Exponenta Banner
exponenta event banner

gapmetric

Метрика зазора и метрика Vinnicombe (nu-gap) для расстояния между двумя системами

свернуть все на странице

Синтаксис

[gap, nugap] = гапметрический (P1,P2)
[gap, nugap] = гапметрический (P1,P2,tol)

Описание

пример

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2) вычисляет метрику зазора и метрику Vinnicombe для расстояния между динамическими системами P1 и P2. Значения метрики зазора удовлетворяют 0 ≤ nugap ≤ gap ≤ 1. Значения, близкие к нулю, означают, что любой контроллер стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями замкнутого цикла.

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2,tol) задает относительную точность для вычисления промежутков.

Примеры

свернуть все

Открыть сценарий в реальном времени

Создайте две модели завода. Одно растение, P1, является нестабильной системой первого порядка с передаточной функцией 1/( s-0,001). Другой завод ,P2, является стабильной, с передаточной функцией 1/( s + 0,001).

P1 = tf(1,[1 -0.001]); 
P2 = tf(1,[1 0.001]);

Несмотря на то, что одно растение нестабильно, а другое стабильно, эти растения близки по измерению gap и nugap метрики. 

[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.0021

nugap = 0.0020

Разрыв очень мал по сравнению с 1. Таким образом, контроллер, который дает стабильную систему с замкнутым контуром с P2 также имеет тенденцию к стабилизации P1. Например, контроллер обратной связи C = 1 стабилизирует как установки, так и делает почти идентичные коэффициенты усиления по замкнутому контуру. Чтобы увидеть это, изучите функции чувствительности двух систем с замкнутым контуром.

C = 1; 
H1 = loopsens(P1,C); 
H2 = loopsens(P2,C); 
subplot(2,2,1); bode(H1.Si,'-',H2.Si,'r--'); 
subplot(2,2,2); bode(H1.Ti,'-',H2.Ti,'r--'); 
subplot(2,2,3); bode(H1.PSi,'-',H2.PSi,'r--'); 
subplot(2,2,4); bode(H1.CSo,'-',H2.CSo,'r--');

Figure contains 8 axes. Axes 1 with title From: du To: u contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 3 with title From: du To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 4 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 5 with title From: du To: yP contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 6 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 7 with title From: dy To: uC contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2. Axes 8 contains 2 objects of type line. These objects represent untitled1, untitled2.

Далее рассмотрим две стабильные модели растений, отличающиеся системой первого порядка. Одно растение, P3, - передаточная функция 50/( s + 50), и другая установка,P4, - передаточная функция [50/( s + 50)] * 8/( s + 8).

P3 = tf(50,[1 50]); 
P4 = tf(8,[1 8])*P3;
figure
bode(P3,P4)

Figure contains 2 axes. Axes 1 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4. Axes 2 contains 2 objects of type line. These objects represent P3, P4.

Хотя две системы имеют сходную высокочастотную динамику и одинаковое единичное усиление на низкой частоте, gap и nugap метрики, растения довольно далеко друг от друга.

[gap,nugap] = gapmetric(P3,P4)
gap = 0.6148

nugap = 0.6147
Открыть сценарий в реальном времени

Рассмотрим установку и стабилизирующий контроллер. 

P1 = tf([1 2],[1 5 10]);
C = tf(4.4,[1 0]);

Вычислите запас устойчивости для этого завода и контроллера. 

b1 = ncfmargin(P1,C)
b1 = 0.1961

Затем вычислите промежуток между P1 и возмущенное растение, P2.

P2 = tf([1 1],[1 3 10]);
[gap,nugap] = gapmetric(P1,P2)
gap = 0.1391

nugap = 0.1390

Потому что запас устойчивости b1 = b(P1,C) больше, чем зазор между двумя растениями, C также стабилизирует P2. Как обсуждалось в Gap Metrics and Stability Margins, запас устойчивости b2 = b(P2,C) удовлетворяет неравенство asin(b(P2,C)) ≥ asin(b1)-asin(gap). Подтвердите этот результат. 

b2 = ncfmargin(P2,C);
[asin(b2) asin(b1)-asin(gap)]
ans = 1×2

    0.0997    0.0579

Входные аргументы

свернуть все

Системы ввода, указанные как динамические модели систем. P1 и P2 должны иметь одинаковые размеры ввода и вывода. Если P1 или P2 является обобщенной государственно-пространственной моделью (genss или uss) затем gapmetric использует текущее или номинальное значение всех блоков проекта управления.

Относительная точность для вычисления метрик зазора, заданная как положительный скаляр. Если gapactual является истинным значением промежутка (или промежутка Винникомбе), возвращаемое значение gap (или nugap) гарантированно удовлетворяет

|1 – gap/ gapactual | <tol.

Выходные аргументы

свернуть все

Разрыв между P1 и P2, возвращается в виде скаляра в диапазоне [0,1]. Значение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизируется P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями замкнутого цикла. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны.

Промежуток Vinnicombe (ν-gap) между P1 и P2, возвращаемое в виде скалярного значения в диапазоне [0,1]. Как и с gap, значение, близкое к нулю, подразумевает, что любой контроллер, который стабилизирует P1 также стабилизирует P2 с аналогичными усилениями замкнутого цикла. Значение, близкое к 1, означает, что P1 и P2 далеко друг от друга. Значение 0 означает, что две системы идентичны. Потому что 0 ≤ nugap ≤ gapНа ≤ 1 («Gap Metrics and Stability Margins») можно выполнить более строгий тест на надежность, как описано в разделе «Gap Metrics and Stability Margins».

Подробнее

свернуть все

Метрика разрыва

Для растений P1 и P2 пусть P1 = N1M1 − 1 и P2 = N2M2 − 1 правильно нормализованные копримовые факторизации (см.rncf). Затем метрика δg зазора задается как:

δg (P1,P2) =max{δ→g (P1, P2), δ→g (P2, P1)}.

Здесь δ→g (P1,P2) - направленный промежуток, заданный

δ→g (P1,P2) =  минимизируемый Q (s) ‖ [M1N1]−[M2N2]Q‖∞.

Для получения дополнительной информации см. [1] и главу 17 [2].

Метрика разрыва Vinnicombe

Для P1 и P2 метрика зазора Винникомбе задается как

δstart( P1,P2) = maxλ ‖ (I + P2P2 *) − 1/2 (P1 − P2) (I + P1P1 *) −1/2‖∞,

при условии, что det (I + P2 * P1) имеет правильный номер обмотки. Здесь * обозначает конъюгат (см.ctranspose). Это выражение представляет собой взвешенную разницу между двумя частотными откликами P1 (jλ) и P2 (jλ). Для получения дополнительной информации см. главу 17 [2].

Показатели разрыва и пределы стабильности

Метрики промежутка и λ-промежутка дают числовое значение δ (P1,P2) для расстояния между двумя системами LTI. Для обоих показателей сохраняется следующий надежный результат производительности:

arcsin b (P2,C2) ≥ arcsin b (P1,C1) - arcsin δ (P1,P2) - arcsin δ (C1, С2),

где запас устойчивости b (см. ncfmargin), предполагая, что архитектура отрицательной обратной связи дана

b (P, C) = ‖ [IC] (I + PC) − 1 [IP] ‖ ∞−1= ‖ [IP] (I + CP) − 1 [IC] ‖ ∞−1.

Чтобы интерпретировать этот результат, предположим, что номинальная P1 установки стабилизируется контроллером C1 с запасом устойчивости b (P1, C1). Затем, если P1 возмущается до P2 и C1 возмущается до C2, предел устойчивости ухудшается не более чем на указанную выше формулу. Пример см. в разделах Вычислить метрику зазора и запас устойчивости.

λ-зазор всегда меньше или равен зазору, поэтому его прогнозы с использованием вышеуказанного результата надежности более жесткие.

Величина b (P, C) -1 представляет собой усиление сигнала от возмущений на входе и выходе установки на вход и выход контроллера.

Гэп-метрики в надежной конструкции

Чтобы использовать метрики разрыва в надежной конструкции, необходимо ввести функции взвешивания. В формуле надежной производительности замените P на W2PW1, а C на W1 − 1CW2 − 1. Можно выполнить аналогичные замены для P1, P2, C1 и C2. Эта форма делает функции взвешивания совместимыми со структурой взвешивания в процедуре проектирования управления формированием контура H∞, используемой такими функциями, какloopsyn и ncfsyn.

Ссылки

[1] Георгиу, Трифон Т. «О вычислении метрики разрыва». Системы и контрольные письма 11, № 4 (октябрь 1988 года): 253-57. https://doi.org/10.1016/0167-6911 (88) 90067-9.

[2] Чжоу, К., Дойл, J.C., Основы надежного контроля. Лондон, Великобритания: Пирсон, 1997.

См. также

| | | | |

Представлен до R2006a

Документация по инструментам надежного управления

Поддержка