Модель ARIMA, включающая экзогенные ковариаты

Модель ARIMAX (p, D, q)

Авторегрессионная модель скользящего среднего, включающая экзогенные ковариаты, ARMAX (p, q), расширяет модель ARMA (p, q) за счет включения линейного эффекта, который один или более экзогенных рядов оказывают на стационарный _ряд ответа yt. Общая форма модели ARMAX (p, q) -

_{}_{}^{}_{}_{}_{}^{}_{}_{}_{}_{}^{}_{}_{yt=∑i=1pϕiyt−i+∑k=1rβkxtk+εt+∑j=1qθjεt−j},

(1)

и имеет следующую конденсированную форму в обозначении оператора запаздывания:

(L)_{}_{}^{} yt=c+xt′β+θ (_{L})

αt.

(2)

В уравнении 2 вектор

_{xt}^{}

′ содержит значения r экзогенных, изменяющихся во времени предикторов в момент времени t, с коэффициентами, обозначенными β .

Эту модель можно использовать для проверки влияния набора экзогенных переменных на линейный временной ряд. Например, предположим, что вы хотите измерить, как средняя цена нефти на предыдущей неделе xt влияет на обменный курс США на этой неделе _yt. Обменный курс и цена нефти являются временными рядами, поэтому модель ARMAX может быть подходящей для изучения их взаимоотношений.

Условные обозначения и расширения модели ARIMAX

Модели ARMAX имеют те же требования к стационарности, что и модели ARMA. В частности, ответный ряд стабилен, если корни однородного характеристического уравнения ( $L)^{=}_{Lp}^{-}_{1Lp}^{- 1} −_{2Lp}^{-} 2$ −... −
Если серия ответов _yt не стабильна, то ее можно отличить для формирования стационарной модели ARIMA. Для этого задайте степени интеграции D. Эконометрика Toolbox™ обеспечивает стабильность многочлена AR. При указании модели AR с помощью arima, программа отображает ошибку при вводе коэффициентов, которые не соответствуют стабильному многочлену. Аналогично, estimate накладывает ограничения стационарности во время оценки.
Программное обеспечение различает серию ответов _до включения экзогенных ковариат, если указать степень интеграции D. Другими словами, экзогенные ковариаты входят в модель со стационарным ответом. Поэтому модель ARIMAX (p, D, q) является
$(L)_{}^{}_{}^{}^{} yt=c∗+xt′β+θ∗ (_{L})$ αt, (3)
где c * = c/( 1 - ^L) D ^и Впоследствии интерпретация β изменилась до ожидаемого эффекта, который единичное увеличение в предикторе оказывает на разницу между текущими и запаздывающими значениями ответа (при условии этих запаздывающих значений).
Вы должны оценить, являются ли серии предикторов _xt неподвижными. Разница между всеми сериями предикторов, которые не являются стационарными с diff на этапе предварительной обработки данных. Если _xt нестационарен, то тест на значимость β может дать ложный негатив. Практическая интерпретация β изменяется, если вы различаете ряд предикторов.
Программное обеспечение использует оценку максимального правдоподобия для условных средних моделей, таких как модели ARIMAX. Для распределения инноваций можно указать либо Gaussian, либо Student's t.
Сезонные компоненты можно включить в модель ARIMAX (см. Мультипликативная модель ARIMA), которая создает модель SARIMAX (p, D, q₎ (_ps, _Ds, qs) s. Предполагая, что _серия ответов является стационарной, модель имеет вид

$Start(L) (L)_{}_{}^{} yt=c+xt′β+θ (L_{}$ )
где Λ (L) и Start( L) - многочлены сезонного запаздывания. Если yt не является стационарным, можно указать степени несезонной или сезонной интеграции с помощьюarima. При указании Seasonality ≥ 0, то программное обеспечение применяет сезонную дифференциацию степени 1 (_Ds = 1) к ответу. В противном случае _Ds = 0. Программное обеспечение включает экзогенные ковариаты после того, как оно различает ответ.
Программное обеспечение рассматривает экзогенные ковариаты как фиксированные во время оценки и вывода.

Ссылки

[1] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.

[2] Wold, H. Исследование в анализе стационарных временных рядов. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.

См. также

arima

Документация