normalbvarm

Байесовская модель вектора авторегрессии (VAR) с нормальной сопряженной предшествующей и фиксированной ковариацией для вероятности данных

развернуть все на странице

Описание

Объект модели Bayesian VAR normalbvarm определяет предшествующее распределение массива коэффициентов модели Λ в варе <reservedrangesplaceholder1>-D (<reservedrangesplaceholder0>) модель, где инновационная ковариационная матрица Σ известна и фиксируется. Предшествующее распределение И является нормальной сопряженной предшествующей моделью.

В целом, когда вы создаете объект модели Bayesian VAR, он задает совместное предшествующее распределение и характеристики только модели VARX. То есть объект модели является шаблоном, предназначенным для дальнейшего использования. В частности, чтобы включить данные в модель для апостериорного анализа распределения, передайте объект модели и данные в соответствующую функцию объекта.

Создание

Синтаксис

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,Name,Value)

Описание

Как создать normalbvarm объект используйте либо normalbvarm функцию (описанную здесь) или bayesvarm функция. Синтаксисы для каждой функции схожи, но опции различаются. bayesvarm позволяет вам легко установить предыдущие значения гиперзначений параметров для Миннесоты до [1] регуляризации, в то время какnormalbvarm требует полной спецификации предшествующих гиперпараметров распределения.

пример

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags) создает numseries-D Bayesian VAR (numlags) объект модели PriorMdl, который задает размерности и предыдущие допущения для всех коэффициентов модели $λ = vec (Λ) = vec ({[\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}]}^{'})$ , где:

numseries = m, количество переменных временных рядов откликов.
numlags = p, полином AR порядка.
Предшествующее распределение λ является нормальной сопряженной предшествующей моделью.
Фиксированная инновационная ковариация Σ m m матрицей тождеств.

пример

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,Name,Value) устанавливает свойства, доступные для записи (кроме NumSeries и P) с использованием аргументов пары "имя-значение". Заключайте каждое имя свойства в кавычки. Для примера, normalbvarm(3,2,'Sigma',4*eye(3),'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]) задает имена трех переменных отклика в модели Bayesian VAR (2) и фиксирует ковариационную матрицу инноваций в 4*eye(3).

Входные параметры

расширить все

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

Количество m временных рядов, заданное как положительное целое число. numseries задает размерность многомерной переменной отклика _yt и инновационных _εt.

numseries устанавливает NumSeries свойство.

Типы данных: double

`numlags` - Количество откликов с отставанием
неотрицательное целое число

Количество отстающих ответов в каждом уравнении y t, заданное в виде неотрицательного целого числа. Получившаяся модель является VAR (numlags) модель; каждая задержка имеет numseries-by- numseries матрица коэффициентов.

numlags устанавливает P свойство.

Типы данных: double

Свойства

расширить все

Можно задать значения свойств записи, когда вы создаете объект модели с помощью синтаксиса аргумента пары "имя-значение" или после того, как вы создаете объект модели с помощью записи через точку. Например, чтобы создать 3-D модель Bayesian VAR (1) и пометить переменные первой-третьей характеристики, а затем включить линейный временной термин тренда, введите:

PriorMdl = normalbvarm(3,1,'SeriesNames',["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]);
PriorMdl.IncludeTrend = true;

Характеристики модели и размерность

`Description` - Описание модели
строковый скаляр | вектор символов

Описание модели, заданное как строковый скаляр или вектор символов. Значение по умолчанию описывает размерность модели, например '2-Dimensional VAR(3) Model'.

Пример: "Model 1"

Типы данных: string | char

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Количество m временных рядов, заданное как положительное целое число. NumSeries задает размерность многомерной переменной отклика _yt и инновационных εt_.

Типы данных: double

`P` - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

Это свойство доступно только для чтения.

Многомерный авторегрессионный полином порядка, заданный как неотрицательное целое число. P - это максимальная задержка, которая имеет ненулевую матрицу коэффициентов.

P задает количество предварительных наблюдений, необходимых для инициализации модели.

Типы данных: double

`SeriesNames` - Имена рядов ответов
вектор строка | массив ячеек из векторов символов

Имена рядов ответов, заданные как NumSeries длина строки вектор. Значение по умолчанию является ['Y1' 'Y2'... 'Y <reservedrangesplaceholder0>']. normalbvarm хранит SeriesNames как строковый вектор.

Пример: ["UnemploymentRate" "CPI" "FEDFUNDS"]

Типы данных: string

`IncludeConstant` - Флаг включения модели константы c
`true` (по умолчанию) | `false`

Флаг для включения постоянной c модели, заданный как значение в этой таблице.

Значение	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают константу модели.
`true`	Все уравнения отклика содержат константу модели.

Типы данных: logical

`IncludeTrend` - Флаг включения терминов линейного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

Флаг для включения линейного временного термина тренда δt, заданный как значение в этой таблице.

Значение	Описание
`false`	Уравнения отклика не включают линейный срок тренда времени.
`true`	Все уравнения отклика содержат линейный срок тренда времени.

Типы данных: logical

`NumPredictors` - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели, заданное в виде неотрицательного целого числа. normalbvarm включает все переменные предиктора симметрично в каждое уравнение отклика.

Гиперпараметры Распределения

`Mu` - Среднее значение многомерной нормы перед λ
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

Среднее значение многомерной нормы перед λ, заданное как NumSeries * k-by-1 числовой вектор, где k = NumSeries * P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Му (1: k) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(1), Му ((k + 1): (2* k)) соответствует всем коэффициентам в уравнении переменной отклика SeriesNames(2)и так далее. Для набора индексов, соответствующих уравнению:

Элементы 1 через NumSeries соответствуют задержке 1 AR коэффициентов переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
Элементы NumSeries + 1 через 2*NumSeries соответствуют задержке 2 коэффициентов AR переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.
В целом элементы (q - 1) * NumSeries + 1 через q* NumSeries соответствует задержке q Коэффициенты AR переменных отклика, упорядоченные по SeriesNames.
Если IncludeConstant является true, элемент NumSeries*P + 1 является моделью постоянной.
Если IncludeTrend является true, элемент NumSeries*P + 2 - линейный коэффициент тренда времени.
Если NumPredictors > 0, элементы NumSeries*P + 3 через k составляют вектор коэффициентов регрессии экзогенных переменных.

Этот рисунок показывает структуру транспонирования Mu для 2-D модели VAR (3), которая содержит постоянный вектор и четыре экзогенных предиктора:

$[\overset{y_{1, t}}{\overset{︷}{\begin{matrix} ϕ_{1, 11} & ϕ_{1, 12} & ϕ_{2, 11} & ϕ_{2, 12} & ϕ_{3, 11} & ϕ_{3, 12} & c_{1} & β_{11} & β_{12} & β_{13} & β_{14} \end{matrix}}} \overset{y_{2, t}}{\overset{︷}{\begin{matrix} ϕ_{1, 21} & ϕ_{1, 22} & ϕ_{2, 21} & ϕ_{2, 22} & ϕ_{3, 21} & ϕ_{3, 22} & c_{2} & β_{21} & β_{22} & β_{23} & β_{24} \end{matrix}}}],$

где

ϕ _qjk является элементом (j, k) матрицы коэффициентов AR q задержки.
c j является моделью, константой в уравнении переменной j отклика.
B _j u является коэффициентом регрессии экзогенной переменной, u в уравнении переменной отклика j.

Совет

bayesvarm позволяет вам задавать Mu легко при использовании метода регуляризации Миннесоты. Чтобы задать Mu непосредственно:

Установите отдельные переменные для предыдущего среднего значения каждой матрицы коэффициентов и вектора.
Горизонтально конкатенируйте все средства коэффициентов в этом порядке:

$C o e f f = [\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}] .$
Векторизация транспонирования средней матрицы коэффициентов.
```
Mu = Coeff.';
Mu = Mu(:);
```

Типы данных: double

`V` - Условная ковариационная матрица многомерной нормы перед λ
`eye(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors))` (по умолчанию) | симметричная, положительно определенная числовая матрица

Условная ковариационная матрица многомерной нормы, предшествующей λ, заданная как NumSeries * k-by-NumSeries * k симметричная, положительно определенная матрица, где k = NumSeries * P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors (количество коэффициентов в уравнении отклика).

Индексы строка и столбец соответствуют коэффициентам модели так же, как и Mu. Например, рассмотрим 3-D модель VAR (2), содержащую постоянную и четыре экзогенные переменные.

V(1,1) - Var (_{ϕ 1,11}).
V(5,6) является Cov (_{ϕ 2,12}_{, ϕ} 2,13).
V(8,9) является Cov (_β 11_, β 12).

Совет

bayesvarm позволяет вам создать любую предшествующую модель Bayesian VAR и задать V легко при использовании метода регуляризации Миннесоты.

Типы данных: double

`Sigma` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
`eye(NumSeries)` (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

Фиксированные нововведения ковариации матрице И NumSeries инновации в каждый момент времени t = 1,..., T, заданные как NumSeries-by- NumSeries положительная определенная числовая матрица. Строки и столбцы соответствуют инновациям в уравнениях переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.

Sigma устанавливает Covariance свойство.

Типы данных: double

Параметры модели VAR, выведенные из распределительных гиперпараметров

`AR` - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1_..., Φ <reservedrangesplaceholder0>
вектор камеры числовых матриц

Это свойство доступно только для чтения.

Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1..., Φ <reservedrangesplaceholder1> связался с изолированными ответами, определенными как P-D камера вектора NumSeries-by- NumSeries числовые матрицы.

AR {j} is, _j, матрица коэффициентов задержки j . Строки соответствуют уравнениям, а столбцы соответствуют отстающим переменным отклика; SeriesNames определяет порядок переменных отклика и уравнений. Знаки коэффициентов являются знаками модели VAR, выраженными в обозначении разностного уравнения.

Если P = 0, AR - пустая камера. В противном случае AR - набор средств коэффициентов AR, извлеченных из Mu.

Типы данных: cell

`Constant` - Среднее распределение постоянных c модели
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение модели константы c (или точки пересечения), заданное как NumSeries-by-1 числовой вектор. Константа (j) - константа в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeConstant = false, Constant - пустой массив. В противном случае Constant - модель среднего вектора константы, извлеченная из Mu.

Типы данных: double

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение линейного временного δ тренда, заданное как NumSeries-by-1 числовой вектор. Тренд (j) - линейный временной тренд в уравнении j; SeriesNames определяет порядок уравнений.

Если IncludeTrend = false (по умолчанию), Trend - пустой массив. В противном случае Trend - среднее значение коэффициента линейного временного тренда, извлеченное из Mu.

Типы данных: double

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β
числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии B, сопоставленной с переменными экзогенного предиктора, заданное как NumSeries-by- NumPredictors числовая матрица.

Бета (j,:) содержит коэффициенты регрессии каждого предиктора в уравнении переменной отклика j y j_, т. Бета (:, k) содержит коэффициенты регрессии в каждом уравнении предиктора _xk. По умолчанию все переменные предиктора находятся в регрессионном компоненте всех уравнений отклика. Можно уменьшить вес предиктора из уравнения, задав, для соответствующего коэффициента, предшествующее среднее значение 0 в Mu и небольшое отклонение в V.

Когда вы создаете модель, переменные предиктора являются гипотетическими. Вы задаете данные предиктора, когда вы работаете с моделью (для примера, когда вы оцениваете апостериор при помощи estimate). Столбцы данных предиктора определяют порядок столбцов Beta.

Типы данных: double

`Covariance` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица

Это свойство доступно только для чтения.

Фиксированные нововведения ковариации матрице И NumSeries инновации в каждый момент времени t = 1,..., T, заданные как NumSeries-by- NumSeries симметричная, положительно определенная числовая матрица. Строки и столбцы соответствуют инновациям в уравнениях переменных отклика, упорядоченных по SeriesNames.

The Sigma наборы свойств Covariance.

Типы данных: double

Функции объекта

`estimate`	Оцените апостериорное распределение параметров модели Байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`forecast`	Прогнозные отклики из модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`simsmooth`	Сглаживание симуляции модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`simulate`	Симулируйте коэффициенты и инновации ковариационной матрицы модели Байесовской векторной авторегрессии (VAR)
`summarize`	Сводная статистика распределения модели байесовской векторной авторегрессии (VAR)

Примеры

свернуть все

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель

Открыть Live Script

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) для инфляции в США (INFL), безработица (UNRATE), и федеральные фонды (FEDFUNDS) ставки.

$[\begin{array}{llllllllllllllllllll} {INFL}_{t} \\ {UNRATE}_{t} \\ {FEDFUNDS}_{t} \end{array}] = c + \sum_{j = 1}^{4} Φ_{j} [\begin{array}{llllllllllllllllllll} {INFL}_{t - j} \\ {UNRATE}_{t - j} \\ {FEDFUNDS}_{t - j} \end{array}] + [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ε_{1, t} \\ ε_{2, t} \\ ε_{3, t} \end{array}] .$

Для всех $t$ , $ε_{t}$ - серия независимых 3-D нормальных инноваций со средним значением 0 и фиксированной ковариацией $Σ$ = $I$ , матрица 3-D тождеств. Примите, что предшествующее распределение $vec ({[Φ_{1}, . . ., Φ_{4}, c]}^{'}) \sim Ν_{39} (μ, V)$ , где $μ$ является вектором 39 на 1 средств и $V$ - ковариационная матрица 39 на 39.

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель для параметров модели 3-D VAR (4).

numseries = 3;
numlags = 4;
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

PriorMdl является normalbvarm Объект модели Bayesian VAR, представляющий предшествующее распределение коэффициентов модели 3-D VAR (4). На отображении командной строки показаны свойства модели. Можно отобразить свойства при помощи записи через точку.

Отобразите предыдущие средние матрицы четырех коэффициентов AR путем установки каждой матрицы в камере на переменную.

AR1 = PriorMdl.AR{1}

AR1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR2 = PriorMdl.AR{2}

AR2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR3 = PriorMdl.AR{3}

AR3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

AR4 = PriorMdl.AR{4}

AR4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

normalbvarm центрируют все коэффициенты AR в 0 по умолчанию. The AR свойство доступно только для чтения, но определяется из свойства writable Mu.

Отобразите ковариацию фиксированных инноваций $Σ$ .

PriorMdl.Covariance

ans = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Covariance является свойством только для чтения. Чтобы задать значение $Σ$ , используйте 'Sigma' Аргумент пары "имя-значение" или задайте Sigma свойство при помощи записи через точку. Для примера:

PriorMdl.Sigma = 4*eye(PriorMdl.NumSeries);

Укажите инновации Ковариационная матрица

Открыть Live Script

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) Create Normal Conjugate Previous Model.

Предположим, эконометрическая теория диктует, что

$Σ = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 10^{- 5} & 0 & 10^{- 4} \\ 0 & 0.1 & - 0.2 \\ 10^{- 4} & - 0.2 & 1.6 \end{array}] .$

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель для коэффициентов модели VAR. Задайте значение $Σ$ .

numseries = 3;
numlags = 4;
Sigma = [10e-5 0 10e-4; 0 0.1 -0.2; 10e-4 -0.2 1.6]; 

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'Sigma',Sigma)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["Y1"    "Y2"    "Y3"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Поскольку $Σ$ исправлен для normalbvarm предшествующие модели, PriorMdl.Sigma и PriorMdl.Covariance равны.

PriorMdl.Sigma

ans = 3×3

    0.0001         0    0.0010
         0    0.1000   -0.2000
    0.0010   -0.2000    1.6000

PriorMdl.Covariance

ans = 3×3

    0.0001         0    0.0010
         0    0.1000   -0.2000
    0.0010   -0.2000    1.6000

Создайте байесовскую AR (2) модель с нормальным сопряженным коэффициентом априорно

Открыть Live Script

Рассмотрим 1-D байесовскую модель AR (2) для ежедневных возвратов NASDAQ со 2 января 1990 года по 31 декабря 2001 года .

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 1} + ε_{t} .$

Предшествующее распределение коэффициентов $[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ϕ_{1} & ϕ_{2} & c \end{array}]^{'} | σ^{2} \sim N_{3} (μ, V)$ , где $μ$ является вектором коэффициентных средств 3 на 1 и $V$ является ковариационной матрицей 3 на 3. Предположим Var ( $ε_{t}$ ) равен 2.

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель для параметров модели AR (2).

numseries = 1;
numlags = 2;
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'Sigma',2)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "1-Dimensional VAR(2) Model"
          NumSeries: 1
                  P: 2
        SeriesNames: "Y1"
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [3x1 double]
                  V: [3x3 double]
              Sigma: 2
                 AR: {[0]  [0]}
           Constant: 0
              Trend: [1x0 double]
               Beta: [1x0 double]
         Covariance: 2

Задайте высокую герметичность для лагов и имен отклика

Открыть Live Script

В модели 3-D VAR (4) Create Normal Conjugate Private Model рассмотрите исключение лагов 2 и 3 из модели.

Вы не можете исключить матрицы коэффициентов из моделей, но можно задать высокую предшествующую герметичность на нуле для коэффициентов, которые вы хотите исключить.

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель для параметров модели 3-D VAR (4). Задайте имена переменных отклика.

По умолчанию предшествующие средства коэффициента AR равны нулю. Задайте значения высокой герметичности для лагов 2 и 3 путем установки их предыдущих отклонений на 1e-6. Оставьте все другие значения плотности коэффициентов по умолчанию:

1 для отклонений коэффициентов AR
1e3 для отклонений постоянных векторов
0 для всех ковариаций коэффициентов

numseries = 3;
numlags = 4;
seriesnames = ["INFL"; "UNRATE"; "FEDFUNDS"];
vPhi1 = ones(numseries,numseries);
vPhi2 = 1e-6*ones(numseries,numseries);
vPhi3 = 1e-6*ones(numseries,numseries);
vPhi4 = ones(numseries,numseries);
vc = 1e3*ones(3,1);
Vmat = [vPhi1 vPhi2 vPhi3 vPhi4 vc]';
V = diag(Vmat(:));
PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames,...
    'V',V)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["INFL"    "UNRATE"    "FEDFUNDS"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Установите предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Открыть Live Script

normalbvarm опции позволяют вам задавать коэффициенты, предшествующие значениям гиперзначений параметров, непосредственно, но bayesvarm опции хорошо подходят для настройки гиперпараметров по методу регуляризации Миннесоты.

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) Create Normal Conjugate Previous Model. Модель содержит 39 коэффициентов. Для разреженности коэффициентов создайте нормальную сопряженную байесовскую модель VAR при помощи bayesvarm. Задайте следующее, априори:

Каждый ответ является моделью AR (1), в среднем с коэффициентом задержки 1 0,75.
Предыдущие коэффициенты автозадания имеют отклонение 100. Эта большая настройка отклонения позволяет данным влиять на апостериор больше, чем на предыдущий.
Предыдущие коэффициенты перекрестной задержки имеют отклонение 1. Эта настройка малых отклонений затягивает коэффициенты перекрестной задержки до нуля во время оценки.
Ковариации предшествующего коэффициента распадаются с увеличением задержки со скоростью 2 (то есть более низкие лаги важнее, чем более высокие лаги).
Нововведения ковариации $Σ$ = $I$ .

numseries = 3;
numlags = 4;
seriesnames = ["INFL"; "UNRATE"; "FEDFUNDS"];
Sigma = eye(numseries);
PriorMdl = bayesvarm(numseries,numlags,'ModelType','normal','Sigma',Sigma,...
    'Center',0.75,'SelfLag',100,'CrossLag',1,'Decay',2,'SeriesNames',seriesnames)

PriorMdl = 
  normalbvarm with properties:

        Description: "3-Dimensional VAR(4) Model"
          NumSeries: 3
                  P: 4
        SeriesNames: ["INFL"    "UNRATE"    "FEDFUNDS"]
    IncludeConstant: 1
       IncludeTrend: 0
      NumPredictors: 0
                 Mu: [39x1 double]
                  V: [39x39 double]
              Sigma: [3x3 double]
                 AR: {[3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]  [3x3 double]}
           Constant: [3x1 double]
              Trend: [3x0 double]
               Beta: [3x0 double]
         Covariance: [3x3 double]

Отобразите все предыдущие средства коэффициентов.

Phi1 = PriorMdl.AR{1}

Phi1 = 3×3

    0.7500         0         0
         0    0.7500         0
         0         0    0.7500

Phi2 = PriorMdl.AR{2}

Phi2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi3 = PriorMdl.AR{3}

Phi3 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Phi4 = PriorMdl.AR{4}

Phi4 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     0

Отобразите тепловую карту ковариаций предыдущего коэффициента для каждого уравнения отклика.

numexocoeffseqn = PriorMdl.IncludeConstant + ...
    PriorMdl.IncludeTrend + PriorMdl.NumPredictors;             % Number of exogenous coefficients per equation
numcoeffseqn = PriorMdl.NumSeries*PriorMdl.P + numexocoeffseqn; % Total number of coefficients per equation
arcoeffnames = strings(numseries,numlags,numseries);
for j = 1:numseries         % Equations
    for r = 1:numlags
        for k = 1:numseries % Response Variables
            arcoeffnames(k,r,j) = "\phi_{"+r+","+j+k+"}";
        end
    end
    arcoeffseqn = arcoeffnames(:,:,j);
    idx = ((j-1)*numcoeffseqn + 1):(numcoeffseqn*j) - numexocoeffseqn;
    Veqn = PriorMdl.V(idx,idx);
    figure
    heatmap(arcoeffseqn(:),arcoeffseqn(:),Veqn);
    title(sprintf('Equation of %s',seriesnames(j)))
end

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of INFL.

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of UNRATE.

Figure contains an object of type heatmap. The chart of type heatmap has title Equation of FEDFUNDS.

Работа с предыдущими и апостериорными распределениями

Открыть Live Script

Рассмотрим 3-D модель VAR (4) Create Normal Conjugate Previous Model. Оцените апостериорное распределение и сгенерируйте прогнозы из соответствующего апостериорного прогнозного распределения.

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите набор макроэкономических данных США. Вычислите уровень инфляции. Постройте график всех ответных рядов.

load Data_USEconModel
seriesnames = ["INFL" "UNRATE" "FEDFUNDS"];
DataTable.INFL = 100*[NaN; price2ret(DataTable.CPIAUCSL)];

figure 
plot(DataTable.Time,DataTable{:,seriesnames})
legend(seriesnames)

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent INFL, UNRATE, FEDFUNDS.

Стабилизировать показатели безработицы и федеральных средств путем применения первого различия к каждой серии.

DataTable.DUNRATE = [NaN; diff(DataTable.UNRATE)];
DataTable.DFEDFUNDS = [NaN; diff(DataTable.FEDFUNDS)];
seriesnames(2:3) = "D" + seriesnames(2:3);

Удалите все отсутствующие значения из данных.

rmDataTable = rmmissing(DataTable);

Создайте предыдущую модель

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель Bayesian VAR (4) для трех рядов откликов. Задайте имена переменных отклика. Предположим, что инновационная ковариация является матрицей тождеств.

numseries = numel(seriesnames);
numlags = 4;

PriorMdl = normalbvarm(numseries,numlags,'SeriesNames',seriesnames);

Оценка апостериорного распределения

Оцените апостериорное распределение путем передачи предыдущей модели и целого ряда данных в estimate.

PosteriorMdl = estimate(PriorMdl,rmDataTable{:,seriesnames},'Display','equation');

Bayesian VAR under normal priors and fixed Sigma
Effective Sample Size:          197
Number of equations:            3
Number of estimated Parameters: 39
                                                                                 VAR Equations                                                                                
           | INFL(-1)  DUNRATE(-1)  DFEDFUNDS(-1)  INFL(-2)  DUNRATE(-2)  DFEDFUNDS(-2)  INFL(-3)  DUNRATE(-3)  DFEDFUNDS(-3)  INFL(-4)  DUNRATE(-4)  DFEDFUNDS(-4)  Constant 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 INFL      |  0.1260     -0.4400        0.1049      0.3176     -0.0545        0.0440      0.4173      0.2421        0.0515      0.0247     -0.1639        0.0080      0.1064  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 DUNRATE   | -0.0236      0.4440        0.0350      0.0900      0.2295        0.0520     -0.0330      0.0567        0.0010      0.0298     -0.1665        0.0104     -0.0536  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 DFEDFUNDS | -0.1514     -1.3408       -0.2762      0.3275     -0.2971       -0.3041      0.2609     -0.6971        0.0130     -0.0692      0.1392       -0.1341     -0.3902  
           | (0.1367)    (0.2673)      (0.0700)    (0.1551)    (0.2854)      (0.0739)    (0.1536)    (0.2811)      (0.0766)    (0.1605)    (0.2652)      (0.0708)    (0.1483) 
 
     Innovations Covariance Matrix    
           | INFL  DUNRATE  DFEDFUNDS 
--------------------------------------
 INFL      |  1      0         0      
           |  (0)    (0)       (0)    
 DUNRATE   |  0      1         0      
           |  (0)    (0)       (0)    
 DFEDFUNDS |  0      0         1      
           |  (0)    (0)       (0)

Поскольку априорный является сопряженным для вероятности данных, апостериор аналитически отслеживается. По умолчанию estimate использует первые четыре наблюдения в качестве предварительной выборки для инициализации модели.

Сгенерируйте прогнозы из апостериорного прогнозирующего распределения

Из апостериорного прогнозирующего распределения сгенерируйте прогнозы на двухлетнем горизонте. Поскольку для выборки из апостериорного прогнозирующего распределения требуется весь набор данных, задайте предыдущую модель в forecast вместо апостериорной.

fh = 8;
rng(1); % For reproducibility
FY = forecast(PriorMdl,fh,rmDataTable{:,seriesnames});

FY - матрица прогнозов 8 на 3.

Постройте график конца набора данных и прогнозов.

fp = rmDataTable.Time(end) + calquarters(1:fh);
figure
plotdata = [rmDataTable{end - 10:end,seriesnames}; FY];
plot([rmDataTable.Time(end - 10:end); fp'],plotdata)
hold on
plot([fp(1) fp(1)],ylim,'k-.')
legend(seriesnames)
title('Data and Forecasts')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Data and Forecasts contains 4 objects of type line. These objects represent INFL, DUNRATE, DFEDFUNDS.

Вычислительные импульсные характеристики

Постройте функции импульсной характеристики путем передачи апостериорных оценок в armairf.

armairf(PosteriorMdl.AR,[],'InnovCov',PosteriorMdl.Covariance)

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 1 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 2 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Figure contains an axes. The axes with title Orthogonalized IRF of Variable 3 contains 3 objects of type line. These objects represent Shock to Variable 1, Shock to Variable 2, Shock to Variable 3.

Подробнее о

расширить все

Байесовский вектор векторной авторегрессии (VAR)

A Bayesian VAR model обрабатывает все коэффициенты и ковариационную матрицу инноваций как случайные переменные в m -мерной, стационарной модели VARX (p). Модель имеет одну из трех форм, описанных в этой таблице.

Модель	Уравнение
VAR (p) редуцированной формы в обозначении разностного уравнения	$y_{t} = Φ_{1} y_{t - 1} + ... + Φ_{p} y_{t - p} + c + δ t + Β x_{t} + ε_{t} .$
Многомерная регрессия	$y_{t} = Z_{t} λ + ε_{t} .$
Матричная регрессия	$y_{t} = Λ^{'} z_{t}^{'} + ε_{t} .$

Для каждого временного t = 1,..., T:

_yt - m -мерный вектор наблюдаемой отклика, где m = numseries.
_Φ1,..._, - p являются m -by m матрицами коэффициентов AR лагов с 1 по p, где p = numlags.
c - вектор m -by-1 констант модели, если IncludeConstant является true.
δ - вектор m -by-1 коэффициентов линейного временного тренда, если IncludeTrend является true.
Β - m -by - r матрица коэффициентов регрессии вектора r -by - 1 наблюдаемых экзогенных предикторов x t, где r = NumPredictors. Все переменные предиктора появляются в каждом уравнении.
$z_{t} = [\begin{matrix} y_{t - 1}^{'} & y_{t - 2}^{'} & \dots & y_{t - p}^{'} & 1 & t & x_{t}^{'} \end{matrix}],$ который является вектором 1-by- (mp + r + 2), и _Z t является m -by- m (mp + r + 2) блочной диагональной матрицей

$[\begin{matrix} z_{t} & 0_{z} & \dots & 0_{z} \\ 0_{z} & z_{t} & \dots & 0_{z} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0_{z} & 0_{z} & 0_{z} & z_{t} \end{matrix}],$
где 0 z является 1-бай- (mp + r + 2) вектором нулей.
$Λ = {[\begin{matrix} Φ_{1} & Φ_{2} & \dots & Φ_{p} & c & δ & Β \end{matrix}]}^{'}$ , которая является (mp + r + 2) -by m случайной матрицей коэффициентов, и m (mp + r + 2) -by-1 вектор λ = vec (
_εt является m-на-1 вектором случайных, последовательно некоррелированных, многомерных нормальных инноваций с нулевым вектором для среднего и m -by- m матрицы Это предположение подразумевает, что вероятность данных является

$ℓ (Λ, Σ | y, x) = \prod_{t = 1}^{T} f (y_{t}; Λ, Σ, z_{t}),$
где f m - размерная многомерная нормальная плотность со средним <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> Λ и ковариацией Σ, оценен в <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>.

Прежде, чем рассмотреть данные, Вы налагаете joint prior distribution предположение на (Λ,Σ), которым управляет распределение π (Λ,Σ). В байесовском анализе распределение параметров обновляется информацией о параметрах, полученных из вероятности данных. Результатом является joint posterior distribution π (Λ,Σ|<reservedrangesplaceholder2>,<reservedrangesplaceholder1>,<reservedrangesplaceholder0>0), где:

Y - T матрица m, содержащая весь ряд ответов _{y t}, t = 1,..., T.
X - T матрица m, содержащая весь экзогенный ряд _{x t}, t = 1,..., T.
Y 0 является p -by - m матрицей предварительных образцов данных, используемых для инициализации модели VAR для оценки.

Нормальная сопряженная предыдущая модель

normal conjugate prior model, обрисованный в общих чертах в [1], модель <reservedrangesplaceholder1>-D Bayesian VAR, в которой инновационная ковариационная матрица Σ известна и фиксируется, в то время как у содействующего вектора λ = vec (Λ) есть предшествующее распределение

$λ ~ N_{m (m p + r + 1_{c} + 1_{δ})} (μ, V),$

где:

r = NumPredictors.
1 c 1, если IncludeConstant true, и 0 в противном случае.
1 δ 1, если IncludeTrend true, и 0 в противном случае.

Апостериорное распределение является правильным и аналитически отслеживаемым.

$λ | y_{t}, x_{t} ~ N_{m (m p) + r + 1_{c} + 1_{δ}} (\bar{μ}, \bar{V}),$

где:

$\bar{μ} = {(V^{- 1} + \sum_{t = 1}^{T} Z_{t}^{'} Σ^{- 1} Z_{t})}^{- 1} (V^{- 1} μ + \sum_{t = 1}^{T} Z_{t}^{'} Σ^{- 1} y_{t}) .$
$\bar{V} = {(V^{- 1} + \sum_{t = 1}^{T} Z_{t}^{'} Σ^{- 1} Z_{t})}^{- 1} .$

Ссылки

[1] Литтерман, Роберт Б. «Прогнозирование с байесовскими векторными авторегрессиями: пятилетний опыт». Журнал деловой и экономической статистики 4, № 1 (январь 1986 года): 25-38. https://doi.org/10.2307/1391384.

Документация

normalbvarm

Описание

Создание

Синтаксис

Описание

Входные параметры

numseries - Количество временных рядов m 1 (по умолчанию) | положительное целое число

numlags - Количество откликов с отставанием неотрицательное целое число

Свойства

Характеристики модели и размерность

Description - Описание модели строковый скаляр | вектор символов

NumSeries - Количество временных рядов m положительное целое число

P - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок неотрицательное целое число

SeriesNames - Имена рядов ответов вектор строка | массив ячеек из векторов символов

IncludeConstant - Флаг включения модели константы c true (по умолчанию) | false

IncludeTrend - Флаг включения терминов линейного тренда δt false (по умолчанию) | true

NumPredictors - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели 0 (по умолчанию) | неотрицательное целое число

Гиперпараметры Распределения

Mu - Среднее значение многомерной нормы перед λ zeros(NumSeries*(NumSeries*P + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1) (по умолчанию) | числовой вектор

Sigma - Фиксированная инновационная ковариационная матрица eye(NumSeries) (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

Параметры модели VAR, выведенные из распределительных гиперпараметров

AR - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов Φ1..., Φ <reservedrangesplaceholder0> вектор камеры числовых матриц

Constant - Среднее распределение постоянных c модели числовой вектор

Trend - Среднее распределение линейного временного тренда δ числовой вектор

Beta - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β числовая матрица

Covariance - Фиксированная инновационная ковариационная матрица положительная определенная числовая матрица

Функции объекта

Примеры

Создайте нормальную сопряженную предшествующую модель

Укажите инновации Ковариационная матрица

Создайте байесовскую AR (2) модель с нормальным сопряженным коэффициентом априорно

Задайте высокую герметичность для лагов и имен отклика

Установите предыдущие гиперпараметры для регуляризации Миннесоты

Работа с предыдущими и апостериорными распределениями

Подробнее о

Байесовский вектор векторной авторегрессии (VAR)

Нормальная сопряженная предыдущая модель

Ссылки

См. также

Функции

Объекты

Документация по Econometrics Toolbox

Поддержка

`numseries` - Количество временных рядов m
`1` (по умолчанию) | положительное целое число

`numlags` - Количество откликов с отставанием
неотрицательное целое число

`Description` - Описание модели
строковый скаляр | вектор символов

`NumSeries` - Количество временных рядов m
положительное целое число

`P` - Многомерный авторегрессионный полиномиальный порядок
неотрицательное целое число

`SeriesNames` - Имена рядов ответов
вектор строка | массив ячеек из векторов символов

`IncludeConstant` - Флаг включения модели константы c
`true` (по умолчанию) | `false`

`IncludeTrend` - Флаг включения терминов линейного тренда δt
`false` (по умолчанию) | `true`

`NumPredictors` - Количество переменных экзогенного предиктора в компоненте регрессии модели
`0` (по умолчанию) | неотрицательное целое число

`Mu` - Среднее значение многомерной нормы перед λ
`zeros(NumSeries(NumSeriesP + IncludeIntercept + IncludeTrend + NumPredictors),1)` (по умолчанию) | числовой вектор

`Sigma` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
`eye(NumSeries)` (по умолчанию) | положительную определенную числовую матрицу

`AR` - Распределение, среднее из авторегрессивных матриц коэффициентов _Φ1_..., Φ <reservedrangesplaceholder0>
вектор камеры числовых матриц

`Constant` - Среднее распределение постоянных c модели
числовой вектор

`Trend` - Среднее распределение линейного временного тренда δ
числовой вектор

`Beta` - Среднее распределение матрицы коэффициента регрессии Β
числовая матрица

`Covariance` - Фиксированная инновационная ковариационная матрица
положительная определенная числовая матрица