Распределение чи-квадрат

Обзор

Распределение хи-квадрат (ti2) представляет собой однопараметрическое семейство кривых. Распределение хи-квадрат обычно используется в тестировании гипотез, особенно в тесте хи-квадрат на благость посадки.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с распределением хи-квадрат.

Использовать специфичные для распределения функции (chi2cdf, chi2inv, chi2pdf, chi2rnd, chi2stat) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких распределений хи-квадрат.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Chisquare') и параметры.

Параметры

Распределение хи-квадрат использует следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
nu («ню»)	Степени свободы	ν `= 1, 2, 3,...`

Параметр степеней свободы обычно является целым числом, но функции хи-квадрат принимают любое положительное значение.

Сумма двух chi-квадратных случайных переменных со степенями свободы ν1 и ν2 является chi-квадратной случайной переменной со степенями свободы ν = ν1 + ν2.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) распределения хи-квадрат

$y=f (x'ν) \frac{^{=x} {(ν−2)}^{}}{^{\frac{}{}} /2e−x/22ν2Γ}$ (ν/2),

где λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция.

Пример см. в разделе Расчет распределения хи-квадрат pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения хи-квадрат

$p=F (x'ν)_{=}^{} \frac{^{∫0xt} {(ν−2)}^{}}{^{} /2e−t/22ν/2Γ}$ (ν/2) dt,

где λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что единственное наблюдение из распределения хи-квадрат со степенями свободы, падает в интервале [0, x].

Пример см. в разделе Вычислить распределение хи-квадрата cdf.

Функция обратного кумулятивного распределения

Обратная кумулятивная функция распределения (icdf) распределения хи-квадрат равна

$x =^{F} - 1 (p$ '

где

$p=F (x'ν)_{=}^{} \frac{^{∫0xt} {(ν−2)}^{}}{^{} /2e−t/22ν/2Γ}$ (ν/2) dt,

λ - степени свободы, а Γ (·) - Гамма-функция. Результатом p является вероятность того, что единственное наблюдение из распределения хи-квадрат со степенями свободы, падает в интервале [0, x].

Описательная статистика

Среднее значение распределения хи-квадрат равно

Дисперсия распределения хи-квадрат равна 2

Примеры

Вычислить распределение хи-квадрат pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите pdf распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2pdf(x,4);

Постройте график pdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Распределение хи-квадрат скошено вправо, особенно для нескольких степеней свободы.

Вычислить дистрибутив хи-квадрат

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdf распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2cdf(x,4);

Постройте график cdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Связанные распределения

F Распределение - распределение F - распределение с двумя параметрами, у которого есть параметры ν1 (степени свободы нумератора) и ν2 (степени свободы знаменателя). Распределение F может быть определено как отношение $F \frac{\frac{=_{}^{}}{_{}}}{\frac{_{}^{}}{_{}}}$ ti12start1ü 22start2, где («» _{В 21 «»}и («» _{В 22} «») оба являются хи-квадратами, распределенными со степенями свободы («» В 1 «» и «» В 2 «») соответственно.
Гамма-распределение - гамма-распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры a (форма) и b (масштаб). Хи-квадратное распределение равно гамма-распределению с 2a =, а b = 2.
Нецентральное хи-квадратное распределение - нецентральное хи-квадратное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметры (степени свободы) и δ (нецентральность). Нецентральное хи-квадратное распределение равно хи-квадратному распределению, когда δ = 0.
Нормальное распределение (Normal Distribution) - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры (среднее) и (стандартное отклонение). Стандартное нормальное распределение имеет место, когда λ = 0 и λ = 1.
Если Z1, Z2,..., _Zn являются стандартными нормальными случайными переменными, то $_{}^{}_{}^{}$ ∑i=1nZi2 имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы,
Если набор из n наблюдений нормально распределён с дисперсией start2 и дисперсией выборки s2, то $\frac{(n − 1^{)}}{^{}}$ s2start2 имеет хи-квадратное распределение со степенями свободы, ((n) - 1. Эта зависимость используется для вычисления доверительных интервалов для оценки нормального параметра, normfit.
Распределение Стьюдента (Student's t Distribution) - распределение Стьюдента (The Student's t distribution) является однопараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметр (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение, а ti2 имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы, то $t = \frac{}{\sqrt{^{} Zχ2/ν}}$ имеет распределение Стьюдента с степенями свободы
Распределение Уишарта - распределение Уишарта является более мерным аналогом распределения хи-квадрат.

Ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон и Ирен А. Стегун, эд. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Начдр. дер Аусг. фон 1972]. Dover Books по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк. Генерация неоднородных случайных вариаций. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, М., Н. Гастингс и Б. Павлин. Статистические распределения. 2-е изд., Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[4] Крейсиг, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Уайли, 1970.

См. также

Документация