Для некоторых наблюдаемых временных рядов необходима модель AR или MA очень высокого порядка, чтобы хорошо моделировать основной процесс. В этом случае комбинированная модель авторегрессивного скользящего среднего (ARMA) иногда может быть более экономным выбором.
Модель ARMA выражает условное среднее yt как функцию как прошлых наблюдений, yt − p, так и прошлых 1,..., αt − q. Количество прошлых наблюдений, от которых yt зависит, p, является степенью AR. Количество прошлых инноваций, от которых зависит q, является степенью MA. В целом эти модели обозначаются ARMA (p, q).
Форма модели ARMA (p, q) в Econometrics Toolbox™
| start1αt − 1 +... + startqαt − q, | (1) |
В многочленовой нотации оператора запаздывания − i. Определите оператора AR-запаздывания p
| (2) |
Знаки коэффициентов в многочлене оператора AR-запаздывания, (противоположны правой части уравнения 1. При определении и интерпретации коэффициентов AR в Econometrics Toolbox используйте форму в уравнении 1.
Рассмотрим модель ARMA (p, q) в нотации оператора запаздывания,
Из этого выражения видно, что
| ) | (3) |
−... − δ p)
является безусловным средним в процессе, а ) - рациональным, бесконечно-градусным оператором запаздывания, ψ2L2 +...).
Примечание
Constant свойство arima объект модели соответствует c, а не безусловному среднему λ.
По разложению Вольда [2] уравнение 3 соответствует стационарному стохастическому процессу, при условии, что коэффициенты λ i являются абсолютно суммируемыми. Это тот случай, когда многочлен AR, ), стабилен, что означает, что все его корни лежат вне единичной окружности. Кроме того, процесс является причинным при условии, что полином МА является обратимым, что означает, что все его корни лежат вне единичной окружности.
Econometrics Toolbox обеспечивает стабильность и обратимость процессов ARMA. При указании модели ARMA с помощью arima, вы получаете ошибку, если ввести коэффициенты, которые не соответствуют стабильному многочлену AR или обратимому многочлену MA. Аналогично, estimate накладывает ограничения стационарности и обратимости при оценке.
[1] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.
[2] Wold, H. Исследование в анализе стационарных временных рядов. Уппсала, Швеция: Almqvist & Wiksell, 1938.