Сравните две спецификации модели для смоделированных данных об образовании и доходах. Неограниченная модель имеет следующие логики:

где

То есть, доход человека k, учитывая количество оценок, которые человек k завершил, является Гамма, распределенной с формой $$$$$${}_{}$$Ограниченная модель устанавливает $$\mathrm{(«»\; =}\mathrm{}$$1 «»), что подразумевает, что доход человека k, учитывая число оценок, которые человек k завершил, экспоненциально распределяется со $$\mathrm{средним\; значением}{\beta }_{}$$+ xk.

Ограниченная модель - $${}_{\mathrm{H0}}:start=\mathrm{}$$1. Сравнение этой модели с неограниченной моделью с помощьюlratiotest требуется следующее:

Загрузите данные.

load Data_Income1
x = DataTable.EDU;
y = DataTable.INC;

Чтобы оценить неограниченные параметры модели, максимизируйте $$l(start,$$β) в зависимости $$\mathrm{от}$$ startи $$$$β. Градиент $$l(start$$, β) равен

где $$\mathrm{start(}start$$) - дигамма-функция.

nLogLGradFun = @(theta) deal(-sum(-gammaln(theta(1)) - ...
    theta(1)*log(theta(2) + x) + (theta(1)-1)*log(y) - ...
    y./(theta(2)+x)),...
    -[sum(-psi(theta(1))+log(y./(theta(2)+x)));...
    sum(1./(theta(2)+x).*(y./(theta(2)+x)-theta(1)))]);

nLogLGradFun является анонимной функцией, которая возвращает отрицательный логарифм и градиент, заданный вводом theta, в котором содержатся параметры,, $$\mathrm{соответственно}$$$$$$.

Численная оптимизация функции отрицательной логики с использованием fmincon, что сводит к минимуму объективную функцию, подверженную ограничениям.

theta0 = randn(2,1); % Initial value for optimization
uLB = [0 -min(x)];   % Unrestricted model lower bound
uUB = [Inf Inf];     % Unrestricted model upper bound
options = optimoptions('fmincon','Algorithm','interior-point',...
    'FunctionTolerance',1e-10,'Display','off',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true); % Optimization options

[uMLE,uLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],uLB,uUB,[],options);
uLogL = -uLogL;

uMLE является неограниченной оценкой максимального правдоподобия, и uLogL является максимумом средств к существованию.

Наложите ограничение на средства к существованию журнала, установив соответствующие ограничения нижней и верхней границы, $$\mathrm{равные\; 1}$$. Сведение к минимуму негативных, ограниченных источников средств к существованию.

dof = 1;           % Number of restrictions
rLB = [1 -min(x)]; % Restricted model lower bound
rUB = [1 Inf];     % Restricted model upper bound
[rMLE,rLogL] = fmincon(nLogLGradFun,theta0,[],[],[],[],rLB,rUB,[],options);
rLogL = -rLogL;

rMLE является неограниченной оценкой максимального правдоподобия, и rLogL является максимумом средств к существованию.

Используйте тест отношения правдоподобия, чтобы оценить, дают ли данные достаточно доказательств, чтобы отдать предпочтение неограниченной модели по сравнению с ограниченной моделью.

[h,pValue,stat] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)

h = logical
   1

pValue = 8.9146e-04

stat = 11.0404

pValue близок к 0, что указывает на наличие убедительных доказательств того, что неограниченная модель подходит для данных лучше, чем ограниченная модель.

Оценка спецификаций модели путем тестирования нескольких ограниченных моделей с использованием моделируемых данных. Истинной моделью является ARMA (2,1)

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}$$ - гауссов со средним значением 0 и дисперсией 1.

Укажите истинную модель ARMA (2,1) и смоделируйте 100 значений отклика.

TrueMdl = arima('AR',{0.9,-0.5},'MA',0.7,...
    'Constant',3,'Variance',1);
T = 100;
rng(1); % For reproducibility
y = simulate(TrueMdl,T);

Укажите неограниченную модель и модели-кандидаты для тестирования.

Mdl = {arima(2,0,2),arima(2,0,1),arima(2,0,0),arima(1,0,2),arima(1,0,1),...
    arima(1,0,0),arima(0,0,2),arima(0,0,1)};
rMdlNames = {'ARMA(2,1)','AR(2)','ARMA(1,2)','ARMA(1,1)',...
    'AR(1)','MA(2)','MA(1)'};

Mdl является массивом ячеек 1 на 7. Mdl{1} является неограниченной моделью, а все другие ячейки содержат модель-кандидат.

Подберите модели-кандидаты к моделируемым данным.

logL = zeros(size(Mdl,1),1); % Preallocate loglikelihoods
dof = logL;                  % Preallocate degrees of freedom
for k = 1:size(Mdl,2)
    [EstMdl,~,logL(k)] = estimate(Mdl{k},y,'Display','off');
    dof(k) = 4 - (EstMdl.P + EstMdl.Q); % Number of restricted parameters
end
uLogL = logL(1);     
rLogL = logL(2:end); 
dof = dof(2:end);

uLogL и rLogL являются значениями неограниченного источника средств к существованию, оцененными при неограниченных и ограниченных оценках параметров модели соответственно.

Примените тест отношения правдоподобия на уровне значимости 1%, чтобы найти соответствующие ограниченные спецификации модели.

alpha = .01;
h = lratiotest(uLogL,rLogL,dof,alpha);
RestrictedModels = rMdlNames(~h)

RestrictedModels = 1x4 cell
    {'ARMA(2,1)'}    {'ARMA(1,2)'}    {'ARMA(1,1)'}    {'MA(2)'}

Наиболее подходящими моделями с ограниченным доступом являются ARMA (2,1), ARMA (1,2), ARMA (1,1) или MA (2).

Можно снова протестировать, но использовать ARMA (2,1) в качестве неограниченной модели. В этом случае необходимо удалить MA (2) из возможных ограниченных моделей.

Проверка наличия значительных эффектов ARCH в моделируемой серии ответов с использованием lratiotest. Значения параметров в этом примере являются произвольными.

Укажите модель AR (1) с дисперсией ARCH (1):

где

VarMdl = garch('ARCH',0.5,'Constant',1);
Mdl = arima('Constant',0,'Variance',VarMdl,'AR',0.9);

Mdl является полностью заданной моделью AR (1) с дисперсией ARCH (1).

Смоделировать предварительную выборку и эффективные примеры ответов из Mdl.

T = 100;
rng(1);  % For reproducibility
n = 2;   % Number of presample observations required for the gradient
[y,epsilon,condVariance] = simulate(Mdl,T + n);

psI = 1:n;             % Presample indices
esI = (n + 1):(T + n); % Estimation sample indices

epsilon - случайный путь инноваций из VarMdl. Фильтры программного обеспечения epsilon через Mdl для получения случайного пути отклика y.

Укажите неограниченную модель, предполагая, что константа условной средней модели равна 0:

где $${}_{\mathrm{ht}}{=}_{\mathrm{}}{\mathrm{\alpha 0}}_{\mathrm{}}{+}_{\mathrm{}}^{\mathrm{}}$$α1αt-12. Подогнать смоделированные данные (y) к неограниченной модели с использованием предварительных наблюдений.

UVarMdl = garch(0,1);
UMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',UVarMdl);
[~,~,uLogL] = estimate(UMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

uLogL - максимальное значение функции неограниченных средств к существованию.

Укажите ограниченную модель при условии, что константа условной средней модели равна 0:

где $${}_{\mathrm{ht}}{=}_{\mathrm{}}$$α0. Подогнать смоделированные данные (y) в ограниченную модель с использованием предварительных наблюдений.

RVarMdl = garch(0,1);
RVarMdl.ARCH{1} = 0;
RMdl = arima('ARLags',1,'Constant',0,'Variance',RVarMdl);
[~,~,rLogL] = estimate(RMdl,y(esI),'Y0',y(psI),'E0',epsilon(psI),...
    'V0',condVariance(psI),'Display','off');

Структура RMdl является таким же, как UMdl. Однако каждый параметр неизвестен, за исключением ограничения. Это ограничения равенства во время оценки. Вы можете интерпретировать RMdl как модель AR (1) с гауссовыми инновациями, которые имеют среднее значение 0 и постоянную дисперсию.

Проверьте нулевую гипотезу о том, что $${}_{\mathrm{\alpha 1}}\mathrm{=}$$ 0 на уровне значимости по умолчанию 5% с помощьюlratoitest.

dof = (UMdl.P + UMdl.Q + UVarMdl.P + UVarMdl.Q) ...
    - (RMdl.P + RMdl.Q + RVarMdl.P + RVarMdl.Q);
[h,pValue,stat,cValue] = lratiotest(uLogL,rLogL,dof)

h = logical
   1

pValue = 6.7505e-04

stat = 11.5567

cValue = 3.8415

h = 1 указывает, что нулевая ограниченная модель должна быть отклонена в пользу альтернативной неограниченной модели. pValue близок к 0, что свидетельствует о наличии убедительных доказательств отклонения. stat - значение статистики теста хи-квадрат, и cValue является критическим значением для теста.