Документация

Прогнозирование

TSP и DSP формируют различные прогнозы. В основном, потрясения к возвращению TSP на линию тренда $\mathit{c}+\delta \mathit{t}$ с увеличением времени. Напротив, удары по ЦСП могут быть постоянными с течением времени.

Для примера рассмотрим простую модель trend-stationary

и дифференцированную стационарную модель

В этих моделях, ${\epsilon }_{1,\mathit{t}}$ и ${\epsilon }_{2,\mathit{t}}$ являются независимыми инновационными процессами. В данном примере нововведения являются независимыми и распределенными N (0,1).

Оба процесса растут со скоростью 0,2. Чтобы вычислить скорость роста для TSP, который имеет линейный термин $0.02\mathit{t}$, set ${\epsilon }_{1,\mathit{t}}=0$. Затем решите модель ${\mathit{y}}_{1,\mathit{t}}=\mathit{c}+\delta \mathit{t}$ для $\mathit{c}$ и $\delta$.

Решение является $\mathit{c}=-1.8$, $\delta =0.2$.

График для t = 1:1000 показывает, что TSP остается очень близко к линии тренда, в то время как DSP имеет постоянные отклонения от линии тренда.

T = 1000;   % Sample size
t = (1:T)'; % Period vector
rng(5);     % For reproducibility

randm = randn(T,2); % Innovations
y = zeros(T,2);     % Columns of y are data series

% Build trend stationary series
y(:,1) = .02*t + randm(:,1); 
for ii = 2:T
    y(ii,1) = y(ii,1) + y(ii-1,1)*.9;
end

% Build difference stationary series
y(:,2) = .2 + randm(:,2); 
y(:,2) = cumsum(y(:,2)); 

figure
plot(y(:,1),'b')
hold on
plot(y(:,2),'g')
plot((1:T)*0.2,'k--')
legend('Trend Stationary','Difference Stationary',...
    'Trend Line','Location','NorthWest')
hold off

Прогнозы, основанные на двух сериях, различаются. Чтобы увидеть это различие, постройте график предсказанного поведения двух рядов с помощью varm, estimate, и forecast. Следующий график показывает последние 100 точек данных в двух сериях и предсказания следующих 100 точек, включая доверительные границы.

AR = {[NaN 0; 0 NaN]}; % Independent response series
trend = [NaN; 0];      % Linear trend in first series only
Mdl = varm('AR',AR,'Trend',trend);

EstMdl = estimate(Mdl,y);
EstMdl.SeriesNames = ["Trend stationary" "Difference stationary"];

[ynew,ycov] = forecast(EstMdl,100,y);
% This generates predictions for 100 time steps

seY = sqrt(diag(EstMdl.Covariance))'; % Extract standard deviations of y
CIY = zeros([size(y) 2]);             % In-sample intervals
CIY(:,:,1) = y - seY;
CIY(:,:,2) = y + seY;

extractFSE = cellfun(@(x)sqrt(diag(x))',ycov,'UniformOutput',false);
seYNew = cell2mat(extractFSE);
CIYNew = zeros([size(ynew) 2]); % Forecast intervals
CIYNew(:,:,1) = ynew - seYNew;
CIYNew(:,:,2) = ynew + seYNew;

tx = (T-100:T+100);
hs = 1:2;
figure;
for j = 1:Mdl.NumSeries
    hs(j) = subplot(2,1,j);
    hold on;
    h1 = plot(tx,tx*0.2,'k--');
    axis tight;
    ha = gca;
    h2 = plot(tx,[y(end-100:end,j); ynew(:,j)]);
    h3 = plot(tx(1:101),squeeze(CIY(end-100:end,j,:)),'r:');
    plot(tx(102:end),squeeze(CIYNew(:,j,:)),'r:');
    h4 = fill([tx(102) ha.XLim([2 2]) tx(102)],ha.YLim([1 1 2 2]),[0.7 0.7 0.7],...
        'FaceAlpha',0.1,'EdgeColor','none');
    title(EstMdl.SeriesNames{j});
    hold off;
end
legend(hs(1),[h1 h2 h3(1) h4],...
    {'Trend','Process','Interval estimate','Forecast horizon'},'Location','Best');

Исследуйте установленные параметры путем передачи предполагаемой модели в summarizeи вы находите estimate проделал отличную работу.

TSP имеет доверительные интервалы, которые не растут со временем, в то время как DSP имеет доверительные интервалы, которые растут. Кроме того, TSP быстро переходит к линии тренда, в то время как DSP не стремится к линии тренда $\mathit{y}=0.2\mathit{t}$ бессимптотически.

Ложная регрессия

Наличие модуля корней может привести к ложным выводам в регрессиях между временными рядами.

Предположим, _xt и _yt являются единичными корневыми процессами с независимыми шагом, такими как случайные прогулки с дрейфом

где _εi (t) являются независимыми инновационными процессами. Регрессия y на x приводит, в целом, к ненулевому коэффициенту регрессии и значительному коэффициенту детерминации R². Этот результат держится, несмотря на то, что _xt и _yt являются независимыми случайными прогулками.

Если оба процесса имеют тенденции (_ci ≠ 0), существует корреляция между x и y из-за их линейных трендов. Однако, даже если _ci = 0, наличие модуля корней в _xt и _yt процессах выражений корреляцией. Для получения дополнительной информации о ложной регрессии см. Granger and Newbold [1] и Временные ряды Regression IV: Spurious Regression.

Тесты Дикки-Фуллера и Филлипса-Перрона

adftest выполняет дополненный тест Дикки-Фуллера. pptest выполняет тест Филлипса-Перрона. Эти два класса тестов имеют нулевую гипотезу единичного корневого процесса вида

которые функции проверяют на соответствие альтернативной модели

где γ < 1. Нулевые и альтернативные модели для теста Дикки-Фуллера аналогичны моделям для теста Филлипса-Перрона. Это различие adftest расширяет модель с дополнительными параметрами с учетом последовательной корреляции среди нововведений:

где

Phillips-Perron настраивает статистику тестов с учетом последовательной корреляции.

Существует три варианта обоих adftest и pptest, соответствующий следующим значениям 'model' параметр:

Для получения информации о том, как выбрать соответствующее значение 'model', см. «Выбор моделей для тестирования».

Тест KPSS

Тест KPSS, kpsstest, является обратной характеристикой теста Филлипса-Перрона: она отменяет нулевую и альтернативную гипотезы. В тесте KPSS используется модель:

Здесь _ut является стационарным процессом, и _vt является i.i.d. обработка со средним значением 0 и отклонением σ². Нулевая гипотеза заключается в том, что σ² = 0, так что случайный срок _ct становится постоянной точкой пересечения. Альтернатива - σ² > 0, который представляет корень модуля в случайной ходьбе.

Тест коэффициента отклонения

Тест коэффициента отклонения, vratiotest, основано на том, что отклонение случайной прогулки увеличивается линейно со временем. vratiotest может также учитывать гетероскедастичность, где отклонение увеличивается с переменной скоростью со временем. Тест имеет нулевые гипотезы случайной прогулки:

Преобразование данных

Преобразуйте временные ряды, чтобы она была примерно линейной перед тестированием на модуль корень. Если серия имеет экспоненциальный рост, примите ее логарифм. Например, ВВП и потребительские цены обычно имеют экспоненциальный рост, поэтому проверяйте их логарифмы на единичные корни.

Если вы хотите преобразовать ваши данные в стационарные вместо приблизительно линейных, единичные корневые тесты могут помочь вам определить, различать ли ваши данные или вычесть линейный тренд. Для обсуждения этой темы смотрите Что такое Unit Root Test?

Выберите модели для тестирования

Определите соответствующие лаги

Установка соответствующих лагов зависит от теста, который вы используете:

Проведите корневые тесты модуля при нескольких лагах

Выполните несколько тестов одновременно путем ввода вектора параметров для lags, alpha, model, или test. Все векторные параметры должны иметь одинаковую длину. Тест расширяет любой скалярный параметр до длины векторного параметра. Для примера, использующей этот метод, см. «Тестирование данных временных рядов для корня Модуля».