Биномиальное Распределение

Обзор

Биномиальное распределение является двухпараметрическим семейством кривых. Биномиальное распределение используется для моделирования общего количества успехов в фиксированном количестве независимых испытаний, которые имеют одинаковую вероятность успеха, таких как моделирование вероятности заданного количества голов в десяти щелчках справедливой монеты.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с биномиальным распределением.

Создайте объект распределения вероятностей BinomialDistribution подгонкой распределения вероятностей к выборочным данным (fitdist) или путем настройки значений параметров (makedist). Затем используйте функции объекта, чтобы вычислить распределение, сгенерировать случайные числа и так далее.
Работайте с биномиальным распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Используйте специфичные для распределения функции (binocdf, binopdf, binoinv, binostat, binofit, binornd) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких биномиальных распределений.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Binomial') и параметры.

Параметры

Биномиальное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
N	Количество испытаний	Положительное целое число
p	Вероятность успеха в одном испытании	$0 \leq p \leq 1$

Сумма двух биномиальных случайных переменных, которые обе имеют одинаковый параметр p также является биномиальной случайной переменной с N, равной сумме числа испытаний.

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) биномиального распределения

$f (x | N, p) = (\begin{matrix} N \\ x \end{matrix}) p^{x} {(1 - p)}^{N - x}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

где x количество успехов в N испытаниях процесса Бернулли с вероятностью p успеха. Результатом является вероятность точно x успехов в N испытаниях. Для дискретных распределений PDF также известен как функция масс вероятностей (pmf).

Для получения примера смотрите Вычисление Биномиального PDF Распределения.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) биномиального распределения

$F (x | N, p) = \sum_{i = 0}^{x} (\begin{matrix} N \\ i \end{matrix}) p^{i} {(1 - p)}^{N - i}; x = 0, 1, 2, ..., N,$

где x количество успехов в N испытаниях процесса Бернулли с вероятностью p успеха. Результатом является вероятность самых x успехов в N испытаниях.

Для получения примера смотрите Вычисление Биномиального Распределения cdf.

Описательная статистика

Среднее значение биномиального распределения составляет N p.

Отклонение биномиального распределения N p (1 - p).

Пример

Подбор биномиального распределения к данным

Открыть Live Script

Сгенерируйте биномиальное случайное число, которое отсчитывает количество успехов в 100 испытания с вероятностью успеха 0.9 в каждом испытании.

x = binornd(100,0.9)

x = 85

Подбор биномиального распределения к данным с помощью fitdist.

pd = fitdist(x,'Binomial','NTrials',100)

pd = 
  BinomialDistribution

  Binomial distribution
    N =  100
    p = 0.85   [0.764692, 0.913546]

fitdist возвращает BinomialDistribution объект. Интервал рядом с p - 95% доверительный интервал, оценивающий p.

Оцените параметр p использование функций распределения.

[phat,pci] = binofit(x,100) % Distribution-specific function

phat = 0.8500

pci = 1×2

    0.7647    0.9135

[phat2,pci2] = mle(x,'distribution','Binomial',"NTrials",100) % Generic distribution function

phat2 = 0.8500

pci2 = 2×1

    0.7647
    0.9135

Вычисление биномиального распределения PDF

Открыть Live Script

Вычислите PDF биномиального распределения с 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binopdf(x,10,0.5);

Постройте график PDF с полосами ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычисление биномиального распределения cdf

Открыть Live Script

Вычислите cdf биномиального распределения с помощью 10 испытания и вероятность успеха 0.5.

x = 0:10;
y = binocdf(x,10,0.5);

Постройте график cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Сравнение биномиальных и нормальных Распределений PDFS

Открыть Live Script

Когда N является большим, биномиальное распределение с параметрами N и p может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним N*p и дисперсионные N*p*(1–p) при условии, что p не слишком велик или слишком мал.

Вычислите PDF биномиального распределения, подсчитывая количество успехов в 50 испытания с 0.6 вероятностей в одном испытании.

N = 50;
p = 0.6;
x1 = 0:N;
y1 = binopdf(x1,N,p);

Вычислите PDF соответствующего нормального распределения.

mu = N*p;
sigma = sqrt(N*p*(1-p));
x2 = 0:0.1:N;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте график PDFS на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Normal pdfs')
legend('Binomial Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Binomial Distribution, Normal Distribution.

PDF нормального распределения близко аппроксимирует PDF биномиального распределения.

Сравнение PDFS распределения биномиальных и пуассоновых данных

Открыть Live Script

Когда p является маленьким, биномиальное распределение с параметрами N и p может быть аппроксимировано распределением Пуассона со средним N*p, при условии, что N*p также является маленьким.

Вычислите PDF биномиального распределения, подсчитывая количество успехов в 20 испытания с вероятностью успеха 0.05 в одном испытании.

N = 20;
p = 0.05;
x = 0:N;
y1 = binopdf(x,N,p);

Вычислите PDF соответствующего распределения Пуассона.

mu = N*p;
y2 = poisspdf(x,mu);

Постройте график PDFS на той же оси.

figure
bar(x,[y1; y2])
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Binomial and Poisson pdfs')
legend('Binomial Distribution','Poisson Distribution','location','northeast')

Figure contains an axes. The axes with title Binomial and Poisson pdfs contains 2 objects of type bar. These objects represent Binomial Distribution, Poisson Distribution.

PDF распределения Пуассона близко аппроксимирует PDF биномиального распределения.

Связанные распределения

Распределение Бернулли - распределение Бернулли является однопараметрическим дискретным распределением, которое моделирует успех одного исследования и происходит как биномиальное распределение с N = 1.
Полиномиальное Распределение - полиномиальное распределение является дискретным распределением, которое обобщает биномиальное распределение, когда каждое исследование имеет более двух возможных результатов.
Нормальное Распределение - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры μ (среднее) и σ (стандартное отклонение). Как N увеличений, биномиальное распределение может быть аппроксимировано нормальным распределением с µ = N p и σ² = <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> (1 – p). См. «Сравнение биномиальных и нормальных распределений PDFS».
Распределение Пуассона - распределение Пуассона является дискретным распределением с одним параметром, которое принимает неотрицательные целочисленные значения. Параметр λ является и средним, и отклонением распределением. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, где N приближается к бесконечности, и p переходит к нулю при N p = λ. См. Сравнение биномиальных и пуассонских Распределений PDFS.

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[3] Грузчик, Кэтрин. Быстрый и точный расчет биномиальных вероятностей. 9 июля 2000 года.

См. также

Документация