Линейные матричные неравенства (LMI) и методы LMI стали мощными инструментами проектирования в различных областях, от проектирования управления до идентификации системы и проектирования конструкции. Три фактора делают методы LMI привлекательными:
Различные проектные спецификации и ограничения могут быть выражены как LMI.
Будучи сформулированной в терминах LMI, проблема может быть решена точно с помощью эффективных алгоритмов выпуклой оптимизации (см. LMI Solvers).
Хотя большинство проблем с множественными ограничениями или целями не имеют аналитических решений с точки зрения матричных уравнений, они часто остаются прослеживаемыми в структуре LMI. Это делает конструкцию на основе LMI ценной альтернативой классическим «аналитическим» методам.
Для получения информации о концепциях LMI см. [9]. Программное обеспечение Rustive Control Toolbox™ разработано как простой и прогрессивный шлюз для новой и быстрорастущей области LMI:
Для пользователей, которым время от времени требуется решить проблемы LMI, редактор LMI и учебное введение в концепции LMI и решатели LMI обеспечивают быстрое и простое решение проблем.
Для более опытных пользователей LMI LMI Lab предлагает богатую, гибкую и полностью программируемую среду для разработки настраиваемых инструментов на основе LMI.
Функциональные возможности LMI панели инструментов надежного управления служат двум целям:
Предоставление современных инструментов для анализа и проектирования надежных систем управления на основе LMI
Предложите гибкую и удобную среду для определения и решения общих проблем LMI (LMI Lab)
Примеры инструментов анализа и проектирования на основе LMI включают
Функции анализа устойчивой устойчивости и работоспособности неопределенных систем с изменяющимися параметрами (popov, quadstab, quadperf ...)
Функции для проектирования надежного управления с сочетанием целей H2, H∞ и размещения полюсов (h2hinfsyn)
Функции синтеза надежных контроллеров H∞ с планированием усиления (hinfgs)
Для пользователей, заинтересованных в разработке собственных приложений, LMI Lab предоставляет универсальную и полностью программируемую среду для определения и решения практически любой проблемы LMI. Следует отметить, что объем этого объекта ни в коем случае не ограничивается приложениями, ориентированными на управление.
Примечание
Надежное программное обеспечение Control Toolbox реализует современные решения LMI внутренних точек. Хотя эти решатели значительно быстрее классических алгоритмов выпуклой оптимизации, следует иметь в виду, что сложность вычислений LMI может быстро расти с порядком задачи (числом состояний). Например, число операций, необходимых для решения уравнения Риккати, равно o (n3), где n - измерение состояния, в то время как стоимость решения эквивалентного «неравенства Риккати» LMI равна o (n6).
Линейное матричное неравенство (LMI) - это любое ограничение формы
| A (x ): = A0 + x1A1 +... + xNAN < 0 | (1) |
где
x = (x1,.., xN) - вектор неизвестных скаляров (переменных решения или оптимизации)
A0,., AN даны симметричные матрицы
< 0 означает «отрицательный определенный», т.е. наибольшее собственное значение A (x) является отрицательным
Заметим, что ограничения A (x) > 0 и A (x) < B (x) являются особыми случаями уравнения 1, поскольку они могут быть переписаны как -A (x) < 0 и A (x) - B (x) < 0 соответственно.
LMI уравнения 1 является выпуклым ограничением для x, поскольку A (y) < 0 и A (z) < 0 подразумевают, z2) < 0. В результате,
Его набор решений, называемый возможным набором, является выпуклым подмножеством RN
Поиск решения x для уравнения 1, если таковое имеется, является выпуклой задачей оптимизации.
Выпуклость имеет важное последствие: хотя уравнение 1 вообще не имеет аналитического решения, оно может быть решено численно с гарантиями нахождения решения, когда оно существует. Следует отметить, что система ограничений LMI может рассматриваться как один LMI, поскольку
) < 0
эквивалентно
АК (x)) < 0
где diag (A1 (x),., AK (x)) обозначает блок-диагональную матрицу с
A1 (x),.., АК (x) на своей диагонали. Следовательно, множественные ограничения LMI могут быть наложены на вектор переменных x принятия решения без разрушения выпуклости.
В большинстве приложений управления LMI естественным образом возникают не в канонической форме уравнения 1 , а скорее в форме
L (X1,., Xn) < R (X1,., Xn)
где L (.) и R (.) - аффинные функции некоторых структурированных матричных переменных X1,.., Xn. Простой пример - неравенство Ляпунова
| ATX + XA < 0 | (2) |
где неизвестный X является симметричной матрицей. Определив x1,., xN как независимые скалярные записи X, этот LMI может быть переписан в виде уравнения 1. Тем не менее, более удобно и эффективно описать его в естественной форме уравнение 2, которое является подходом, принятым в LMI Lab.