.1395)      (0.0366)    (0.0810)    (0.1490)      (0.0386)    (0.0802)    (0.1467)      (0.0400)    (0.0838)    (0.1385)      (0.0369)    (0.0774) 
 DUNRATE   | -0.0236      0.4440        0.0350      0.0900      0.2295        0.0520     -0.0330      0.0567        0.0010      0.0298     -0.1665        0.0104     -0.0536  
           | (0.0396)    (0.0774)      (0.0203)    (0.0449)    (0.0827)      (0.0214)    (0.0445)    (0.0814)      (0.0222)    (0.0465)    (0.0768)      (0.0205)    (0.0430) 
 DFEDFUNDS | -0.1514     -1.3408       -0.2762      0.3275     -0.2971       -0.3041      0.2609     -0.6971        0.0130     -0.0692      0.1392       -0.1341     -0.3902  
           | (0.1517)    (0.2967)      (0.0777)    (0.1722)    (0.3168)      (0.0820)    (0.1705)    (0.3120)      (0.0851)    (0.1782)    (0.2944)      (0.0785)    (0.1646) 
 
       Innovations Covariance Matrix       
           |   INFL     DUNRATE  DFEDFUNDS 
-------------------------------------------
 INFL      |  0.2725   -0.0197     0.1407  
           | (0.0270)  (0.0106)   (0.0417) 
 DUNRATE   | -0.0197    0.0839    -0.1290  
           | (0.0106)  (0.0083)   (0.0242) 
 DFEDFUNDS |  0.1407   -0.1290     1.2322  
           | (0.0417)  (0.0242)   (0.1220)

Поскольку априорный является сопряженным для вероятности данных, апостериор является conjugatebvarm объект. По умолчанию estimate использует первые четыре наблюдения в качестве предварительной выборки для инициализации модели.

Сгенерируйте прогнозы из апостериорного прогнозирующего распределения

Из апостериорного прогнозирующего распределения сгенерируйте прогнозы на двухлетнем горизонте. Поскольку для выборки из апостериорного прогнозирующего распределения требуется весь набор данных, задайте предыдущую модель в forecast вместо апостериорной.

fh = 8;
FY = forecast(PriorMdl,fh,rmDataTable{:,seriesnames});

FY - матрица прогнозов 8 на 3.

Постройте график конца набора данных и прогнозов.

fp = rmDataTable.Time(end) + calquarters(1:fh);
figure
plotdata = [rmDataTable{end - 10:end,seriesnames}; FY];
plot([rmDataTable.Time(end - 10:end); fp'],plotdata)
hold on
plot([fp(1) fp(1)],ylim,'k-.')
legend(seriesnames)
title('Data and Forecasts')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Data and Forecasts contains 4 objects of type line. These objects represent INFL, DUNRATE, DFEDFUNDS.

Вычислительные импульсные характеристики

Постройте функции импульсной характеристики путем передачи апостериорных оценок в armairf.

armairf(PosteriorMdl.AR,[],'InnovCov',PosteriorMdl.Covariance)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 2 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 3 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Подробнее о

расширить все

Байесовский вектор векторной авторегрессии (VAR)

A Bayesian VAR model обрабатывает все коэффициенты и ковариационную матрицу инноваций как случайные переменные в m -мерной, стационарной модели VARX (p). Модель имеет одну из трех форм, описанных в этой таблице.

Модель	Уравнение
VAR (p) редуцированной формы в обозначении разностного уравнения	$y_{t} = Φ_{1} y_{t - 1} + ... + Φ_{p} y_{t - p} + c + δ t + Β x_{t} + ε_{t} .$
Многомерная регрессия	$y_{t} = Z_{t} λ + ε_{t} .$
Матричная регрессия	$y_{t} = Λ^{'} z_{t}^{'} + ε_{t} .$

Для каждого временного t = 1,..., T:

_yt - m -мерный вектор наблюдаемой отклика, где m = numseries.
_Φ1,..._, - p являются m -by m матрицами коэффициентов AR лагов с 1 по p, где p = numlags.
c - вектор m -by-1 констант модели, если IncludeConstant является true.
δ - вектор m -by-1 коэффициентов линейного временного тренда, если IncludeTrend является true.
Β - m -by - r матрица коэффициентов регрессии вектора r -by - 1 наблюдаемых экзогенных предикторов x t, где r = NumPredictors. Все переменные предиктора появляются в каждом уравнении.
$z_{t} = [\begin{matrix} y_{t - 1}^{'} & y_{t - 2}^{'} & \dots & y_{t - p}^{'} & 1 & t & x_{t}^{'} \end{matrix}],$ который является вектором 1-by- (mp + r + 2), и _Z t является m -by- m (mp + r + 2) блочной диагональной матрицей

$[\begin{matrix} z_{t} & 0_{z} & \dots & 0_{z} \\ 0_{z} & z_{t} & \dots & 0_{z} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0_{z} & 0_{z} & 0_{z} & z_{t} \end{matrix}],$
где 0 z является 1-бай- (mp + r + 2) вектором нулей.
$Λ = {[\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}]}^{'}$ , которая является (mp + r + 2) -by m случайной матрицей коэффициентов, и m (mp + r + 2) -by-1 вектор λ = vec (
_εt является m-на-1 вектором случайных, последовательно некоррелированных, многомерных нормальных инноваций с нулевым вектором для среднего и m -by- m матрицы Это предположение подразумевает, что вероятность данных является

$ℓ (Λ, Σ | y, x) = \prod_{t = 1}^{T} f (y_{t}; Λ, Σ, z_{t}),$
где f m - размерная многомерная нормальная плотность со средним <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> Λ и ковариацией Σ, оценен в <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>.

Прежде, чем рассмотреть данные, Вы налагаете joint prior distribution предположение на (Λ,Σ), которым управляет распределение π (Λ,Σ). В байесовском анализе распределение параметров обновляется информацией о параметрах, полученных из вероятности данных. Результатом является joint posterior distribution π (Λ,Σ|<reservedrangesplaceholder2>,<reservedrangesplaceholder1>,<reservedrangesplaceholder0>0), где:

Y - T матрица m, содержащая весь ряд ответов _{y t}, t = 1,..., T.
X - T матрица m, содержащая весь экзогенный ряд _{x t}, t = 1,..., T.
Y 0 является p -by - m матрицей предварительных образцов данных, используемых для инициализации модели VAR для оценки.

Зависимая, матричная-Normal-Inverse-Wishart сопряженная модель

dependent, matrix-normal-inverse-Wishart conjugate model вар <reservedrangesplaceholder3>-D Bayesian (<reservedrangesplaceholder2>) модель, в которой условное предшествующее распределение Λ 'Σ является матрицей, нормальной со средней матрицей Μ и матрицы шкалы Σ и V. Предшествующее распределение И является обратным Wishart с шкалой матрицы и степеней ν свободы.

Символически:

$\begin{array}{l} Λ | Σ ~ N_{(m p + r + 1_{c} + 1_{δ}) \times m} (Μ, V, Σ) \\ Σ ~ Инверсия Уишарт (Ω, ν), \end{array}$

что подразумевает, для λ = vec ( $λ | Σ ~ N_{m (m p + r + 1_{c} + 1_{δ})} (μ, Σ \otimes V),$ где

μ = vec (U) = Mu.
V = V.
r = NumPredictors.
1 c 1, если IncludeConstant true, и 0 в противном случае.
1 δ 1, если IncludeTrend true, и 0 в противном случае.

Чтобы достичь апостериорных распределений, которые являются сопряженными для вероятности данных, ковариации матрицы коэффициентов AR должны быть пропорциональны среди уравнений. И для каждого уравнения ковариации с само- и перекрестной задержкой должны быть равными.

Апостериорные распределения

$\begin{array}{l} Λ | Σ, y_{t}, x_{t} ~ N_{(m p + r + 1_{c} + 1_{δ}) \times m} (\bar{Μ}, \bar{V}, Σ) \\ Σ | y_{t}, x_{t} ~ Инверсия Уишарт (\bar{Ω}, \bar{ν}), \end{array}$

где:

$\bar{Μ} = {(V^{- 1} + \sum_{t = 1}^{T} z_{t}^{'} z_{t})}^{- 1} (V^{- 1} Μ + \sum_{t = 1}^{T} z_{t}^{'} y_{t}^{'}) .$
$\bar{V} = {(V^{- 1} + \sum_{t = 1}^{T} z_{t}^{'} z_{t})}^{- 1} .$
$\bar{Ω} = Ω + \sum_{t = 1}^{T} y_{t} y_{t}^{'} + Μ V^{- 1} Μ - \bar{Μ} {\bar{V}}^{- 1} \bar{Μ} .$
$\bar{ν} = T + ν .$

Алгоритмы

Если вы передаете либо conjugatebvarm или diffusebvarm объект и данные estimate, MATLAB^® возвращает conjugatebvarm объект, представляющий апостериорное распределение.
Условная ковариация (без масштаба) всей векторизованной матрицы, предшествующая Σ⊗<reservedrangesplaceholder0>. Чтобы достичь сопряженности, эти условия должны быть истинными:
- Предыдущие ковариации приняты пропорциональными среди всех уравнений. .R. определяет пропорциональность, и масштабирует V во время апостериорной оценки.
- Для уравнения ковариации между всеми коэффициентами AR, автозадачей и перекрестной задержкой, равны.
conjugatebvarm применяет первое условие, но не второе. Поэтому, conjugatebvarm применяет элементы V ко всем коэффициентам в модели относительно коэффициентов в уравнении y _1, t.

Ссылки

[1] Литтерман, Роберт Б. «Прогнозирование с байесовскими векторными авторегрессиями: пятилетний опыт». Журнал деловой и экономической статистики 4, № 1 (январь 1986 года): 25-38. https://doi.org/10.2307/1391384.

Документация

conjugatebvarm

Описание

Создание

Синтаксис

Описание

Входные параметры

numseries - Количество временных рядов m 1 (по умолчанию) | положительное целое число

numlags - Количество откликов с отставанием неотрицательное целое число

Свойства

Характеристики модели и размерность

Description - Описание модели строковый скаляр | вектор символов

NumSeries - Количество временных рядов m положительное целое число

P - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок неотрицательное целое число

SeriesNames - Имена рядов ответов вектор строка | массив ячеек из векторов символов

IncludeConstant - Флаг включения модели константы c true (по умолчанию) | false

IncludeTrend - Флаг включения терминов линейного тренда δt false (по умолчанию) | true

NumPredictors - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели 0 (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Гиперпараметры Распределения

Mu - Среднее значение векторизованной матрицы normal previous на zeros(NumSeries*(NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1) (по умолчанию) | числовой вектор

Omega - Матрица шкалы обратного желания eye(numseries) (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

DoF - Обратные степени свободы Wishart numseries + 10 (по умолчанию) | положительный числовой скаляр

Параметры модели VAR, выведенные из распределительных гиперпараметров

AR - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов Φ1..., Φ <reservedrangesplaceholder0> вектор камеры числовых матриц

Constant - Среднее распределение постоянных c модели числовой вектор

Trend - Среднее распределение линейного временного тренда δ числовой вектор

Beta - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β числовая матрица

Covariance - Среднее распределение инноваций ковариационная матрица положительная определенная числовая матрица

Функции объекта

Примеры

Создайте Матрицу -Normal-Inverse-Wishart Сопряженную Предшествующую Модель

Создайте сопряженную байесовскую модель AR (2)

Задайте имена плотности и отклика коэффициента высокой задержки

Подготовьте предшествующее для переменных экзогенного предиктора

Установите предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Работа с предыдущими и апостериорными распределениями

Подробнее о

Байесовский вектор векторной авторегрессии (VAR)

Зависимая, матричная-Normal-Inverse-Wishart сопряженная модель

Алгоритмы

Ссылки

См. также

Функции

Объекты

Документация по Econometrics Toolbox

Поддержка

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

`numlags` - Количество откликов с отставанием
неотрицательное целое число

`Description` - Описание модели
строковый скаляр | вектор символов

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

`P` - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

`SeriesNames` - Имена рядов ответов
вектор строка | массив ячеек из векторов символов

`IncludeConstant` - Флаг включения модели константы c
`true` (по умолчанию) | `false`

`IncludeTrend` - Флаг включения терминов линейного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

`NumPredictors` - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

`Mu` - Среднее значение векторизованной матрицы normal previous на
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

`Omega` - Матрица шкалы обратного желания
`eye(numseries)` (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

`DoF` - Обратные степени свободы Wishart
`numseries + 10` (по умолчанию) | положительный числовой скаляр

`AR` - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1_..., Φ <reservedrangesplaceholder0>
вектор камеры числовых матриц

`Constant` - Среднее распределение постоянных c модели
числовой вектор

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β
числовая матрица

`Covariance` - Среднее распределение инноваций ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица